7.2 离散型随机变量及其分布列-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦离散型随机变量及其分布列核心知识点，从随机变量定义切入，梳理离散型随机变量的特征、分布列的表示与性质，延伸至两点分布，构建从概念到应用的完整学习支架。 以姚明罚球得分情境引入，结合例题与变式训练培养数学抽象和运算素养，课中助力教师引导学生建立知识联系，课后通过分层练习（预习自测、达标训练等）帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

7．2　离散型随机变量及其分布列 课程标准 素养解读 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义 2.掌握离散型随机变量的表示方法和性质 3.会求简单的离散型随机变量的分布列 1.借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养 2.通过学习离散型随机变量及两点分布的概念、表示及性质，体会数学抽象的素养 3.借助离散型随机变量的分布列求法，培养数学运算的素养 [情境引入] 姚明每次罚球具有一定的随机性，那么他三次罚球的得分结果可能是多少？ (1)投进零个球——0分； (2)投进1个球——1分； (3)投进2个球——2分； (4)投进3个球——3分． [知识梳理] [知识点一]　离散型随机变量 1．随机变量：对于随机试验样本空间　Ω　中的每一个样本点ω，都有　唯一的实数X(ω)　与之对应，我们称X为随机变量． 2．离散型随机变量：可能取值为　有限个　或可以　一一列举　的随机变量，我们称之为离散型随机变量． 3．表示：随机变量用大写英文字母表示，如X，Y，Z；随机变量的取值用小写英文字母表示，如x，y，z. 4．本质：通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化． 1.随机变量的取值由什么决定？ 提示：随机变量的取值由随机试验的结果决定． [知识点二]　离散型随机变量的分布列 1．定义：设离散随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．表示 (1)表格 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (2)图形 离散型随机变量X的概率分布还可以用图(1)或图(2)来直观表示，其中图(1)中，xk上的矩形宽为1、高为pk，因此每个矩形的面积也恰为　pk　；图(2)中，xk上的线段长为　pk　. 3．性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n； (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 2.如何求离散型随机变量在某一范围内的概率？ 提示：离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． [知识点三]　两点分布 1．对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列为 X 0 1 P 　1－p　 p 我们称X服从两点分布或0－1分布． 3.分布列 X 2 5 P 0.3 0.7 是两点分布吗？ 提示：不是．因为X的取值不是0和1. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．(√) (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(√) (3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．(√) (4)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有6个取值．(√) 2．如果X是一个离散型随机变量，且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y(　　) A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 解析：D　[由于X是离散型随机变量且Y＝aX＋b，故Y与X成线性关系，所以Y一定是离散型随机变量．] 3．下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是(　　) A.ξ 1 0 1 P B. ξ 0 1 2 P － C. ξ 0 1 2 P D. ξ －1 0 1 P 解析：D　[本题考查分布列的概念及性质，即ξ的取值应互不相同且P(ξi)≥0，i＝1,2…，n，P(ξi)＝1. A中，ξ的取值出现了重复性； B中，P(ξ＝0)＝－<0； C中，P(ξi)＝＋＋＝>1.] 4．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2，令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝　________　. 解析：由Y＝－2可知3X－2＝－2，即X＝0， ∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝0.8. 答案：0.8 　对离散型随机变量的理解 [例1] 写出下列随机变量的取值范围，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)一个袋中装有质地、大小完全相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数X； (2)抛掷两枚质地均匀的骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值Y. [思路点拨]　先分析试验结果，确定随机变量的所有可能取值，然后写出随机变量取每一个值时所表示的事件． 解：(1)X的取值范围为{0,1,2}． {X＝0}表示所取的3个球都是黑球； {X＝1}表示所取的3个球中有1个白球，2个黑球； {X＝2}表示所取的3个球中有2个白球，1个黑球． (2)Y的取值范围是{0,1,2,3,4,5}． 用(a，b)表示两枚骰子掷出的点数，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数． {Y＝0}表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的所有可能结果有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)． {Y＝1}表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的所有可能结果有(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)． {Y＝2}表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的所有可能结果有(1,3)，(3,1)，(2,4)，(4,2)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)． {Y＝3}表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的所有可能结果有(1,4)，(4,1)，(2,5)，(5,2)，(3,6)，(6,3)． {Y＝4}表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的所有可能结果有(1,5)，(5,1)，(2,6)，(6,2)． {Y＝5}表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的所有可能结果有(1,6)，(6,1)． 理解离散型随机变量的切入点 1．判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下． (1)明确随机试验的所有可能结果． (2)将随机试验的结果数量化． (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量． 2．明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果． [变式训练] 1．指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； (3)某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差． 解：(1)只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球；3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量． (4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． 　　　分布列及其性质的应用 [例2]　设随机变量X的分布列为 P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)； (2)P. [思路点拨]　先由分布列的性质求a，再根据X＝1或X＝2，<X<的含义，利用分布列求概率． 解：(1)∵pi＝＋＋＋＝1，∴a＝10， 则P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝＋＝. (2)由a＝10，可得 P ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3) ＝＋＋＝. 利用分布列的性质解题时要注意以下两个问题： 1．X的各个取值表示的事件是互斥的． 2．p1＋p2＋…＝1，且pi>0，i＝1,2，…. [变式训练] 2．已知随机变量X的分布列： X＝i 1 2 3 4 5 P(X＝i) a (1)求a； (2)求P(X≥4)，P(2≤X<5)． 解：(1)由＋＋a＋＋＝1，得a＝. (2)P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝， P(2≤X<5)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝. 　　　求离散型随机变量的分布列 [例3]　从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列． 解：依据题意，ξ的所有可能值为1,2,3,4,5. 又P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝5)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 离散型随机变量分布列的求解步骤 [变式训练] 3．某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列． 解：(1)由题意得，P(A)＝＝. 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 　　　两点分布 [例4]　袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X＝求X的分布列． [思路点拨]　X只有两个可能取值，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，最后列出表格的形式即可. 解：由题设可知X服从两点分布． P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝. ∴X的分布列为 X 0 1 P 两步法判断一个分布是否为两点分布 1．看取值：随机变量只取两个值0和1. 2．验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立． 如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布． [变式训练] 4．一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出2个球，用0表示2个球都是白球，用1表示2个球不全是白球，则满足条件X的分布列为(　　) A. X 0 1 P B. X 0 1 P C. X 0 1 P D. X 0 1 P 解析：A　[从7个球中任意摸出2个球，共有C＝21(种)取法，摸出的2个球都是白球，共有C＝3(种)取法，故P(X＝0)＝＝，故选A.] [当堂达标] 1．下列变量中，是离散型随机变量的是(　　) A．到2025年5月1日止，我国发射的卫星 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 解析：D　[离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知D正确．] 2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是(　　) A．第5次击中目标 B．第5次未击中目标 C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标 解析：C　[{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.] 3．设某项试验成功的概率是失败概率的2倍，记 Y＝则P(Y＝0)＝(　　) A．0　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：C　[由题意知，可设P(Y＝1)＝p， 则P(Y＝0)＝1－p，又p＝2(1－p)，解得p＝， 故P(Y＝0)＝.] 4．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X来描述次品出现的情况，即X＝0表示抽取的一个产品为合格品，X＝1表示抽取的一个产品为次品，则X的分布列为 X 0 1 P a b 则a＝　________　，b＝　________　. 解析：X＝0表示抽取的一个产品为合格品，概率为95%，即a＝；X＝1表示抽取的一个产品为次品，概率为5%，即b＝. 答案：　 5．从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱子中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值呢？求X的分布列． 解：从箱子中取两个球的情形有以下6种： {2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}． 当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1； 同理，当取到1白1黑时，X＝1； 当取到2黄时，X＝0； 当取到1黑1黄时，X＝2； 当取到2黑时，X＝4. 则X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4. P(X＝－2)＝＝，P(X＝－1)＝＝， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝4)＝＝. 从而得到X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 4 P [基础过关] 1．(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数X B．南京长江大桥一天经过的车辆数X C．某型号彩电的寿命X D．连续抛掷两个质地均匀的骰子，所得点数之和X 解析：ABD　[∵B，D中X的取值有限，且可以一一列举出来，故B，D中的X均为离散型随机变量． ∵A中X的取值依次为1,2,3，…，虽然无限，但可一一列举出来，故为离散型随机变量． 而C中X的取值不能一一列举出来， ∴C中的X不是离散型随机变量．] 2．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y＝X－2，则P(Y＝2)等于(　　) A．0.3　　 B．0.4　　　 C．0.6　　　 D．0.7 解析：A　[由0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 得m＝0.3.又P(Y＝2)＝P(X＝4)＝0.3.] 3．某一随机变量ξ的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为(　　) Ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A.－0.2 B．0.2 C．0.1 D．－0.1 解析：B　[由离散型随机变量分布列的性质可得m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，解得m＝n＝0.4，可得m－＝0.2.] 4．设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1,2,3,4)，则P等于(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析：D　[因为随机变量ξ的分布列为 P＝ak(k＝1,2,3,4)， 所以a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝0.1， 所以P＝P＋P＝2×0.1＋3×0.1＝.] 5．(多选)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示的可能结果为(　　) A．甲赢三局　　 B．甲赢一局输两局 C．甲、乙平局三次 D．甲赢一局 解析：BC　[甲赢一局输两局得3分，甲与乙平三局得3分．] 6．(多选)已知随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0,1,2)，其中a是常数，则(　　) A．P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1 B．a＝ C．P(0≤X<2)＝ D．P(X＝1)＝ 解析：ABC　[根据题意，随机变量X的分布列为P(X＝n)＝(n＝0,1,2)，则有P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＋＝1，解得a＝，则P(X＝1)＝，P(0≤X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.] 7．设随机变量δ的分布列为P(δ＝k)＝，k＝1,2,3，其中c为常数，则P(0.5<δ<2.5)＝　________　. 解析：因为随机变量δ的分布列为P(δ＝k)＝， k＝1,2,3，所以＋＋＝1，所以c＝.所以P(0.5<δ<2.5)＝P(δ＝1)＋P(δ＝2)＝＋＝c＝. 答案： 8．若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 2a 3a 5a 则a＝　________　，P(X≥1)＝　________　. 解析：由2a＋3a＋5a＝1得a＝. ∴P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 答案：　 9．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，当＋取最小值时，x＝　________　. X 1 2 3 P x y 解析：由题意得x＋y＝(x>0，y>0)， 所以＋＝2(x＋y)·＝ 2≥2×(5＋4)＝18， 当且仅当y＝2x，即x＝，y＝时取等号， 此时＋取得最小值18. 答案： 10．由于研究性学习的需要，中学生李华持续收集了手机“微信运动”团队中特定20名成员每天行走的步数，其中某一天的数据记录如下： 5 860　6 520　7 326　6 798　7 325 8 430　8 215　7 453　7 446　6 754 7 638　6 834　6 460　6 830　9 860 8 753　9 450　9 860　7 290　7 850 对这20个数据按组距为1 000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计表(设步数为x)． 组别 步数分组 频数 A 5 500≤x<6 500 2 B 6 500≤x<7 500 10 C 7 500≤x<8 500 m D 8 500≤x<9 500 2 E 9 500≤x≤10 500 n (1)写出m，n的值； (2)从A，E两个组别的数据中任取2个数据，记这2个数据步数差的绝对值为X，求X的分布列． 解：(1)根据20个数据可得步数在[7 500,8 500)范围的有4个，所以m＝4，步数在[9 500,10 500]范围的有2个，所以n＝2. (2)A，E两个组别共有4个数据：5 860,6 460,9 860，9 860.从中任取两个数据有6种取法，X的可能取值为0,600,3 400,4 000， P(X＝0)＝，P(X＝600)＝， P(X＝3 400)＝＝， P(X＝4 000)＝＝. 可得X的分布列如表所示. X 0 600 3 400 4 000 P 11.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)． 在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分． (1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”； (2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列． 解：(1)个位数字是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345. (2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为C＝84， 随机变量X可能的取值为0，－1,1. P(X＝0)＝＝，P(X＝－1)＝＝， P(X＝1)＝1－－＝. 所以X的分布列为 X 0 －1 1 P [能力提升] 12．已知随机变量X的分布列如表所示. X －2 －1 0 1 2 3 P (1)求随机变量Y＝X2的分布列； (2)若P(Y<x)＝，求实数x的取值范围． 解：(1)由随机变量X的分布列知，Y的可能取值为0,1,4,9， 则P(Y＝0)＝， P(Y＝1)＝＋＝＝， P(Y＝4)＝＋＝＝， P(Y＝9)＝. 可得随机变量Y的分布列如表所示. Y 0 1 4 9 P (2)∵P(Y<x)＝，∴P(Y<x)＝1－P(Y＝9)＝P(Y＝0)＋P(Y＝1)＋P(Y＝4)， ∴实数x的取值范围是(4,9]． 13．袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字． (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)求随机变量X的分布列． 解：(1)“取出的3个小球上的数字互不相同”记为事件A，则为“取出的3个小球上有2个数字相同”， ∴P()＝＝，∴P(A)＝1－＝. (2)由题意可知X的可能取值为2,3,4,5. P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝＝＝， P(X＝5)＝＝＝. 可得X的分布列如表所示. X 2 3 4 5 P [素养培优] 14．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域均为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝2. (1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得新函数是奇函数的概率； (2)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写着偶函数的卡片则停止抽取，否则继续抽取，求抽取次数ξ的分布列． 解：(1)六个函数中是奇函数的有f1(x)＝x，f3(x)＝x3，f4(x)＝sin x．由这三个奇函数中的任意两个函数相加均可得一个新的奇函数． 设事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的新函数是奇函数．” 由题意知P(A)＝＝. (2)ξ的所有可能取值为1,2,3,4. P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 学科网（北京）股份有限公司 $