6.2.4 向量的数量积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6.2.4 向量的数量积 第六章 平面向量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量数量积与投影向量的关系． 3．会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 通过学习向量的数量积， 重点提升学生的数学运算， 逻辑推理，数学抽象素养. 水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？ 问题　力对物体做功，由哪些量来确定？ 提示　由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和位移s这两个向量的某种运算结果． [知识梳理] [知识点一]　向量的夹角, 1．已知两个非零向量a和b，如图，作eq \o(OA,\s\up13(→))＝a，eq \o(OB,\s\up13(→))＝b，则θ＝　∠AOB　(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角． 2．当θ＝0°时．a与b　同向　；当θ＝180°时，a与b　反向　；当θ＝90°.a与b垂直，记作　a⊥b　. 3．由于任何方向都可以作为零向量的方向，规定　零向量　可与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有0⊥a. [知识点二]　两个向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即　a·b＝|a||b|cos θ　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. 1.向量的线性运算的结果是一个向量，向量的数量积运算呢？ 提示：实数． [知识点三]　向量的投影 如图1，设a，b是两个非零向量，eq \o(AB,\s\up13(→))＝a，eq \o(CD,\s\up13(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \o(AB,\s\up13(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up13(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up13(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq \o(A1B1,\s\up13(→))叫做向量a在向量b上的　投影向量　. 如图2，我们可以在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up13(→))＝a，eq \o(ON,\s\up13(→))＝b.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \o(OM1,\s\up13(→))就是向量a在向量b上的投影向量． [知识点四]　向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a上的投影向量的数量|b|cos θ的乘积，也等于b的长度|b|与a在b上的投影向量的数量|a|cosθ的乘积．显然，a在b上的投影向量与b在a上的投影向量是不同的． 2.一个向量在另一个向量方向上的投影可以是一个负数或0吗？ 提示：可以．如b在a的方向上的投影数量|b|cos θ，当θ∈(90°，180°]时，投影是负数，当θ＝90°时，投影数量是0. [知识点五]　向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． 1．a⊥b⇔　a·b＝0　； 2．当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　，当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　； 3．a·a＝　a2　或|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a2)； 4．cos θ＝　eq \f(a·b,|a||b|)　； 5．|a·b|　≤　|a||b|. 3.a，b都是非零向量，|a·b|≤|a||b|中等号何时取到？ 提示：由于|a·b|＝|a||b||cos θ|， ∴当θ＝0°或180°时，取等号． [知识点六]　向量的数量积的运算律 1．a·b＝　b·a　(交换律)； 2．(λ a)·b＝　λ(a·b)　＝　a·(λ b)　(结合律)； 3．(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　(分配律)． 4.对于向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？ 提示：不一定成立．∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同，故该等式不一定成立． [预习自测] 1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n等于(　　) A．12 B．12eq \r(2) C．－12eq \r(2) D．－12 答案：C 2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是eq \f(3,2)，则a·b为(　　) A．3 B.eq \f(9,2) C．2 D.eq \f(1,2) 答案：B　 3．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为eq \f(π,3)，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则a·b＝________. 解析：由已知e1·e2＝coseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2eeq \o\al(2,1)＋6e1·e2＝2＋6×eq \f(1,2)＝5. 答案：5 4．等腰直角三角形ABC中，|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|eq \o(AC,\s\up13(→))|＝2，则eq \o(AB,\s\up13(→))·eq \o(BC,\s\up13(→))＝________. 答案：－4 5．已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________. 解析：(ka－b)·a＝k－eq \f(\r(2),2)＝0，k＝eq \f(\r(2),2). 答案：eq \f(\r(2),2) 数量积的基本概念 [例1]　下列判断： ①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线⇔a·b＝|a||b|；④|a||b|<a·b；⑤a·a·a＝|a|3；⑥a2＋b2≥2a·b；⑦非零向量a·b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长．其中正确的是________(填序号)． [思路点拨]　依据数量积的概念逐一判断。 [解析]　由于a2≥0.b2≥0，所以，若a2＋b2＝0.则a＝b＝0.故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量．所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b共线⇔a·b＝±|a||b|，所以③错误； 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错误； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|2a，所以⑤错误； 对于⑥，a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； 对于⑦，当a与b的夹角为0°时，也有a·b>0，因此⑦错误； 对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非长度，故⑧错误．综上可知①②⑥正确． [答案]　①②⑥ 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等． [变式训练] 1．绐出下列结论： ①若a≠0，a·b＝0，则b＝0：②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________． 解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确． 答案：④ 数量积运算 [例2] 已知|a|＝6，|b|＝8，a与b的夹角为θ＝135°，求： (1)a·b； (2)(2a＋b)·(a－b)． [思路点拨]　利用向量数量积的定义和运算律计算． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ ＝6×8×cos 135°＝－24eq \r(2). (2)(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2 ＝2|a|2－(－24eq \r(2))－|b|2 ＝2×62＋24eq \r(2)－82 ＝8＋24eq \r(2). (1)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即a·b＝|a||b|cos θ. (2)当求向量式的数量积时，先利用向量数量积的运算律展开、化简，再由向量数量积的定义计算． [变式训练] 2．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O,2Oeq \o(A,\s\up13(→))＋Aeq \o(B,\s\up13(→))＋Aeq \o(C,\s\up13(→))＝0，|Oeq \o(A,\s\up13(→))|＝|Aeq \o(B,\s\up13(→))|，则Ceq \o(A,\s\up13(→))·Ceq \o(B,\s\up13(→))的值是　________　. 解析：如图，D为BC中点， ∵2eq \o(OA,\s\up13(→))＋Aeq \o(B,\s\up13(→))＋Aeq \o(C,\s\up13(→))＝0， ∴2Oeq \o(A,\s\up13(→))＋2Aeq \o(D,\s\up13(→))＝0， ∴Aeq \o(D,\s\up13(→))＝－Oeq \o(A,\s\up13(→))，∴Aeq \o(D,\s\up13(→))＝Aeq \o(O,\s\up13(→)) ∵O与D重合，∴BC为圆的直径． ∵|eq \o(OA,\s\up13(→))|＝|Aeq \o(B,\s\up13(→))|＝1，|eq \o(BC,\s\up13(→))|＝2，∴|eq \o(AC,\s\up13(→))|＝eq \r(3)，∴∠ACB＝eq \f(π,6)， ∴Ceq \o(A,\s\up13(→))·Ceq \o(B,\s\up13(→))＝|Ceq \o(A,\s\up13(→))|·|Ceq \o(B,\s\up13(→))|·cos∠ACB＝eq \r(3)·2·eq \f(\r(3),2)＝3. 答案：3 求向量的模 [例3] 已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. [思路点拨]　要求|a－b|，利用模长公式|a－b|＝eq \r(|a|2－2a·b＋|b|2)，只需求2a·b即可． [解]　由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42， ∴a2＋2a·b＋b2＝16.① ∵|a|＝2，|b|＝3， ∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9， 代入①式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3. 又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10， ∴|a－b|＝eq \r(10). 此类问题直接套用公式求解即可． (1)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a). (2)|a±b|＝ eq \r(|a|2±2a·b＋|b|2). [变式训练] 3．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.计算 (1)|a＋b|；(2)|4a－2b|. 解：由已知，a·b＝4×8×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16. (1)∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝4eq \r(3). (2)|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64＝3×162 ∴|4a－2b|＝16eq \r(3). 两向量的垂直与夹角问题 [例4] 已知非零向量a，b满足a＋3b与7a－5b互相垂直，a－4b与7a－2b互相垂直，求a与b的夹角． [思路点拨]　首先转化向量的两个垂直关系，得出中间结论与cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)联立求解． [解]　由已知条件得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋3b·7a－5b＝0，,a－4b·7a－2b＝0.)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7a2＋16a·b－15b2＝0　　　　　　 ①,7a2－30a·b＋8b2＝0　　　　　　　②)) ②－①得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|， ∴cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq \f(1,2). ∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(π,3). (1)通常用两向量垂直来列方程，达到化简条件或求值的目的． (2)要求a与b的夹角，只要求出|a|、|b|及a·b即可．注意向量夹角范围．由cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)(其中a、b是非零向量，θ为a与b的夹角)判定θ的大小时，有五种可能情形：①当cos θ＝1时，θ＝0°；②当cos θ＝0时，θ＝90°；③当cos θ＝－1时，θ＝180°；④当cos θ<0且cos θ≠－1时，θ为钝角；⑤当cos θ>0，且cos θ≠1时，θ为锐角． [变式训练] 4．已知|a|＝2，|b|＝1，(a＋b)⊥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(5,2)b))，求a与b的夹角大小． 解：∵(a＋b)⊥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(5,2)b))，∴(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(5,2)b))＝0. 即a2－eq \f(3,2)a·b－eq \f(5,2)b2＝0.∵a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1， ∴4－3cos θ－eq \f(5,2)＝0.∴cos θ＝eq \f(1,2). 又∵θ∈[0，π]．∴a与b的夹角θ为eq \f(π,3). 数量积的综合应用 [例5]　设两个向量e1，e2满足|e1|＝2.|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围． [思路点拨] 首先根据夹角公式得出关于t的一元二次不等式，然后解式后，注意两向量共线的情况． [解]　由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos θ＝eq \f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2||e1＋te2|)<0，∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0. 化简得2t2＋15t＋7<0，解得－7<t<－eq \f(1,2). 当夹角θ为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2t＝λ，,7＝λt，,λ<0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝－\r(14)，,t＝－\f(\r(14),2)，))故实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2))) 1．求向量夹角时要注意： (1)当已知a，b是非坐标形式时，需求得a·b及|a|，|b|或它们之间的关系； (2)当已知a，b的坐标时，可直接利用公式求解． (3)注意夹角的范围为[0，π]． 2．灵活应用a2＝|a|2，这给出了解决与模有关问题的思路． [变式训练] 5．已知向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7. (1)求a与b的夹角θ； (2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？ 解：(1)∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|， ∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2，∴a·b＝eq \f(c2－a2－b2,2) ＝eq \f(|c|2－|a|2－|b|2,2)＝eq \f(49－9－25,2)＝eq \f(15,2). 又∵a·b＝|a||b|cos θ，∴eq \f(15,2)＝3×5×cos θ， ∴cos θ＝eq \f(1,2)，即θ＝60°. (2)∵(μa＋b)⊥(a－2b)， ∴(μa＋b)·(a－2b)＝0， ∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0， ∴9μ－2×25－2μ×eq \f(15,2)＋eq \f(15,2)＝0，∴μ＝－eq \f(85,12). ∴存在μ＝－eq \f(85,12)，使得μa＋ b与a－2b垂直． $