6.1 平面向量的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6.1 平面向量的概念 第六章 平面向量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 课后 素养提升 02 03 课前 预习学案 01 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学·必修第二册 课程标准 素养解读 1.理解向量的几何表示的意义和方法． 2．理解零向量，单位向量及向量的模等概念． 3．理解零向量、相等向量及共线向量的概念． 4．掌握向量的夹角及其表示. 通过学习向量的有关概念及表示，重点培养学生的数学抽象、直观想象素养. [情境引入] 猫和老鼠 一只老鼠和一只猫相距16米，老鼠以每秒4米的速度从B点向正东奔跑，猫以每秒7米的速度从A点向正东追． 问题　1.猫能否追上老鼠？ 2．若猫的速度记为υ1，老鼠的速度记为υ2，那么υ1和υ2有什么关系？ 提示1.能追上，因为它们的方向相同，猫的速率大于老鼠的速率． 2．υ1和υ2为共线向量． [知识梳理] [知识点一]　向量的概念 1．向量：既有　大小　，又有　方向　的量叫向量． 2．数量：只有　大小　，没有　方向　的量叫数量． 1.两个向量能否比较大小？ 提示：不能．向量是既有大小又有方向的量．所以只能比较它们模的大小． [知识点二]　向量的表示 1．有向线段 带有　方向　的线段叫作有向线段，它包含三个要素：　起点　、　方向　和　长度　，以点A为起点，B为终点的有向线段记作eq \o(AB,\s\up6(→)). 2．向量的几何表示 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说　向量eq \o(AB,\s\up13(→))　. 3．用字母表示向量 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时用带箭头的小写字母　eq \o(a,\s\up6(→))　， 　eq \o(b,\s\up13(→))　，　eq \o(c,\s\up13(→))　，…表示向量． 2.有向线段就是向量吗？ 提示：不是．向量是既有大小又有方向的量，而有向线段除了有大小、方向外还有起点，所以二者是不同的，但是可以用有向线段表示向量． [知识点三]　向量的长度(模) 1．向量a的大小，记作|a|，又称作向量的模． 2．两种特殊的向量 (1)长度为0的向量称为 零向量 ，记作eq \o(0,\s\up13(→))或0，任何方向都可以作为零向量的方向． (2)模等于1个单位长度的向量称为单位向量． [知识点四]　相等向量和共线向量 1．相等向量是指它们的大小相等且方向相同，向量a与b相等，记作　a＝b　.若两条有向线段方向相同，长度相等，则它们表示的向量是相等的．代表相同向量的有向线段与起点位置无关． 2．(1)若两个向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为　共线　向量或　平行　向量，也称这两个向量　共线或平行　，记作a∥b. (2)两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线　重合或平行　. (3)若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为　相反向量　.相反向量是共线向量．若其中一个向量为a，则它的相反向量记作　－a　. (4)零向量与任一向量共线，即对于任意的向量a，都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量． 3.单位向量都相等吗？ 提示：不一定．单位向量的长度都相等，但方向不一定相同，故不一定相等． [预习自测] 1．下列量中不是向量的是(　　) A．位移 B．重力 C．速度 D．温度 答案：D 2．下列各选项中，正确的是(　　) A．|a|＝|b|⇒a＝b　 B．|a|>|b|⇒a>b C．|a|＝0⇒a＝0 D．|a|＝0⇒a＝0 答案：C 3．下列说法错误的是(　　) A．向量eq \o(AB,\s\up13(→))与eq \o(BA,\s\up13(→))模相等 B．两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C．只有零向量的模等于0 D．零向量没有方向 答案：D 4．零向量与单位向量的关系是________(填“共线”、“相等”、“无关”)． 答案：共线 5.如图以1×2方格中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中． (1)与eq \o(AF,\s\up13(→))相等的向量有________； (2)与eq \o(AE,\s\up13(→))共线的向量有________________． 解析：(1)与eq \o(AF,\s\up13(→))相等的向量有eq \o(BE,\s\up13(→))、eq \o(CD,\s\up13(→)). (2)与eq \o(AE,\s\up13(→))共线的向量有eq \o(EA,\s\up13(→))、eq \o(BD,\s\up13(→))、eq \o(DB,\s\up13(→)). 答案：(1) eq \o(BE,\s\up13(→))、eq \o(CD,\s\up13(→))　(2) eq \o(EA,\s\up13(→))、eq \o(BD,\s\up13(→))、eq \o(DB,\s\up13(→)) 向量的有关概念 [例1] 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②向量的模一定是正数； ③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量； ④向量eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． [思路点拨]　解答本题可从向量的定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断真假． [解析]　①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系． ②错误.0的模为零． ③正确．对于一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反即可，并不要求两个向量eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→))必须在同一直线上． [答案]　③ 向量有关概念的辨析问题，关键是理解有关概念的意义．向量是既有大小又有方向的量．向量的大小叫向量的长度或模．向量的有关概念都是从方向和大小两个方面定义的．仅从向量的大小考虑：长度为1个单位的向量叫单位向量，长度为0的向量叫零向量．仅从方向考虑：方向相同或相反的向量叫平行或共线向量；从两方面考虑：方向相同、大小相等的向量叫相等向量． [变式训练] 1．下列说法正确的是(　　) A．若a＝b，则a∥b B．|a|＞|b|，则a＞b C．若a∥b，则b∥c，则a∥c D．若a≠b，则a与b不共线 解析：A　[由向量相等的定义知A正确；向量是有方向的量，不能比较大小，故B错误；选项C中，当c＝0时，a与c不平行，故C不正确；选项D中，a≠b可以是a∥b但a与b的模不相等，故D不正确．] 向量的表示 [例2] 某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围． (1)作出向量eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→))； (2)求出|eq \o(AD|,\s\up13(→)). [思路点拨]　作图时既要考虑向量的大小，又要考虑其方向及起点，为此可建立平面直角坐标系，在坐标系中作图求解． [解]　 (1)向量eq \o(AB,\s\up13(→))、eq \o(BC,\s\up13(→))、eq \o(CD,\s\up13(→))如图所示． (2)由题意，易知eq \o(AB,\s\up13(→))与eq \o(CD,\s\up13(→))方向相反，故eq \o(AB,\s\up13(→))与eq \o(CD,\s\up13(→))共线，又|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝|eq \o(CD,\s\up13(→))|， ∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形ABCD为平行四边形． ∴eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \o(BC,\s\up13(→))，∴|eq \o(AD,\s\up13(→))|＝|eq \o(BC,\s\up13(→))|＝200 km. (1)向量的画法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点． (2)向量的表示方法：向量的表示方法有几何表示和字母表示，用几何研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础，字母表示便于向量的运算． [变式训练] 2．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了10eq \r(2)米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． (1)作出向量eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→))； (2)求eq \o(AD,\s\up13(→))的模． 解析： (1)作出向量eq \o(AB,\s\up13(→))，eq \o(BC,\s\up13(→))，eq \o(CD,\s\up13(→))；如图所示． (2)由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq \r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以eq \o(AD,\s\up13(→))＝eq \r(52＋102)＝5eq \r(5)(米)， 所以|eq \o(AD,\s\up16(→))|＝5eq \r(5)米． 共线向量与相等向量 [例3] 在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)，找出存在下列关系的向量： ①共线向量：________； ②方向相反的向量：________； ③模相等的向量：________. [思路点拨]　借助图形和向量相关概念进行判断。 [解析]　观察图形a∥d，b∥e，因此a与d是共线向量，并且方向相反；b与e是共线向量，并且方向相反， 显然|a|＝eq \r(5)，|c|＝eq \r(5)，|d|＝eq \r(5)因此a，c，d的模相等． [答案]　a与d，b与e　a与d，b与e　a，c，d 判断两个向量是否共线，关键是看方向是否相同或相反，判断两个向量相等，既要使方向相同，又要使长度相等． [变式训练] 3．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形． (1)写出与向量eq \o(ED,\s\up13(→))相等的向量； (2)若|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝3，求向量eq \o(EC,\s\up13(→))的模． 解：(1)∵四边形ABCD和ABDE都是平行四边形， ∴AB綊ED，AB綊DC，从而eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(ED,\s\up13(→))，eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))， ∴eq \o(ED,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))，故与向量eq \o(ED,\s\up13(→))相等的向量是eq \o(AB,\s\up13(→))、eq \o(DC,\s\up13(→)). (2)∵eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(ED,\s\up13(→))，eq \o(AB,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→))，∴eq \o(ED,\s\up13(→))＝eq \o(DC,\s\up13(→)). ∴eq \o(ED,\s\up13(→))与eq \o(DC,\s\up13(→))方向相同，从而E、D、C三点共线． ∴|eq \o(EC,\s\up13(→))|＝|eq \o(ED,\s\up13(→))|＋|eq \o(DC,\s\up13(→))|＝2|eq \o(AB,\s\up13(→))|＝6. $