6.2.2 向量的减法运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6.2.2 向量的减法运算 第六章 平面向量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则． 2．掌握向量减法的几何意义．能熟练进行向量的加、减运算. 通过本节向量减法的学习，重点培养学生的逻辑推理，数学运算素养. [情境引入] 如图所示，两个班级举行一项热身运动：拔河比赛． 如果一方的力记为F1，另一方的力记为F2. 问题　那么它们的合力的大小是多少？方向如何？ 提示　设|F1|>|F2|，合力大小为||F1|－|F2||＝|F1|－|F2|，方向与力F1的方向一致． [知识梳理] [知识点一]　相反向量 与a长度　相等　，方向　相反　的向量，叫作a的相反向量． 1．规定：零向量的相反向量仍是　零向量　； 2．－(－a)＝　a　； 3．a＋(－a)＝　(－a)＋a　＝　0　； 4．若a与b互为相反向量，则a＝　－b　，b＝　－a　，a＋b＝　0　. 　模相等的向量是相反向量吗？相反向量是共线向量吗？ 提示：由相反向量定义可知，模相等的向量不一定是相反向量，相反向量是共线向量． [知识点二]　向量的减法 1．定义：a－b＝a＋　(－b)　，即减去一个向量相当于加上这个向量的　相反向量　. 2.向量减法是向量加法的逆运算． 设x＋b＝a，则x＝a－b，如图，设eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b. 由向量加法的三角形法则可知 eq \o(OA,\s\up6(→))＝eq \o(OB,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))， 则eq \o(BA,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝a－b. 3．几何意义：以O为起点，作向量eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，则　eq \o(BA,\s\up6(→))　＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量　b　的终点指向向量　a　的终点的向量． [知识点三]　非零向量a，b的差向量的三角不等式 1.当a，b不共线时， 如图①，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b， 则a－b＝eq \o(OA,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝　eq \o(BA,\s\up6(→))　. 2．当a，b同向时， 若|a|>|b|，则a－b与a，b同向(如图②)， 于是|a－b|＝|a|－|b| 若|a|<|b|，则a－b与a，b反向(如图③)， 于是|a－b|＝|b|－|a|. 3．当a，b反向时，a－b与a同向，与b反向．于是|a－b|＝|a|＋|b|(如图④)． 4．可见，对任意两个非零向量，总有下列向量不等式成立： ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 说明：①若a、b至少有一个为零向量时，向量不等式的等号成立． ②由于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，将－b代入b得： |a|－|－b|≤|a－b|≤|a|＋|b|， 即|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. [预习自测] 1．设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是(　　) A．a与b的长度相等 B．a∥b C．a与b一定相等 D．a是b的相反向量 答案：C　 2．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a－a＝0. 正确的个数是(　　) A．3　　　 B．4　　　　 C．5　　　 D．6 答案：D 3.如图所示，在▱ABCD中，eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AD,\s\up6(→))＝b，则用a、b表示向量 eq \o(AC,\s\up6(→))和 eq \o(BD,\s\up6(→))分别是(　　) A．a＋b和a－b　　　 B．a＋b和b－a C．a－b和b－a D．b－a和b＋a 答案：B　 4.eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))＝________. 答案：0 5．化简：(1)(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→)))＋(eq \o(BE,\s\up6(→))－eq \o(DE,\s\up6(→)))．(2)Aeq \o(B,\s\up6(→))＋Deq \o(A,\s\up6(→))＋Beq \o(D,\s\up6(→))－Beq \o(C,\s\up6(→))－Ceq \o(A,\s\up6(→)) 解析：(1)原式＝(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(BE,\s\up6(→)))－(eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DE,\s\up6(→))) ＝eq \o(AE,\s\up6(→))－eq \o(CE,\s\up6(→))＝eq \o(AE,\s\up6(→))＋eq \o(EC,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→)). (2)Aeq \o(B,\s\up6(→))＋Deq \o(A,\s\up6(→))＋Beq \o(D,\s\up6(→))－Beq \o(C,\s\up6(→))－Ceq \o(A,\s\up6(→)) ＝(Aeq \o(B,\s\up6(→))＋Beq \o(D,\s\up6(→)))＋Deq \o(A,\s\up6(→))－(Beq \o(C,\s\up6(→))＋Ceq \o(A,\s\up6(→))) ＝Aeq \o(D,\s\up6(→))＋Deq \o(A,\s\up6(→))－Beq \o(A,\s\up6(→)) ＝－Beq \o(A,\s\up6(→))＝Aeq \o(B,\s\up6(→)). 向量减法法则的应用 [例1]　如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d. [思路点拨]　利用减法的几何意义作图． [解]　如图所示，在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，eq \o(OD,\s\up6(→))＝d. 则a－b＝eq \o(BA,\s\up6(→))，c－d＝eq \o(DC,\s\up6(→)). 利用向量减法进行几何作图的方法 (1)已知向量a、b，如图①所示．作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，利用向量减法的三角形法则可得a－b，利用此方法作图时，把两个向量的起点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量． (2)利用相反向量作图，通过向量求和的平行四边形法则作出a－b.如图②所示，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(AC,\s\up6(→))＝－b，则eq \o(OC,\s\up6(→))＝a＋(－b)，即eq \o(BA,\s\up6(→))＝a－b. [变式训练] 1．如图所示，已知向量a，b，c，求作向量a＋b－c. [解]　在平面内任取一点O，作eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c. 由向量加法的平行四边形法则得eq \o(OD,\s\up6(→))＝a＋b； 由向量的减法法则得eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(OD,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))＝a＋b－c. 所以eq \o(CD,\s\up6(→))就是所要求作的向量a＋b－c(如图所示)． 向量减法的运算 [例2]　化简下列式子： (1)eq \o(NQ,\s\up6(→))－eq \o(PQ,\s\up6(→))－eq \o(NM,\s\up6(→))－eq \o(MP,\s\up6(→))； (2)(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→)))－(eq \o(AC,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→)))． [思路点拨]　利用向量减法的运算律进行化简 [解]　(1)原式＝eq \o(NP,\s\up6(→))＋eq \o(MN,\s\up6(→))－eq \o(MP,\s\up6(→))＝eq \o(NP,\s\up6(→))＋eq \o(PN,\s\up6(→))＝eq \o(NP,\s\up6(→))－eq \o(NP,\s\up6(→))＝0. (2) 原式＝eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝(eq \o(AB,\s\up6(→))－eq \o(AC,\s\up6(→)))＋(eq \o(DC,\s\up6(→))－eq \o(DB,\s\up6(→)))＝eq \o(CB,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→))＝0. 化简向量的和差的方法 (1)如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． (2)可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． (3)化简向量的差时注意共起点、由减数向量的终点指向被减数向量的终点． [特别提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化是向量化筒的重要技巧． [变式训练] 2．化简： (1)(eq \o(BA,\s\up6(→))－eq \o(BC,\s\up6(→)))－(eq \o(ED,\s\up6(→))－eq \o(EC,\s\up6(→)))； (2)(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BO,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→)))－(eq \o(DC,\s\up6(→))－eq \o(DO,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→)))． [解]　(1)(eq \o(BA,\s\up6(→))－eq \o(BC,\s\up6(→)))－(eq \o(ED,\s\up6(→))－eq \o(EC,\s\up6(→))) ＝eq \o(CA,\s\up6(→))－eq \o(CD,\s\up6(→))＝eq \o(DA,\s\up6(→)). (2)(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BO,\s\up6(→))＋eq \o(OA,\s\up6(→)))－(eq \o(DC,\s\up6(→))－eq \o(DO,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))) ＝eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))－eq \o(DC,\s\up6(→))＋(eq \o(DO,\s\up6(→))＋eq \o(OB,\s\up6(→))) ＝eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BA,\s\up6(→))－eq \o(DC,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→)) ＝eq \o(BC,\s\up6(→))－eq \o(DC,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))＋eq \o(DB,\s\up6(→)) ＝eq \o(BC,\s\up6(→))＋eq \o(CB,\s\up6(→))＝0. 向量加法、减法的综合运算 [例3] 如图所示，已知eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，eq \o(OD,\s\up6(→))＝d，eq \o(OE,\s\up6(→))＝e，eq \o(OF,\s\up6(→))＝f，试用a，b，c，d，e，f表示： (1)eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))；(2)eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(CF,\s\up6(→))； (3)eq \o(BF,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→)). [思路点拨]　寻找图形中已知向量与所表示向量的关系，再灵活运用三角形或平行四边形法则表示即可． [解]　(1)∵eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OD,\s\up6(→))＝d， ∴eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(OD,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝d－b. (2)∵eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，eq \o(OF,\s\up6(→))＝f， ∴eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(CF,\s\up6(→))＝(eq \o(OB,\s\up6(→))－eq \o(OA,\s\up6(→)))＋(eq \o(OF,\s\up6(→))－eq \o(OC,\s\up6(→))) ＝b＋f－a－c. (3)∵eq \o(OD,\s\up6(→))＝d，eq \o(OF,\s\up6(→))＝f， ∴eq \o(BF,\s\up6(→))－eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(DF,\s\up6(→))＝eq \o(OF,\s\up6(→))－eq \o(OD,\s\up6(→))＝f－d. (1)解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、平行向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道． (2)通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－eq \o(AB,\s\up6(→))”改为“＋eq \o(BA,\s\up6(→))”． [变式训练] 3.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(OB,\s\up6(→))＝b，eq \o(OC,\s\up6(→))＝c，求eq \o(OD,\s\up6(→)). 解：在△AOD中，eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))， 在△BOC中，eq \o(BC,\s\up6(→))＝eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))， 又∵四边形ABCD是平行四边形，∴eq \o(AD,\s\up6(→))＝eq \o(BC,\s\up6(→))， ∴eq \o(OD,\s\up6(→))＝eq \o(OA,\s\up6(→))＋eq \o(OC,\s\up6(→))－eq \o(OB,\s\up6(→))＝a＋c－b. $