第七章 随机变量及其分布 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

该高中数学复习讲义通过“知识整合·思维导图”系统构建概率统计知识体系，分考点梳理条件概率、二项分布、随机变量的均值与方差及正态分布，结合例题解析与方法总结，呈现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型梳理·素养聚焦”设计，如条件概率例题结合实际情境培养数学运算，二项分布问题强化逻辑推理，变式训练与方法策略助力不同层次学生掌握，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

[知识整合·思维导图] [题型梳理·素养聚焦] [考点一]　数学运算、数学抽象——条件概率、乘法公式及全概率公式 [例1](1)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为(　　) A.　　　 B.　　 　C.　　 　D. (2)2025年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80 %，60 %，70 %. ①求用户对S型新能源汽车的满意率； ②从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 解析：(1)C　[设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C.] (2)分析：①由全概率公式求解即可； ②由贝叶斯公式求解． 解析：①设A1＝“用户购买的高价位的S型新能源汽车”，A2＝“用户购买的是中价位的S型新能源汽车”， A3＝“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”， B＝“用户对S型新能源汽车满意”， 则A1，A2，A3两两互斥，且P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.4，P(B|A1)＝0.8，P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝0.7，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.3×0.8＋0.3×0.6＋0.4×0.7＝0.7. ②从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，A3发生的概率，P(A3|B)＝＝ ＝＝0.4. 条件概率的两个求解策略 1．定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用 P(A|B)＝求解． 2．缩小样本空间法：利用P(B|A)＝求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题． [变式训练] 1．设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件． (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率． 解：记事件A1：“该产品是甲厂生产的”，事件A2：“该产品是乙厂生产的”，事件A3：“该产品是丙厂生产的”，事件B：“该产品是次品”．由题设，知 P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%. (1)由全概率公式得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝3.5%. (2)由贝叶斯公式得P(A1|B)＝＝. [考点二]　数学逻辑、数学抽象——事件的独立性、二项分布和超几何分布 [例2]哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题．A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜．总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖．某班参加活动的同学A类题中只有4道能答对，B类题中，每题答对的概率均为，且各题答对与否互不影响． (1)求该同学被终止比赛的概率； (2)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望； (3)求该同学获得三等奖的概率． 分析：(1)根据题意，第一轮中该同学只答对1道则被终止比赛，计算概率即可； (2)分析得X的所有可能取值，分别求出概率，即可得出分布列，进而得出数学期望； (3)分析该同学获得三等奖的所有情况，再计算概率即可． 解：(1)从A类6道题中任选3道，其中1道会做，2道不会做，则被终止比赛，所以该同学被终止比赛的概率为＝＝. (2)由题意可知，X的所有可能取值为90,60,30,0，则P(X＝90)＝3＝， P(X＝60)＝C·×2＝＝， P(X＝30)＝C·2＝＝， P(X＝0)＝3＝， 所以X的分布列为： X 90 60 30 0 P 所以E(X)＝90×＋60×＋30×＋0×＝60. (3)该同学获得三等奖，共有两种情况，①第一轮得20分(答对2道)，则第二轮得60分(答对2道)，概率为·C2×， ②第一轮得30分(答对3道)，则第二轮得60分(答对2道)，概率为·C×2×，所以该同学获得三等奖的概率为·C·2×＋·C·2×＝. [例3]　每年的12月4日为我国的“法制宣传日”．天津市某高中团委在2024年12月4日开展了以“学法、遵法、守法”为主题的学习活动．已知该学校高一、高二、高三的学生人数分别是480、360、360.为检查该学校组织学生学习的效果．现采用分层随机抽样的方法从该校全体学生中选取10名学生进行问卷测试．具体要求：每名被选中的学生要从10个有关法律、法规的问题中随机抽出4个问题进行回答，所抽取的4个问题全部答对的学生将给予表彰． (1)求各个年级应选取的学生人数； (2)若从被选取的10名学生中任选3名学生，求这3名学生分别来自三个年级的概率； (3)若被选取的10人中的某学生能答对10道题中的7道题，记X表示该名学生答对问题的道数．求随机变量X的分布列及数学期望． 解：(1)由题意，知高一、高二、高三年级的人数之比为4∶3∶3，由于采用分层随机抽样的方法从中选取10名学生，因此，高一年级应选取4名学生，高二年级应选取3名学生，高三年级应选取3名学生． (2)由(1)知，被选取的10名学生中，高一、高二、高三年级分别有4名、3名、3名，所以从这10名学生中任选3名，这3名学生分别来自三个年级的概率为＝. (3)由题意知，随机变量X的可能取值为1,2,3,4，且X服从超几何分布， P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)． 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 1．二项分布的应用 (1)二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→确定参数n, p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解． (2)二项分布的有关问题中，求解随机变量涉及“至少” “至多”问题的取值概率，实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率和或者利用对立事件求概率． (3)若随机变量不服从二项分布，看能否找出与之相关联的，并且服从二项分布的另一个随机变量，进而求解． 2．超几何分布的特征 满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成，如男生、女生；正品、次品；优、劣等．判断一个随机变量是否服从超几何分布，关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征：①不放回抽样；②一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(有M个)，B(有N－M个)，任取n个，其中恰有X个A.符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布． [变式训练] 2．某公司生产了A，B两种产品投放市场，计划每年对这两种产品投入200万元，每种产品一年至少投入20万元，其中A产品的年收益P(a)，B产品的年收益Q(a)与投入a(单位：万元)分别满足P(a)＝80＋4，Q(a)＝a＋120.若公司有100名销售人员，按照他们对销售两种产品的业绩分为普通销售、中级销售以及金牌销售，其中普通销售28人，中级销售60人，金牌销售12人． (1)为了使A，B两种产品的年总收益之和最大，求A产品每年的投入； (2)为了对表现良好的销售人员进行奖励，公司制订了两种奖励方案： 方案一：按分层随机抽样从三类销售中共抽取25人给予奖励，其中普通销售每人奖励2 300元，中级销售每人奖励5 000元；金牌销售每人奖励8 000元； 方案二：每名销售都参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有3个白球，2个红球(球只有颜色不同)的箱子中有放回地摸三次球，每次只能摸一个球．若摸到红球的总数为2，则可奖励1 500元，若摸到红球的总数为3，则可奖励3 000元，其他情况不给予奖励，规定普通销售每人均可参加1次摸奖游戏；中级销售每人均可参加2次摸奖游戏，金牌销售每人均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立，奖励叠加)． ①求按照方案一奖励的总金额； ②假设你是企业老板，试通过计算并结合实际说明你会选择哪种方案奖励销售人员． 解：(1)由题意，设A产品每年投入x万元，年总收益之和为f(x)，则f(x)＝80＋4＋(200－x)＋120＝－x＋4＋250，依题意得解得20≤x≤180， 故f(x)＝－x＋4＋250(20≤x≤180)， 令t＝，则t∈[2，6]， 所以y＝－t2＋4t＋250＝－(t－8)2＋282， 所以当t＝8，即x＝128时，y取得最大值，为282万元． 所以A产品每年投入128万元时，A，B两种产品的年总收益之和最大． (2)①由题意，按照方案一奖励：按分层随机抽样从普通销售、中级销售、金牌销售中共抽取25人，其中普通销售、中级销售、金牌销售的人数分别是×25＝7，×25＝15，×25＝3， 所以按照方案一奖励的总金额为7×2 300＋15×5 000＋ 3×8 000＝115 100(元)． ②按照方案二奖励：设X表示参加1次摸奖游戏所获得的奖励金额，则X的可能取值为0,1 500，3 000，每次摸到红球的概率P＝＝， 所以P(X＝0)＝C03＋C12＝， P(X＝1 500)＝C21＝， P(X＝3 000)＝C3＝， 所以X的分布列为 X 0 1 500 3 000 P 所以E(X)＝0×＋1 500×＋3 000×＝624， 则按照方案二奖励的总金额为(28＋2×60＋3×12)×624＝114 816(元)． 结合①知方案一奖励的总金额多于方案二奖励的总金额，所以选择方案二． [考点三]　逻辑推理、数学运算——离散型随机变量的均值与方差 [例4]　某高校通过自主招生方式在A市招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题回答．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率为，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是互不影响的． (1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率； (2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大． 解：(1)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率P＝×C××2＋×C×0×3＝. (2)设学生甲答对的题数为X，则X的可能取值为1,2,3， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 则E(X)＝1×＋2×＋3×＝2， D(X)＝(1－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝. 设学生乙答对题数为Y，则Y的可能取值为0,1,2,3， 由题意知Y～B，则E(Y)＝3×＝2，D(Y)＝3××＝， ∴E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， ∴甲被录取的可能性更大． 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 [变式训练] 3．新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题．多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分．在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲、乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的． (1)若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率； (2)若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为X，乙同学的两题得分为Y，求D(X)，E(Y)． 解析：(1)因为甲同学两题得分合计为4分，且甲同学每题均随机选取1项，所以11题可能的选择有A、D共2种，12题可能的选择有：A、B、D共3种，所以P(甲同学两题得分合计为4分)＝×＝×＝. (2)甲同学的两题得分X可能的取值为：0,2,4， P(X＝0)＝×＝， P(X＝2)＝×＋×＝＋＝，P(X－4)＝， 所以X的分布列为： X 0 2 4 P 所以E(X)＝0×＋2×＋4×＝＝， D(X)＝0－2×＋2－2×＋4－2×＝＝，乙同学第11题得分Y1可能的取值为：0,5，P(Y1＝0)＝＝＝，P(Y1＝5)＝＝，乙同学第12题得分Y2可能的取值为：0,2，P(Y2＝0)＝＝＝，P(Y2＝2)＝＝＝，乙同学的两题得分Y可能的取值为：0,2,5,7， P(Y＝0)＝P(Y1＝0)·P(Y2＝0)＝×＝， P(Y＝2)＝P(Y1＝0)·P(Y2＝2)＝×＝， P(Y＝5)＝P(Y1＝5)·P(Y2＝0)＝×＝， P(Y＝7)＝P(Y1＝5)·P(Y2＝2)＝×＝， 所以Y的分布列为： Y 0 2 5 7 P 所以E(Y)＝0×＋2×＋5×＋7×＝＝＝. 答案：(1) (2)D(X)＝，E(Y)＝ [考点四]　数学运算——正态分布及其应用 [例5]　若随机变量X满足正态分布N(μ，σ2)，则有P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5.现有20 000人参加数学测试，成绩大致服从正态分布N(100,102)，则可估计本次数学测试成绩在120分以上的学生人数为(　　) A．1 587　　　　 B．228 C．455 D．3 174 解析：C　[依题意可知μ＝100，σ＝10，记本次数学测试成绩为随机变量X，由于P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，所以P(80<X≤120)≈0.954 5，因此本次数学测试成绩在120分以上的学生约有20 000×＝455(人)．] 解决正态分布问题有三个关键点： (1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ及分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0. [变式训练] 4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是(　　) A．997　　　　　 B．954 C．819 D．683 解析：D　[由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<x≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈68.3%，从而属于正常情况的人数是1 000×68.3%＝683.] 学科网（北京）股份有限公司 $