1.2.1《等边三角形的性质与判定》同步练习2025－2026学年北师大版数学八年级下册

1.2.1《等边三角形的性质与判定》 一、单选题 1,如图，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=() A.30° B.35 C.45° D.60 2.如图，直线m∥n,等边△ABC的J顶点B在直线n上，直线m交AB边于点D,若∠a=18°，则 ∠邛的度数为() BAD m -n B A.72 B.78 C.86° D.82° 3.如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E,若BE=2,则AC的 长为() D B E A.4 B.6 C.8 D.10 4.如图，在△ABC中，LACB=90°，∠A=30°，AB=8,P是AC上的动点.连接BP,以BP为边 作等边三角形BPQ,连接CQ,则线段CQ长的最小值是() A.2 B.4 C.25 D.√5+2 5.如图，C为线段AE上一动点.（不与A,E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边 △ECD,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,则有以下五个结论： ①AD=BE;②PQ∥AE;③AB=BQ;④DE=DP;⑤LAOB=60°.其中正确的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 6.如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC于E,若AE=1,则△ABC的边长 为 D 7.已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足(b-2)+c-2=0,且a为方程x-4=2的解， 则△ABC的形状为 三角形 8.如图，△ABC是等边三角形，点D是AB边上一点，过点D作DE⊥BC,垂足为点E,直线 DE与CA的延长线相交于点F,若BD=4cm,AF=3cm,则AC的长为 cm B E C 9.如图，在△ABC中，LA=LB=60°，点D是边AB上一点，过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC, 交BC于点E,交AC于点F,若AF=BD=2,则BC= D B 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8,P,Q分别为边AB,AC上的任意一 点，且BP=2AQ,连接P四.若△APQ是直角三角形，则AQ=· 三、解答题 11.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交 BC的延长线于点F. B D (1)求∠F的度数； (2)若CD=2,求DF的长. 12.如图，在△ABC中，BA=BC,∠B=60°，点D是△ABC外一点，且DA=DC,过点D作 DE∥BC分别交AB,AC于点E,F. (1)判断△AEF的形状，并说明理由； (2)若AB=15,DE=10,求DF的长. 13.如图，在△ABC中，AB=AC,LBAC=120°，AD1BC交BC于点G,AD=AB,AG=4,点 E,F分别在边AB,AC上，连接ED,FD,BD. (1)求BD的长； (2)若LEDF=60°，求证：BE+CF=BD, 14.如图，在等边△ABC中，AB=6,点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BA方 向向终点A匀速运动；同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿边CB方向匀速运动， 点P停止运动时，点Q也停止运动.分别连接Q,PC,设运动时间为x秒(x>0). A P B Q←C (1)当CP平分∠ACB时，求x的值. (2)当PQ∥AC时，求x的值， (3)当△PBQ为直角三角形时，直接写出x的值. 15.如图，△ABC是等边三角形，AB=10,AD是边BC上的高，点E在边AD上，连接BE,在 其下方作BF,使BE=BF,LBEF=60°，连接DF,CF,EF. E D (1)当△BDE是等腰三角形时，求出∠ABF的度数； (2)求证：△ABE≌aCBF; (3)当△CDF是等腰三角形时，求出∠BDF的度数. 16.已知，△ABC是一个等边三角形，点E为射线CB上一动点（点E不与点B,C重合），连接 AE,过点A作线段AF=AE,使得LEAF=I20°，且点F在直线AB的上方. 图1 图2 图3 (1)当点E在BC边上运动时， ①如图1，过点F作FD∥BC交直线AC于点D,设∠EAB的度数为a°，则LFAD的度数为 (用含：的式子表示)，请直接写出线段AD和BE的数量关系：-； ②如图2，若点E为BC边上的中点，连接BF交AC边于点G,求证：BG=FG; 点E在射线CB上运动时，直线BF与直线AC交于点G,如果C=三，请求出C 参考答案 一、单选题 1.A 解：在等边△ABC中，点D是边BC的中点， .LBAC=60°，AD平分∠BAC, ∠BAD=∠BAC=30°； 2 故选：A. 2.B 解：△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°， m∥n, ∴.∠B=∠au+∠ABC=18°+60°=78°， 故选：B. 3.C 解：.∠B=∠C=60°， ∴.△ABC是等边三角形， .AB=AC, .DE⊥BC,∠B=60°， .∴.∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30°， .BD=2BE=4, ,点D为AB边的中点， .AB=2BD=8, 故AC=8. 故选：C. 4.A 解：如图，取AB中点E,连接CE,PE. B .∠ACB=90°，LA=30°，AB=8, BC=BE=AE=AB=4,∠ABC=60°， 2 ,△BPQ是等边三角形， ∴.BQ=BP,∠PBQ=60°， ∴.∠PBQ-∠PBC=∠ABC-∠PBC, 即∠EBP=∠CBQ, .△EBP≌aCBQ(SAS), ∴.EP=CQ, .当EP⊥AC时，CQ的值最小， 在Rt△AEP中，∠A=30°，AE=4, .PE=IAE=2, .线段C四长的最小值是2. 故选：A 5.B 解：：△ABC和aCDE是等边三角形， .AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， :LACB+∠BCD=∠DCE+LBCD,即LACD=∠BCE, 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE AACD≌aBCE(SAS), AD=BE,故①正确； :△ACD≌△BCE(SAS), ∠CBE=LDAC, 又：∠ACB=∠DCE=60°， ∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ, 又：AC=BC, ACQB≌△CPA(ASA, ..CP=CO, 又：LPC0=60°，可知△PCQ为等边三角形， :∠PQC=LDCE=60°， ∴PQ∥AE,故②正确： △CQB≌aCPA(ASA, :AP=BO, ∴.AB≠BQ,故③错误； AD =BE,AP=BO, AD-AP=BE-BQ,即DP=QE, :∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,LCDE=60°， ∠DQE≠∠CDE,则DE≠DP,故④错误； :∠ACB=∠DEC=60° BC∥DE, :ZCBE ZBED .∠DAE=LCBE=∠BED, :LA0B=LOAE+LAE0=LBED+LAE0=LCED=60°，故⑤正确. 故选：B. 二、填空题 6.4 解：△ABC是等边三角形， ∴.LA=60°， ,DE⊥AC, ∴.∠ADE=90°-∠A=30°， 在RtADE中，AE=1,则AD=2AE=2, D为AB的中点， .AB=2AD=4. 故答案为：4. 7.等边 解：.(b-2)+c-2=0, .b-2=0,c-2=0, ∴.b=2,c=2,