7.3.1 离散型随机变量的均值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学离散型随机变量的均值，系统梳理其定义（取值与概率的加权平均数）、意义（反映平均水平）及性质（线性变换），结合两点分布均值公式，通过情境引入、知识梳理、例题解析构建从概念到应用的学习支架。 资料以交通岗遇红灯等情境培养数学抽象，通过演出顺序、商品利润等例题提升数学运算，分层练习（当堂达标、基础过关等）兼顾课中教学与课后巩固，助力学生用数学思维解决实际问题，发展应用意识。

7．3　离散型随机变量的数字特征 7．3.1　离散型随机变量的均值 课程标准 素养解读 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值 2.掌握两点分布、二项分布、超几何分布的均值 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题 1.通过学习离散型随机变量的均值，体会数学抽象的素养 2.借助数学期望公式解决问题，提升数学运算的素养 [情境引入] 某人从家乘汽车到单位，途中有三个交通岗亭，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，且概率都为0.4，你能求出此人上班途中遇红灯次数的期望值吗？ [知识梳理] [知识点一]　离散型随机变量的均值 1．定义：一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示. X X1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 则称E(X)＝＝为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称为期望)． 2．意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，反映了随机变量取值的　平均水平　. 3．性质：若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝　aE(X)＋b　. 随机变量的均值与样本的平均值有什么区别和联系？ 提示：随机变量的均值是常数，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．因此，我们常用样本的平均值来估计总体的均值． [知识点二]　两点分布的均值 若随机变量X服从参数为p的两点分布，则E(X)＝　p　. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)随机变量X的均值E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(×) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(×) (3)若随机变量X的均值E(X)＝2，则E(2X)＝4.(√) 2．已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值E(X)＝(　　) A.　　 B．2　　　 C.　　　 D．3 解析：A　[E(X)＝1×＋2×＋3×＝.] 3．已知离散型随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P a 设Y＝6X＋1，则Y的均值E(Y)＝　________　. 解析：由已知得＋＋a＝1，解得a＝， 则E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－. 则E(Y)＝6E(X)＋1＝6×＋1＝0. 答案：0 　　　离散型随机变量的均值公式及性质 [例1]　(1)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求： ①甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； ②甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与均值． [思路点拨]　①可先求“甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”的对立事件的概率； ②先求出ξ的取值及每个取值的概率，然后求其分布列和均值． 解：只考虑甲、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数． ①设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝. ②ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4，且 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝.从而知ξ的分布列为 Ξ 0 1 2 3 4 P 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. (2)已知随机变量X的分布列如表： X －2 －1 0 1 2 P m ①求m的值； ②求E(X)； ③若Y＝2X－3，求E(Y)． [思路点拨]　直接利用公式求解． 解：①由随机变量分布列的性质，得 ＋＋＋m＋＝1，解得m＝. ②E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. ③由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得 E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－. 1．求离散型随机变量X的均值的一般步骤 2．对于aX＋b型的随机变量的求均值的方法 (1)利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝ aE(X)＋b； (2)先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解． [变式训练] 1．离散型随机变量X的可能取值为1,2,3,4，P(X＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)，E(X)＝3，则a＋b等于　________　. 解析：易知E(X)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，即30a＋10b＝3.① 由分布列的性质，得(a＋b)＋(2a＋b)＋(3a＋b)＋(4a＋b)＝1，即10a＋4b＝1.② 由①②得a＝，b＝0.所以a＋b＝. 答案： 　两点分布的均值 [例2] (多选)已知甲盒中有2个红球、1个黄球，乙盒中有1个红球、2个黄球．从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为Xi(i＝1,2,3)(甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应i＝1,2,3)，则 (　　) A．X1，X2，X3的所有取值分别为0,1 B．X1，X2，X3服从两点分布 C．E(X1)<E(X3)<E(X2) D．E(X1)>E(X3)>E(X2) [思路点拨]　先判断是否服从两点分布再直接利用公式求解． ABD　[依题意，X1的所有取值为0,1.其中P(X1＝0)＝×＝，P(X1＝1)＝×1＋×＝，所以随机变量X1的分布列为： X1 0 1 P X1服从两点分布，所以E(X1)＝；同理，X2的所有取值为0,1.P(X2＝1)＝×＝，P(X2＝0)＝×＋×1＝，所以随机变量X2的分布列为： X2 0 1 P X2服从两点分布，所以E(X2)＝；X3的所有取值为0,1，P(X3＝0)＝×＋××1＝，P(X3＝1)＝×＋××1＝，所以随机变量X3的分布列为： X3 0 1 P X3服从两点分布，所以E(X3)＝，所以E(X1)>E(X3)>E(X2)．] 如果随机变量服从两点分布，则直接利用两点分布的均值公式计算． [变式训练] 2．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分，如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？ 解：由已知，X服从两点分布，且 P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2 所以E(X)＝0.8. 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. [当堂达标] 1．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为(　　) A．0　　　 B.　　　 C．1　　　 D．－1 解析：A　[因为P(X＝1)＝，P(X＝－1)＝，所以由均值的定义得E(X)＝1×＋(－1)×＝0.] 2．若随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则E(X)＝(　　) A．0　 B．－1　　 C．－　　 D．－ 解析：C　[E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.] 3．某射手射击所得环数X的分布列如下表： X 7 8 9 10 P X 0.1 0.3 y 已知E(X)＝8.9，则y＝　________. 解析：由题意知 解得. 答案：0.4 4．已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则E(X)＝　________　，a＝　________　. 解析：E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 因为Y＝aX＋3，所以E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2.解得a＝－3. 答案：　－3 5．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及数学期望． 解：X可取的值为1,2,3， 则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝， 则P(X＝3)＝××1＝. 抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝. [基础过关] 1．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 0.2 0.5 m 则X的均值是(　　) A．2　　　 B．2.1 C．2.3 D．随m的变化而变化 解析：B　[因为0.2＋0.5＋m＝1，所以m＝0.3，所以E(X)＝1×0.2＋2×0.5＋3×0.3＝2.1.] 2．设0＜p＜1，随机变量X，Y的分布列分别为(　　) X 1 2 3 P p2 1－p P－p2 Y 1 2 3 P p3 1－p2 p2－p3 当X的数学期望取得最大值时，Y的数学期望为(　　) A．2　　 B.　　 C.　 　 D. 解析：D　[因为E(X)＝p2＋2(1－p)＋3(p－p2)＝－2p2＋p＋2＝－2(p－)2＋，所以当p＝时，E(X)取得最大值，此时E(Y)＝－2p3＋p2＋2＝.] 3．设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：D　[E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.] 4．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人浏览这三个景点的概率分别是0.4，0.5,0.6，且此人是否浏览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时浏览的景点数与没有浏览的景点数之差的绝对值，则E(ξ)等于(　　) A．1.48 B．0.76 C．0.24 D．1 解析：A　[随机变量ξ的取值有1,3两种情况，ξ＝3表示三个景点都游览了或都没有游览，所以P(ξ＝3)＝0.4×0.5×0.6＋0.6×0.5×0.4＝0.24，P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76， 所以随机变量ξ的分布列为 Ξ 1 3 P 0.76 0.24 E(ξ)＝1×0.76＋3×0.24＝1.48.] 5．(多选)已知随机变量X的分布列如下表： X －1 0 1 P a b 记“函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数”为事件A，则(　　) A．P(A)＝　　　　　 B．E(X)＝ C．E(X)＝－2a D．E(X2)＝ 解析：ACD　[因为函数f(x)＝3sinπ(x∈R)是偶函数， 所以π＝＋kπ，k∈Z， 于是X＝2k＋1，k∈Z，又因为X＝－1,0,1，所以事件A表示X＝±1， 所以P(A)＝a＋b＝1－＝， E(X)＝(－1)×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a，随机变量X2的可能取值为0,1， P(X2＝0)＝，P(X2＝1)＝， 所以E(X2)＝0×＋1×＝.故选ACD.] 6．(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故障 的时间x(年) 0＜x ≤1 1＜ X≤2 x＞2 0＜x ≤2 x＞2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，则(　　) A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，其首次出现故障发生在保修期内的概率为 B．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，则E(X1)＝2.86(万元) C．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，则E(X2)＝2.99(万元) D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产甲品牌的轿车 解析：BD　[设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝＝. 依题意得，X1的分布列为 X1 1 2 3 P E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)， X2分布列为 X2 1.8 2.9 P E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)． 因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．] 7．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如表： T 1 2 3 P(ξ＝t) ？ ！ ？ 请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝　________________　. 解析：设“？”处为x，“！”处为y，则由分布列的性质得2x＋y＝1，所以期望E(ξ)＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝4x＋2y＝2. 答案：2 8．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为　________　. 解析：依题意，知ξ的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为2＋2＝. 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，故E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝. 答案： 9．口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，取出的球的最大编号X的均值为　________　. 解析：X的取值可能为2,3，且 P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， ∴E(X)＝2×＋3×＝. 答案： 10．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，射击相同的次数，已知两名运动员击中的环数X稳定在7,8,9,10环．将他们的比赛成绩画成频率分布直方图如图甲和图乙所示． (1)根据这次比赛的成绩频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，以及甲击中9环以上(包括9环)的概率； (2)根据这次比赛的成绩估计甲、乙谁的水平更高(即平均每次射击的环数谁大)． 解：(1)由图乙可知P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35， 所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25. 同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15， P(X甲＝9)＝0.3， 所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35. P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65. (2)因为E(X甲)＝7×0.2＋8×0.15＋9×0.3＋10×0.35＝8.8， E( X乙)＝7×0.2＋8×0.25＋9×0.2＋10×0.35＝8.7，则有E(X甲)>E(X乙)，所以估计甲的水平更高． 11．某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值． 解：根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6. ∴P(X＝－4)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝××＋××＋××＝，P(X＝6)＝××＝＝. ∴X的分布列为 X －4 1 3 6 P ∴E(X)＝(－4)×＋1×＋3×＋6×＝. [能力提升] 12．某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量(件) 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率． (1)求当天商店不进货的概率； (2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和均值． 解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商店销售量为0件)＋P(当天商店销售量为1件)＝＋＝. (2)由题意知X的可能取值为2,3，P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝， P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.故X的分布列为 X 2 3 P 所以X的均值为E(X)＝2×＋3×＝. 13．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会上取得了优异的成绩．为了解学生对奥运会的了解情况，某校组织了全校学生参加的奥运会知识竞赛，从一、二、三年级各随机抽取100名学生的成绩(满分：100分，各年级总人数相等)，统计如下： 年级 [0,60) [60,100] 一年级 40 60 二年级 25 75 三年级 10 90 学校将测试成绩分为及格(成绩不低于60分)和不及格(成绩低于60分)两类，用频率估计概率，所有学生的测试成绩结果互不影响． (1)从一、二年级各随机抽一名学生，记X表示这两名学生中测试成绩及格的人数，求X的分布列和数学期望； (2)从这三个年级中随机抽取两个年级，并从抽取的两个年级中各随机抽取一名学生，求这两名学生测试成绩均及格的概率． 解析：(1)一年级学生及格的频率为＝，不及格的频率为＝，二年级学生及格的频率为＝，不及格的频率为＝，三年级学生及格的频率为＝，不及格的频率为＝，X的所有可能取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝×＝，P(X＝1)＝×＋×＝，P(X＝2)＝×＝，所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝； (2)由题意可知，抽到一、二年级，一、三年级，二、三年级的概率都是，所以抽到的两名学生测试成绩均及格的概率为P＝××＋××＋××＝. 答案：(1)答案见解析　(2) [素养培优] 14．新高考数学试卷出现多项选择题，即每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．若正确答案为两项，每对一项得3分：若正确答案为三项，每对一项得2分； (1)学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了(不选)和错误判断的概率如下表： 选项 作出正确判断 判断不了(不选) 作出错误判断 A 0.8 0.1 0.1 B 0.7 0.1 0.2 C 0.6 0.3 0.1 D 0.5 0.3 0.2 若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得6分的概率： (2)某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p，正确答案是三个选项的概率为1－p(0<p<1)．现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：Ⅰ.随机选一个选项；Ⅱ.随机选两个选项． ①若p＝，且学生乙选择方案Ⅰ，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率． ②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案Ⅰ最好？ 解析：(1)设事件M表示“学生答此题得6分”，即对于选项A、C作出正确的判断，且对于选项B、D作出正确的判断或判断不了，所以P(M)＝0.8×(0.7＋0.1)×0.6×(0.5＋0.3)＝0.307 2； (2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，P(X＝0)＝×＋×＝.P(X＝2)＝×＝. ②对于方案Ⅰ：记ξ为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，则ξ的所有可能取值为0,2,3， 则P(ξ＝0)＝p×＋(1－p)×＝， p(ξ＝2)＝(1－p)×＝(1－p)， p(ξ＝3)＝p×＝p， 所以E(ξ)＝0×＋2×(1－p)＋3×p＝；对于方案Ⅱ：记ξ为“从四个选项中选择两个选项的得分”，则ξ的所有可能取值为：0,4,6， 则P(ξ＝0)＝p×＋(1－p)×＝p＋，p(ξ＝4)＝(1－p)×＝(1－p)， p(ξ＝6)＝p×＝p， 所以E(ξ)＝0×p＋＋4×(1－p)＋6×p＝2－p；要使唯独选择方案I最好， 则解得：<p<1，故p的取值范围为，1 答案：(1)0.307 2 (2)①，；②，1 学科网（北京）股份有限公司 $