7.1.1 条件概率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“条件概率”核心知识点，从情境引入（班级学生性别与共青团员问题）出发，系统梳理条件概率定义（P(B|A)=P(AB)/P(A)）、乘法公式及性质，通过摸球、密码输入等例题构建从概念到应用的学习支架。 资料以情境化问题培养数学抽象素养，通过分步解题提升数学运算能力，设置预习自测、当堂达标等环节辅助课堂教学，课后练习助力学生巩固知识、查漏补缺，体现用数学思维解决实际问题的学科特色。

7．1　条件概率与全概率公式 7．1.1　条件概率 课程标准 素养解读 1.在具体情境中，了解条件概率 2.掌握条件概率的计算方法 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 1.通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养 2.借助条件概率公式解题，提升数学运算素养 [情境引入] 高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． 问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ 问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？ [知识梳理] [知识点一]　条件概率 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称　P(B|A)＝　为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 1.P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？ 提示：不同．P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同． 2．古典概型中的条件概率还可以怎样计算？ 提示：P(B|A)＝ [知识点二]　概率的乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)． 特例：当P(A)＞0，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)． [知识点三]　条件概率的性质 1．0≤P(B|A)≤1； 2．P(A|A)＝　1　； 3．如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝ 　P(B|A)＋P(C|A)　. 4．设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(×) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(×) (3)P(B|A)≠P(A∩B)．(√) 2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：A　[由P(B|A)＝＝＝，故选A.] 3．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是　________　. 解析：根据条件概率公式知P＝＝0.5. 答案：0.5 　　　利用定义求条件概率 [例1]一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率； (2)求P(B|A)． [思路点拨]　首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解． 解：由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)＝， P(B)＝＝＝， P(A∩B)＝＝. (2)P(B|A)＝＝＝. 1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(A∩B)； (3)代入公式求P(B|A)＝. 2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，弄清楚P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系． [变式训练] 1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：A　[由题知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P(A)＝，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P(AB)＝×＝，则P(B|A)＝＝＝.] 　利用基本事件个数求条件概率 [例2] 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解． 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30， 根据分步乘法计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝. (2)因为n(A∩B)＝A＝12，于是P(A∩B)＝＝＝. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的． [变式训练] 2．一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)． 解：将产品编号为1,2,3号的看作一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，事件A有9种情况，事件AB有6种情况，P(B|A)＝＝＝. 　　　条件概率的综合应用 [例3]　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． [思路点拨]　(1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对； (2)利用互斥事件的条件概率公式求解． 解：设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(1A2)表示不超过2次按对密码． (1)因为事件A1与事件1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(1A2)＝＋＝. (2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)＝＋＝. 1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． 2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． [变式训练] 3．在一个袋子中装有10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C. 则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝. 所以P(B|A)＝＝÷＝，P(C|A)＝＝÷＝. 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.所以所求的概率为. 　　　利用乘法公式求概率 [例4]　一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求两次取到的均为黑球的概率． [思路点拨]　P(AB)＝P(A)P(B|A)，分别求P(A)和P(B|A)． 解：设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”．由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝，于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)．P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解即可． [变式训练] 4．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为　________　. 解析：记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5. 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4. 答案：0.4 [当堂达标] 1．设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝，P(B)＝，则P(A|B)＝(　　) A.　　 B.　　　 C.　　 　D. 解析：C　[P(A|B)＝＝＝.] 2．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是(　　) A.　　 　B.　 　　C.　 　　D. 解析：A　[设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”， P(B|A)＝＝＝，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为.] 3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为　________　. 解析：记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72. 答案：0.72 4．分别用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是　________　. 解析：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B，则n(A)＝7. n(AB)＝4，所以P(B|A)＝＝. 答案： 5．考虑恰有两个小孩的家庭． (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)． 解：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}． 设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}． A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}， B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}， 于是得(1)P(B)＝，P(BA)＝P(A)＝， 所以P(A|B)＝＝； (2)P(B1)＝，P(B1A)＝P(A)＝， 所以P(A|B1)＝＝. [基础过关] 1．某次射击比赛中，某选手射击一次击中10环的概率是，连续两次均击中10环的概率是.若该选手某次击中10环，则随后一次击中10环的概率是(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：B　[设事件A表示“射击一次击中10环”，B表示“随后一次击中10环”，则P(A)＝， P(AB)＝，根据条件概率的计算公式得， P(B|A)＝＝＝，故选B.] 2．若P(B)＝，P(A|B)＝，则P(AB)为(　　) A. B. C. D. 解析：A　[P(AB)＝P(B)P(A|B)＝×＝，故选A.] 3．为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛．某班级在5道党史题中(有3道选择和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第一次抽到选择题”，事件B为“第二次抽到选择题”，则P(B|A)＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[P(A)＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝.] 4．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球，在第一次取到新球的条件下，第二次也取到新球的概率为(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D. 解析：C　[设事件A表示“第一次取到新球”，事件B表示“第二次取到新球”，则n(A)＝CC，n(AB)＝CC，P(B|A)＝＝＝.] 5．(多选)下列说法不正确的是(　　) A．P(B|A)<P(AB) B．P(B|A)＝是可能的 C．0<P(B|A)<1 D．P(A|A)＝0 解析：ACD　[由条件概率公式P(B|A)＝及0<P(A)≤1知P(B|A)≥P(AB)，故A错误；当事件A包含事件B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝，故B正确；由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C、D错误．] 6．(多选)设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P(A)＝，P(B)＝，P(A＋B)＝，则下列说法正确的是(　　) A．P(AB)＝ B．P(B)＝ C．P(B|A)＝ D．P(|)＝ 解析：ABC　[因为P(A)＝，P(B)＝，P(A＋B)＝，且P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝＋－＝，故A正确；P(B)＝P(B)－P(AB)＝－＝，故B正确；P(B|A)＝＝＝，故C正确；P(|)＝＝＝＝，故D错误．] 7．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为　________　. 解析：设事件A表示“抽到2张都是假钞”，事件B为“2张中至少有一张假钞”，而P(AB)＝＝，P(B)＝＝. 所以P(A|B)＝＝. 答案： 8．由0,1,2组成的三位数密码中，若用事件A表示“第二位数字是2”，B表示“第一位数字是2”，则P(A|B)＝　________　. 解析：由0,1,2组成的三位数密码，共有3×3×3＝27(种)情况， 由题意可得P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A|B)＝＝＝. 答案： 9．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A表示“三个点数之和等于15”，B表示“至少出现一个5点”，则概率P(A|B)等于　________　. 解析：至少出现一个5点的情况有63－53＝91种， 至少出现一个5点的情况下，三个点数之和等于15有以下两类： ①只出现一个5点，则另两个点数只能是4和6，共有 C×C＝6(种)情况； ②出现两个5点，则另一个点数也只能是5，共有1种情况．∴P(A|B)＝＝＝. 答案： 10．饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子(20个)中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为　______　. 解析：记事件A为“小江随机夹的3个饺子中吃到1个含有硬币的饺子”，事件B为“小江随机夹的3个饺子中吃到2个含有不同特殊馅的饺子”，所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝. 答案： 11．一个不透明的袋子中放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，不放回地依次取出2个球．求： (1)第一次取出的是黑球的概率； (2)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率； (3)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率． 解：设事件A表示“第一次取出的是黑球”，B表示“第二次取出的是白球”． (1)黑球有3个，球的总数为5， 所以P(A)＝. (2)第一次取出的是黑球，且第二次取出的是白球的概率P(AB)＝×＝. (3)在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率P(B|A)＝＝＝. [能力提升] 12．高三毕业时，小红、小鑫、小芸等五位同学站成一排合影留念，已知小红、小鑫两人相邻，则小鑫、小芸相邻的概率是　________　. 解析：设“小红、小鑫两人相邻”为事件A，“小鑫、小芸两人相邻”为事件B，则所求概率为P(B|A)，而P(A)＝＝，AB表示事件“小鑫与小红、小芸都相邻”，故P(AB)＝＝，于是P(B|A)＝＝. 答案： 13．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次取1个，不放回地取两次，求两次均取到不合格球的概率． 解：法一：所求事件的概率P＝＝. 法二：用Ai表示第i次取到不合格球，i＝1,2. 则P(A1)＝，P(A2|A1)＝， ∴P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝×＝. [素养培优] 14．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为. (1)求白球的个数； (2)现从中不放回地取球，每次取1个球，取2次，已知第1次取得白球，求第2次取得黑球的概率． 解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A，记袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－＝，解得x＝5，即白球的个数为5. (2)记“第1次取得白球”为事件B，“第2次取得黑球”为事件C，则P(BC)＝×＝＝， P(B)＝＝＝， P(C|B)＝＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $