6.3.1 平面向量基本定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6.3.1 平面向量的概念 第六章 平面向量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.理解平面向量基本定理及其意义． 2．体验定理的形成过程，能够运用基本定理解题. 通过学习平面向量的基本定理有关内容，重点培养学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算素养. [情境引入] 七个音符谱出千支乐曲.26个字母写就百态文章！在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？ 问题　给定两个非零向量e1、e2(不共线)，平面内任意向量a都能用e1、e2表示吗？ 提示　可以表示． 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于平面内的任一向量a.存在唯一一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. [知识梳理] [知识点]　平面向量基本定理 1．定理：如果e1、e2是同一平面内的两个　不共线　向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝　λ1e1＋λ2e2　. 2．我们把不共线的向量e1、e2叫作表示这一平面内所有向量的一组　基底　. 　平面向量的基底唯一吗？ 提示：平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一组基底． [预习自测] 1．下列关于基底的说法正确的是(　　) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底． ②基底中的向量可以是零向量． ③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． A．① B．② C．①③ D．②③ 答案：C 2．e1，e2是平面内向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为一组基底的是(　　) A．e1和e1＋e2 B．e1－2e2和e2－2e1 C．e1－2e2和4e2－2e1 D．e1＋e2和e1－e2 答案：C 3．在△ABC中，D为AC的中点，eq \o(BC,\s\up13(→))＝3eq \o(BE,\s\up13(→))，BD与AE交于点F.若eq \o(AF,\s\up13(→))＝λeq \o(AE,\s\up13(→))，则实数λ的值为(　　) A.eq \f(1,2) B.eq \f(2,3) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,5) 解析：C　[如题图，∵B，F，D三点共线，∴存在实数k使eq \o(BF,\s\up13(→))＝keq \o(BD,\s\up133(→))＝eq \f(k,2)(eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(BC,\s\up13(→)))，∴eq \o(AF,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BF,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(k,2)(eq \o(BA,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→)))＝(1－eq \f(k,2))eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(k,2) eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(AE,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(BE,\s\up13(→))＝eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up13(→)).∵eq \o(AF,\s\up13(→))＝λeq \o(AE,\s\up13(→))，∴(1－eq \f(k,2))eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(k,2) eq \o(BC,\s\up13(→))＝λeq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(λ,3) eq \o(BC,\s\up13(→)). ∵eq \o(AB,\s\up13(→))与eq \o(BC,\s\up13(→))不共线，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－\f(k,2)＝λ，,\f(k,2)＝\f(λ,3)，))解得λ＝eq \f(3,4).] 4.如图所示，D是BC边的一个四等分点，用基底eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(AC,\s\up13(→))表示eq \o(AD,\s\up13(→))＝______________. 答案：eq \f(3,4) eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,4) eq \o(AC,\s\up13(→)) 5．在▱ABCD中，设eq \o(AC,\s\up13(→))＝a，eq \o(BD,\s\up13(→))＝b，则Aeq \o(B,\s\up13(→))＝________，Beq \o(C,\s\up13(→))＝________. 解析：设AC、BD交于点O，则 eq \o(AO,\s\up13(→))＝eq \o(OC,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)a，eq \o(BO,\s\up13(→))＝eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)b. 所以eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(AO,\s\up13(→))＋eq \o(OB,\s\up13(→))＝eq \o(AO,\s\up13(→))－eq \o(BO,\s\up13(→)) ＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b，eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \o(BO,\s\up13(→))＋eq \o(OC,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b. 答案：eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b　eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b 对向量基底的理解 [例1]　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________(填序号)． ①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. [思路点拨]　只有两个不共线的非零向量才能做为基底． [解析]　由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． [答案]　②③ 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． [变式训练] 1．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝　________　a＋________b. 解析：由题意，设e1＋e2＝ma＋nb. 因为a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2， 所以e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2. 由平面向量基本定理得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m－n＝1，,2m＋n＝1，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝\f(2,3)，,n＝－\f(1,3).)) 答案：eq \f(2,3)　－eq \f(1,3) 用基底表示向量 [例2] 如图所示，四边形OADB是以向量eq \o(OA,\s\up13(→))＝a，eq \o(OB,\s\up13(→))＝b为邻边的平行四边形．又eq \o(BM,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(CN,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(CD,\s\up13(→))，试用a，b表示eq \o(OM,\s\up13(→))，eq \o(ON,\s\up13(→)). [思路点拨]　利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，来寻找向量和基底的关系． [解]　由题意得eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(BA,\s\up13(→))＝eq \o(OA,\s\up13(→))，所以eq \o(BA,\s\up13(→))＝a－b， 则eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，eq \o(BM,\s\up13(→))＝eq \f(1,3) eq \o(BC,\s\up13(→))＝eq \f(1,6)(a－b)， eq \o(OM,\s\up13(→))＝eq \o(OB,\s\up13(→))＋eq \o(BM,\s\up13(→))＝b＋eq \f(1,6)(a－b)＝eq \f(1,6)a＋eq \f(5,6)b. eq \o(ON,\s\up13(→))＝eq \o(OC,\s\up13(→))＋eq \o(CN,\s\up13(→))＝eq \o(OC,\s\up13(→))＋eq \f(1,3) eq \o(CD,\s\up13(→))＝eq \f(4,3) eq \o(OC,\s\up13(→)) ＝eq \f(4,3)×eq \f(1,2)(a＋b)＝eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b. 由平面向量的基本定理可知，两个不共线的向量可以作为一组基底，并可以唯一表示平面内任一向量．利用基底表示平面内的向量，可利用线性运算作转化，对有几何背景的题目，要灵活地运用向量加法的三角形法则或平行四边形法则，恰当地将向量作转化． [变式训练] 2．已知△ABC为等边三角形，分别以CA，CB为边作正六边形，如图所示，则(　　) A.eq \o(EF,\s\up13(→))＝eq \f(9,2) eq \o(AD,\s\up13(→))＋4eq \o(GH,\s\up13(→)) B.eq \o(EF,\s\up13(→))＝eq \f(7,2) eq \o(AD,\s\up13(→))＋3eq \o(GH,\s\up13(→)) C.eq \o(EF,\s\up13(→))＝5eq \o(AD,\s\up13(→))＋4eq \o(GH,\s\up13(→)) D.eq \o(EF,\s\up13(→))＝eq \f(9,2) eq \o(AD,\s\up13(→))＋3eq \o(GH,\s\up13(→)) 解析：A　[选取eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(AC,\s\up13(→))为基底， eq \o(EF,\s\up13(→))＝eq \o(EH,\s\up13(→))＋eq \o(HF,\s\up13(→))＝3eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AC,\s\up13(→))，eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(BG,\s\up13(→))＝2eq \o(BC,\s\up13(→))＝－2eq \o(AB,\s\up13(→))＋2eq \o(AC,\s\up13(→))， eq \o(GH,\s\up13(→))＝eq \o(GB,\s\up13(→))＋eq \o(BH,\s\up13(→))＝2eq \o(CB,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→))＝2eq \o(AB,\s\up13(→))－2eq \o(AC,\s\up13(→))＋eq \o(AB,\s\up13(→))＝3eq \o(AB,\s\up13(→))－2eq \o(AC,\s\up13(→))， 设eq \o(EF,\s\up13(→))＝xeq \o(AD,\s\up13(→))＋yeq \o(GH,\s\up13(→))＝－2xeq \o(AB,\s\up13(→))＋2xeq \o(AC,\s\up13(→))＋3yeq \o(AB,\s\up13(→))－2yeq \o(AC,\s\up13(→))＝(－2x＋3y)eq \o(AB,\s\up13(→))＋(2x－2y)eq \o(AC,\s\up13(→))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2x＋3y＝3,2x－2y＝1))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2),y＝4))，即eq \o(EF,\s\up13(→))＝eq \f(9,2) eq \o(AD,\s\up13(→))＋4eq \o(GH,\s\up13(→)).] 平面向量基本定理的应用 [例3]如图，△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设eq \o(BA,\s\up13(→))＝a，eq \o(BC,\s\up13(→))＝c. (1)用a，c表示向量eq \o(AE,\s\up13(→))； (2)若点F在AC上，且eq \o(BF,\s\up13(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(4,5)c，求AF∶CF. [思路点拨]　利用向量的加法，减法以及数乘运算法则，把要求的向量用已知向量表示是解题的关键． [解]　(1)∵eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \o(BC,\s\up13(→))－eq \o(BA,\s\up13(→))＝c－a， ∴eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(c－a)，∴eq \o(AE,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \o(AD,\s\up13(→))) ＝eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up13(→))＋eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up13(→)) ＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)(c－a) ＝eq \f(1,4)c－eq \f(3,4)a. (2)设eq \o(AF,\s\up13(→))＝λeq \o(AC,\s\up13(→))，∴eq \o(BF,\s\up13(→))＝eq \o(BA,\s\up13(→))＋eq \o(AF,\s\up13(→))＝eq \o(BA,\s\up13(→))＋λeq \o(AC,\s\up13(→)) ＝a＋λ(c－a) ＝(1－λ)a＋λc. 又eq \o(BF,\s\up13(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(4,5)c， ∴λ＝eq \f(4,5)，∴eq \o(AF,\s\up13(→))＝eq \f(4,5) eq \o(AC,\s\up13(→))，∴AF∶CF＝4∶1. 主要应用三角形法则、平行四边形法则，数乘向量解决，将涉及的向量用基向量表示出来，体现了转化的思想． [变式训练] 3.如图所示，在△OAB中，eq \o(OA,\s\up13(→))＝a，eq \o(OB,\s\up13(→))＝b，M，N分别是OA，OB上的点，且eq \o(OM,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)a，eq \o(ON,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)b，设eq \o(AN,\s\up13(→))与eq \o(BM,\s\up13(→))交于点P，以a，b为基表示eq \o(OP,\s\up13(→)). [解]　∵eq \o(OP,\s\up13(→))＝eq \o(OM,\s\up13(→))＋eq \o(MP,\s\up13(→))，eq \o(OP,\s\up13(→))＝eq \o(ON,\s\up13(→))＋eq \o(NP,\s\up13(→))，设eq \o(MP,\s\up13(→))＝meq \o(MB,\s\up13(→))， eq \o(NP,\s\up13(→))＝neq \o(NA,\s\up13(→))，则eq \o(OP,\s\up13(→))＝eq \o(OM,\s\up13(→))＋meq \o(MB,\s\up13(→))＝eq \f(1,3)a＋m(b－eq \f(1,3)a)＝ eq \f(1,3)(1－m)a＋mb，eq \o(OP,\s\up13(→))＝eq \o(ON,\s\up13(→))＋neq \o(NA,\s\up13(→))＝eq \f(1,2)(1－n)b＋na. ∵a与b不共线， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,3)1－m＝n，,\f(1,2)1－n＝m))⇒n＝eq \f(1,5)，m＝eq \f(2,5)，∴eq \o(OP,\s\up13(→))＝eq \f(1,5)a＋eq \f(2,5)b. $