6.3.2 二项式系数的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．3.2　二项式系数的性质 课程标准 素养解读 1.掌握二项式系数的性质及其应用 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明 3.掌握二项式定理的应用 1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养 2.借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养 [情境引入] 杨辉三角 杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下： 1 1　1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　6　4　1 1　5　10　10　5　1 1　6　15　20　15　6　1 杨辉三角最本质的特征是：它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和. 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州)人，我国南宋时期杰出的数学家，与秦九韶、李冶、朱世杰并称宋元四大数学家，他在我国古代数学史和数学教育史上占有十分重要的地位. 杨辉对幻方的研究源于一个小故事.当时杨辉是台州的地方官，一次外出巡游，碰到一孩童挡道，杨辉问明原因方知是一孩童在地上做一道数学题，杨辉一听来了兴趣，下轿来到孩童旁问是什么算题.原来这个孩童在算一位老先生的一道题：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，结果都等于15.杨辉看到这个算题时想起来他在西汉学者戴编纂的《大戴礼》一书中也见过.杨辉想到这儿，和孩童一起算了起来，直到午后，两人终于将算式摆出来了.后来，杨辉随孩童来到老先生家里，与老先生谈论起数学问题来.老先生说：“北周的甄弯注《数术记遗》一书中写过‘九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央.’”杨辉听了，这与自己与孩童摆出来的完全一样，便问老先生：“你可知这个九宫图是如何造出来的？”老先生说不知道.杨辉回到家中，反复琢磨.一天，他终于发现一条规律，并总结成四句话：“九子斜排，下下对易，左右相更，四维挺出”，就是说：先把1～9九个数依次斜排，再把上1下9两数对调，左7右3两数对调，最后把四面的2、4、6、8向外面挺出，这样三阶幻方就填好了.杨辉研究出三阶幻方(也叫络书或九宫图)的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方，在这几种幻方中杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法.但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律. 结合杨辉三角与二项展开式中二项式系数，你能发现什么联系？ [知识梳理] [知识点一]　对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.这一性质可直接由　C＝C　得到.直线r＝将函数f(x)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. 1.二项式的系数取得最大值的项的系数一定是系数中最大的吗？ 提示：不一定.如果项的系数中还有其他的常数，则该项的系数不一定最大. 2．C，C，C之间有什么关系？ 提示：C＝C＋C. [知识点二]　增减性与最大值 1．当k＜时，C随k的增加而　增大　，当k＞时，C随k的增加而　减小　. 2．当n是偶数时，中间的一项　Cn　取得最大值，当n是奇数时，中间的两项　Cn　与　Cn　相等，且同时取得最大值. [知识点三]　各二项式系数的和 1．C＋C＋C＋…＋C＝2n； 2．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. [知识点四]　杨辉三角的特点 1．在同一行中，每行两端都是　1　，与这两个1等距离的项的系数　相等　. 2．在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的　和　，即C＝C＋C. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).(　　) (2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.(　　) (3)二项展开式项的系数是先增后减的.(　　) (4)杨辉三角中每行两端的数都是1.(　　) 提示：(1)×　二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项和其他数字因数的大小有关. (2)×　在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和. (3)×　二项式系数是随n的增加先增后减的，二项式项的系数和a，b的系数有关. (4)√　根据杨辉三角的特点可知正确. 2.n的展开式中第8项是常数，则展开式中系数最大的项是(　　) A．第8项　　　　　 B．第9项 C．第8项和第9项 D．第11项和第12项 解析：D　[二项展开式的通项公式为Tr＋1＝ C·(x)n－r·(x－1)r＝C·xn－r， 令r＝7，则n－＝0，解得n＝21，通项公式可化简为C·x.由于n＝21，C一共有22项，其中最大的项为r＝10,11两项，即展开式的第11项和第12项.] 3．(2x－1)6的展开式中各项系数的和为　　　　　；各项的二项式系数和为　________　. 解析：令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 答案：1　64 4．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a8＝　________　. 解析：由题意可知a8是x8的系数，所以a8＝C·22＝180. 答案：180 　　求二项展开式中有关系数的和 [例1] 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和； (4)系数绝对值的和. [思路点拨]　设出展开式的形式，再适当赋值. 解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9. (1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29. (2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝1，y＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1. (3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1， 令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59. 将两式相加，可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和. (4)法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝59； 法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项系数和，令x＝1，y＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59. 1．解决二项式系数和问题的思维流程 2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值.要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差. 一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋… ＝， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋… ＝. [变式训练] 1．设(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025·x2 025(x∈R). (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 025的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 025的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|的值. 解：(1)令x＝1，得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝(－1)2 025＝－1.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 025＝32 025.② ①－②得 2(a1＋a3＋…＋a2 025)＝－1－32 025， ∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝. (3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C·(2x)r， ∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N). ①＋②得2(a0＋a2＋…＋a2 024)＝－1＋32 025，∴a0＋a2＋…＋a2 024＝， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 025| ＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝32 025. 　　　求二项展开式中有关系数最大的项 [例2] (1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. [思路点拨]　根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性，确定出二项式系数最大的项. 解：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C25＝C26⇒n＝8. ∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C·(2x)4＝1 120x4.设第r＋1项系数最大，则有 ⇒5≤r≤6.∴r＝5或r＝6. ∵r∈， ∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6. 1．二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 续表 2．展开式中系数的最大项的求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解出r，即得出系数的最大项. 3．理解运算对象，选择运算方法，求得运算结果.通过运算促进数学思维发展，提升数学运算的核心素养. [变式训练] 2．已知二项式n. (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数； (2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项. 解：(1)由题意，得C＋C＝2C， 所以n2－21n＋98＝0， 所以n＝7或n＝14. 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C×4×23＝，T5的系数为C×3×24＝70. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，70.当n＝14，展开式中二项式系数最大的项是T8，所以T8的系数为C×7×27＝3 432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3 432. (2)由题意知C＋C＋C＝79， 解得n＝12或n＝－13(舍去). 设展开式中第(r＋1)项的系数最大. 由于12＝12(1＋4x)12， 则 所以9.4≤r≤10.4. 又r∈，所以r＝10， 所以系数最大的项为T11，且T11＝12·C·(4x)10＝16 896x10. 　　与“杨辉三角”有关的问题 [例3] 如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值. [思路点拨]　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C. 解：S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C ＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C) ＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C ＝＋C＝＋220＝274. “杨辉三角”问题解决的一般方法 [变式训练] 3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第　________　行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3. 解析：由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C∶C＝2∶3，即＝，解得n＝34，所以第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 答案：34 　　　利用二项式定理解决整除问题或求余数问题 [例4] (1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除； (2)求9192被100除所得的余数. [思路点拨]　(1)1110－1＝(1＋10)10－1，展开求证即可； (2)9192＝(100－9)92,992＝(10－1)92，展开求解即可. 解：(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1 ＝(1010＋C·109＋C·108＋…＋C·10＋1)－1 ＝1010＋C·109＋C·108＋…＋102 ＝100(108＋C·107＋C·106＋…＋1)， ∴1110－1能被100整除. (2)9192＝(100－9)92＝C·10092－C·10091·9＋C·10090·92－…＋C992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数. ∵992＝(10－1)92＝C·1092－C·1091＋…＋C·102－C·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除所得余数为81. 1．利用二项式定理解决整除问题的基本思路 利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除.因此，一般先将被除式化为含有相关除式的二项式，再展开，此时常采用“配凑法”“消去法”，结合整除的有关知识来处理. 2．利用二项式定理求余数的注意点 求余数时，要注意余数的范围，即余数大于零且小于除数.利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意进行转化. [变式训练] 4．(1)求证32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除； (2)求230－3除以7的余数. (1)证明：32n＋2－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝C8n＋1＋C8n＋…＋C－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82＋C·8＋1－8n－9 ＝C8n＋1＋C8n＋…＋C82. 该式每一项都含因式82，故能被64整除. (2)解：230－3＝(23)10－3＝810－3 ＝(7＋1)10－3 ＝C710＋C79＋…＋C7＋C－3 ＝7×(C79＋C78＋…＋C)－2. 又∵余数不能为负数(需转化为正数)，∴230－3除以7的余数为5. [当堂达标] 1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　) 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 A．8　　　 B．6　　　　 C．4　　　　 D．2 解析：B　[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.] 2．在(a＋b)10的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　) A．第8项 B．第7项 C．第9项 D．第10项 解析：C　[根据二项展开式的性质，与首末等距离的两项的二项式系数相等，C正确.] 3．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1 B．－1 C．215 D．315 解析：B　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.] 4．已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为　________　. 解析：由C＋C＋C＝37，得1＋n＋n(n－1)＝37.解得n＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大， T5＝C××(2x)4＝x4，该项的系数为. 答案： 5．求(1－3x)12的展开式中： (1)各项二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和； (4)各项系数和； (5)各项系数绝对值和； (6)奇数项系数和与偶数项系数和. 解：(1)各项二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝212＝4 096. (2)奇数项二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝211＝2 048. (3)偶数项二项式系数和为C＋C＋C＋…＋C＝211＝2 048. (4)(1－3x)12＝C－C·3x＋C(3x)2－C(3x)3＋…＋C(3x)12，令x＝1，得各项系数和为(1－3)12＝4 096. (5)令x＝－1，得各项系数的绝对值和为(1＋3)12＝412＝16 777 216. (6)令奇数项系数和为A，偶数项系数和为B. 令x＝1得A＋B＝212；令x＝－1得A－B＝412. ∴A＝×(212＋412)＝8 390 656， B＝×(212－412)＝－8 386 560. 1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(　　) A．5　　 B．6　　　 C．7　　　 D．8 解析：C　[二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， ∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C.] 2.－2 025的展开式中的常数项是(　　) A．第673项 B．第674项 C．第675项 D．第676项 解析：D　[由二项式－2 025的展开式为Tr＋1＝C2 025－r－r＝(－2)r·Cx，令2 025－3r＝0，解得r＝675，此时T676＝(－2)675·C，所以二项式－2 025的展开式的常数项为第676项.] 3.10的展开式中，系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 解析：D　[展开式第6项系数为－C，第5项和第7项系数分别为C，C，且C＝C] 4．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(　　) A．10 B．45 C．－9 D．－45 解析：B　[x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10， ∴a8＝C＝C＝45.] 5．(多选)已知n(a＞0，n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　) A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45 解析：BCD　[由n的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知n＝10. 又展开式的各项系数之和为1 024，即当x＝1时， (a＋1)10＝1 024，所以a＝1， 所以n＝10，其展开式的各二项式系数的和为210＝1 024，则奇数项的二项式系数的和为×1 024＝512，故A错误；由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，因为x2与x－的系数均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相同，即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故B正确；若展开式中存在常数项，则展开式中存在x的指数为0的项，由通项Tr＋1＝Cx2(10－r)·x－r＝Cx20－r，可得当20－r＝0，即r＝8时，符合要求，故C正确；由通项Tr＋1＝Cx20－r可得，当20－r＝15时，r＝2，所以展开式中含x15项的系数为C＝45，故D正确.故选BCD.] 6．(多选)若(1＋2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则下列正确的是(　　) A．a0＝2 024 B．a0＋a1＋…＋a2 024＝32 024 C．a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024＝1 D．a1－2a2＋3a3－…－2 024a2 024 ＝－2 024 解析：BC　[对于A：令x＝0，则a0＝1，故A错误； 对于B：令x＝1，则a0＋a1＋…＋a2 024＝32 024，故B正确； 对于C：令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024＝1，故C正确；对于D：由(1＋2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，两边同时求导得2 024×2×(1＋2x)2 023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023，令x＝－1，则a1－2a2＋3a3＋…－2 024a2 024＝－4 048，故D错误.] 7．(1＋)n的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是　______　. 解析：(1＋)n＝a0＋a1＋a2()2＋…＋an·()n，令x＝1，得各项系数的和S＝a0＋a1＋…＋an＝2n，∴8＜2n＜32. 又n∈N，∴n＝4. 由二项式系数的性质得系数最大的项为 T3＝C()2＝6x. 答案：6x 8．若(3x＋1)n(n∈N)的展开式中各项系数之和是256，则展开式中x2的系数是　________　. 解析：令x＝1，得各项系数之和为4n， ∴4n＝256，解得n＝4，∴x2的系数为C·32＝54. 答案：54 9．若(x－3)3(2x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0＝　________　，a0＋a2＋…＋a8＝　________　. 解析：令x＝0，得(－3)3×15＝a0，所以a0＝－27. 令x＝1，得(－2)3×35＝a0＋a1＋a2＋…＋a8， 令x＝－1，得(－4)3(－1)5＝a0－a1＋a2－…＋a8，两式相加得2(a0＋a2＋…＋a8)＝－1 880，所以a0＋a2＋…＋a8＝－940. 答案：－27；－940 10．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值. 解：由5，得 Tr＋1＝C5－rr ＝5－r·C·x， 令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，∴r＝4， ∴常数项T5＝C×＝16. 又(a2＋1)n的展开式的各项系数之和等于2n， 由题意得2n＝16，∴n＝4. 由二项式系数的性质知，(a2＋1)n的展开式中系数最大的项是中间项T3， ∴Ca4＝54， ∴a＝±. 11．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6. 解：(1)令x＝0，则a0＝－1； 令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，① 所以a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256. (3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128. [能力提升] 12．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是(　　) A．1＋C＋C＋C＝C B．第16行所有数字之和为216 C．第2 024行的第1 012个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与第5个数之比为1∶3 解析：ABD　[对于A,1＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C，故A正确；对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知，第0行所有数字之和为1＝20，第1行所有数字之和为1＋1＝21，第2行所有数字之和为1＋2＋1＝22，第3行所有数字之和为1＋3＋3＋1＝23，第4行所有数字之和为1＋4＋6＋4＋1＝24，以此类推，第16行所有数字之和为216，故B正确；对于C，由杨辉三角图可知，第n行有个n＋1数字，如果n是奇数，则第和第＋1个数字最大，且这两个数字一样大；如果n是偶数，则第＋1个数字最大，故第2 024行的第＋1＝1 013个数最大，故C错误；对于D，由题意，第15行，第4个数为C＝＝455，第5个数为C＝＝1 365，即C∶C＝455∶1 365＝1∶3，故D正确.] 13．已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 解：令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5. (1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C(x)3·(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2·(3x2)3＝270x. (2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C·3r·x(5＋2r)， 假设Tr＋1项系数最大， 则有 ∴ 即 ∵r∈N，∴r＝4，∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x. [素养培优] 14．在n(n≠7，且n∈N*)的展开式中. (1)若所有二项式系数之和为256，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍，求展开式中各项的系数的绝对值之和. 解：(1)由已知得C＋C＋…＋C＝256， ∴2n＝256，∴n＝8，∴二项式系数最大的项为 T5＝C()44＝. (2)易得n的展开式的通项为 Tr＋1＝rCx－r(r＝0,1，…，n)， ∵第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍. ∴C×14＝×9，解得n＝10或n＝7(舍去). 因为10的展开式中各项的系数的绝对值之和与10的展开式中各项的系数之和相等， 所以对于10，令x＝1，得10＝10，即10的展开式中各项的系数的绝对值之和为10. 学科网（北京）股份有限公司 $