6.3.1 二项式定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养 [情境引入] 牛顿的故事 牛顿善于观察日常生活中的小事，结果取得了科学史上一个个重要的发现.作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往不打领带，不系好鞋带和马裤的纽扣，就走进了大学餐厅.有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理.他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去.牛顿也因此终生未娶.那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？ [知识梳理] [知识点一]　二项式定理及相关的概念 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)称为二项式定理 二项式 系数 各项系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数 二项式 通项 Can－rbr是展开式中的第　r＋1　项，可记做Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N*，n∈N*) 二项展 开式 Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*) [知识点二]　二项展开式的特点 1．展开式共有n＋1项. 2．各项的次数和都等于二项式的幂指数n. 3．字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. [知识点三]　通项中的注意点 1．Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项. 2．公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置. 3．要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题. 4．对二项式(a－b)n的展开式的通项要特别注意符号问题. 1.二项展开式中的项Can－rbr是第几项？ 提示：Can－rbr是(a＋b)n的第r＋1项. 2．二项式中a，b能否交换位置，二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第r＋1项是否相同？ 提示：不能，(a＋b)n的展开式中的第r＋1项为Can－rbr，(b＋a)n的展开式中的第r＋1项为Cbn－rar，两者是有区别的，所以在应用二项式定理时，a和b不能随便交换位置. 3．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ 提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念. 二项式系数是指C，C，…，C，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(　　) (2)(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5.(　　) (3)(a＋b)n的展开式中一定有常数项.(　　) 提示：(1)×　二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等，只有当a，b的系数都为1时两者相等. (2)√　(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5. (3)×　(a＋b)n的展开式中通项Can－rbr的次数不一定为0. 2．(x－)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9　 B．10　　 C．11　　 D．8 解析：B　[n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11， 故n＝10.] 3．二项式(1－2x)9的展开式中x6的系数为(　　) A．C B．－C C．C26 D．－C·26 解析：C　[二项式(1－2x)9＝C＋C(－2x)＋…＋C(－2x)k＋…＋C(－2x)9，其展开式中x6的系数为C(－2)6＝C26.] 4．在6的展开式中，x6的系数是　________　. 解析：6的展开式的通项为 Tr＋1＝C(2x3)6－rr＝26－rC·x18－4r， 令18－4r＝6，解得r＝3， 所以x6的系数是23C＝160. 答案：160 　二项式定理的正用、逆用 [例1] (1)用二项式定理展开5； (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC. [思路点拨]　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开； (2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解. 解：(1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·1＋…＋C5 ＝32x5－120x2＋－＋－. (2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 运用二项式定理的解题策略 1．正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 2．逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式. [变式训练] 1．(1)求4的展开式； (2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解：法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)3＋ C4＝81x2＋108x＋54＋＋. 法二：4＝ ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n. 　求展开式中的特定项 [例2] (1)(x－2y)7的展开式中的第4项为(　　) A．－280x4y3　　　　 B．280x4y3 C．－35x4x3 D．35x4y3 (2)已知n的展开式中，第6项为常数项. ①求n； ②求含x2的项； ③求展开式中所有的有理项. [思路点拨]　→→→→→→→ (1)A　[(x－2y)7的展开式中的第4项为 T4＝Cx4·(－2y)3＝(－2)3Cx4y3＝－280x4y3.] (2)解：通项公式为 Tr＋1＝Cx(－3)rx＝C(－3)rx. ①∵第6项为常数项， ∴r＝5时，有＝0，即n＝10. ②令＝2，得r＝×(10－6)＝2， ∴所求的项为T3＝C(－3)2x2＝405x2. ③由题意得 令＝k(k∈Z)， 则10－2r＝3k，即r＝5－k. ∵r∈Z，∴k应为偶数， k＝2,0，－2，即r＝2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2. 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第r＋1项，Tr＋1＝Can－rbr； (2)求含xr的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项. 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 3．求二项展开式特定项的步骤 [变式训练] 2．若n的展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x的一次项； (2)展开式中所有的有理项. 解：(1)由已知可得C＋C·＝2C·， 即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去). 所以，通项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·2－r·x4－r，令4－r＝1，得r＝4. 所以含x的一次项为T5＝C2－4x＝x. (2)令4－r∈Z，且0≤r≤8，则r＝0,4,8， 所以展开式中所有有理项分别为T1＝x4， T5＝x，T9＝. 　　　求二项展开式特定项的有关系数 [例3] (1)(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　) A．－3　　 B．－2　　　 C．2　　　 D．3 (2)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，x4的系数是　________　(用数字作答). [思路点拨]　(1)经分析可知， 常数项是由两部分构成的； (2)令x＝1可得各项系数的和，从而求出a； (3)先分析含x4的项的构成，再求解. 解析：(1)常数项由分别来自x2＋2，(－1)5的项组成，5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r×(－1)r，则第一个因式取2，第二个因式取(－1)5，得2×(－1)5＝－2， 第一个因式取x2，第二个因式取，得1×C(－1)4＝5.因此，(x2＋2)5的展开式的常数项是5＋(－2)＝3. (2)含x4的项是由5个因式中，4个出x,1个出常数组成的，所以含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4，所以展开式中x4的系数是－15. 答案：(1)D　(2)－15 求特定项系数的思路与方法 对于几个多项式积的展开式中的求特定项系数的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏. 双通项法是解决此类问题的通法.所谓双通项法就是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中的一般项为Tr＋1Tk＋1＝Can－r(bx)rCsm－k(tx)k＝CCan－rbrsm－k·tkxr＋k(注意这里含有xr＋k的项不一定只有一项), 再根据题目中对字母的指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而弄清r，k的取值情况，从而使问题顺利解决. [变式训练] 3．已知二项式10. (1)求展开式第四项的二项式系数； (2)求展开式第四项的系数. 解：10的展开式的通项是 Tr＋1＝C(3)10－r·r ＝310－rrCx(r＝0,1，…，10). (1)展开式的第四项的二项式系数为C＝120. (2)展开式的第四项的系数为C·373＝ －77 760. 　　　三项式的展开问题 [例4] 5的展开式中的常数项为　____________　(用数字作答). [思路点拨]　利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决. 解析：法一：5在x＞0时可化为10，因而展开式的通项Tr＋1＝ C10－r·()10－2r，则r＝5时为常数项，即C·5＝. 5在x＜0时可化为 －10，所以展开式的通项T＝ －C)10－k·(－1)k·()10－2k，令10－2k＝0，得k＝5，则展开式的常数项为－C5(－1)5＝. 综上，5的展开式的常数项为. 法二：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10. 求原展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5. 所以原展开式中的常数项为＝. 法三：5是5个三项式相乘.常数项的产生有三种情况： ①在5个相乘的三项式中，从其中1个三项式中取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得C··C·C·()3＝20； ②在5个相乘的三项式中，从其中2个三项式中取，从另外3个三项式中选2个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得C·2·C·＝； ③从5个相乘的三项式中都取常数相乘，可得C·()5＝4. 综上，5的展开式中的常数项为 20＋＋4＝. 法四：5＝5的通项为Tk＋1＝CC5－k，5－k的通项为 T'r＋1＝Cx－rx5－k－r2－(5－k－r)＝Cx5－2r－k2k＋r－5(0≤r≤5－k). 令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1，或k＝5，r＝0. 当k＝1，r＝2时，展开式中的项为CC22－2＝； 当k＝3，r＝1时，展开式中的项为CC2·2－1＝20； 当k＝5，r＝0时，展开式中的项为C·4＝4. 综上，5的展开式中的常数项为＋20＋4＝. 答案： 三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性简捷性. [变式训练] 4．(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．10　　 B．20　　　 C．30　　　 D．60 (2)4的展开式中的常数项是(　　) A．352 B．－352 C．1 120 D．－1 120 解析：(1)C　[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2. (x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30.故选C. 法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.] (2)C　[法一：原式＝4＝4＋C3(－4)＋ C2·(－4)2＋C(－4)3＋(－4)4，所以其常数项为C42＋CC4(－4)2＋(－4)4＝1 120. 法二：原式＝4＝8. Tk＋1＝C(2x)8－kk＝(－1)k28－kCx8－2k， 由8－2k＝0，得k＝4， 所以常数项为(－1)4×24C＝1 120.] [当堂达标] 1．(x＋1)n的展开式共12项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：C　[由n＋1＝12，可知n＝11.] 2．(y－2x)8的展开式中的第6项的二项式系数是(　　) A．C B．C(－2)5 C．C D．C(－2)6 解析：C　[由题意可知第6项的二项式系数为C.] 3．(1－x)10的展开式中第7项为　________　. 解析：T7＝C(－x)6＝210x6. 答案：210x6 4．已知二项式(x＋a)5的展开式中，x2项的系数为80，则a＝　________　. 解析：Cx2a3＝80x2⇒a＝2. 答案：2 5．求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数. 解：(1)由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1＝C(2)6－r.r ＝(－1)rC·26－r·x3－r ∴T6＝－12x－， ∴第6项的二项式系数为C＝6. 第6项的系数为C·(－1)·2＝－12. [基础过关] 1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　　) A．9　 B．10　　 C．11　　 D．8 解析：C　[因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，所以n＝11，故选C.] 2．在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是(　　) A．－10 B．10 C．－5 D．5 解析：B　[∵5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx2(5－r)·(－1)rx－r＝(－1)rCx10－3r，令10－3r＝4，∴r＝2，∴x4的系数为C＝10.] 3．(x－y)2024的二项展开式中，第m项的二项式系数是(　　) A．C B．C C．C D．(－1)m－1C 解析：C　[二项展开式第m项的二项式系数为C] 4.5的展开式中x2y3的系数是(　　) A．－20　 B．－5　　 C．5　　 D．20 解析：A　[Tr＋1＝C5－r(－2y)r ＝C2r－5(－2)rx5－ryr， 当r＝3时，系数为C23－5(－2)3＝－20.故选A.] 5．(多选)在n的展开式中，常数项为15，则下列选项中不可作为n取值的是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：ABC　[二项展开式的通项为Tk＋1＝ C(x2)n－kk＝(－1)kC·x2n－3k，根据常数项是15，可得2n＝3k，且(－1)k·C＝15，验证n＝6时，k＝4符合题意，故选ABC.] 6．(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　) A．a0＝－32 B．a2＝－80 C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1 解析：ABC　[令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确.令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确.令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2为二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tr＋1＝Cy5－r(－2)r，故a2＝C·(－2)3＝－80，B正确.a4＝C(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40.故C正确.故选ABC.] 7.4的展开式中常数项为　________　. 解析：4展开式的通项为 Tr＋1＝C(x3)4－rr＝(－1)rCx12－4r. 令12－4r＝0，则r＝3，所以常数项为 T4＝(－1)3C＝－4. 答案：－4 8.6的展开式中的常数项等于　____　，有理项共有　________　项. 解析：6的展开式的通项为 Tr＋1＝C()6－rr＝Cx， 当＝0时，r＝2， 此时常数项为C＝15. 当为整数时，对应的项为有理项. 因为r∈N且r≤6，所以r可取0,2,4,6，故共有4项为有理项. 答案：15　4 9．(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是　________　. 解析：法一：(双通项法)(1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项为C()n＝Cx，则(1－)6(1＋)4的展开式的通项为C(－1)mCx＋，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3. 法二：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x). 于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3. 答案：－3 10．求5的二项展开式. 解：法一：直接利用二项式定理展开并化简. 5＝C(2x)5－C(2x)4·＋C(2x)3·2－C(2x)2·3＋C(2x)·4－ C·5＝32x5－80x2＋－＋－. 法二：先化简再展开. 5＝5＝－(1－2x3)5 ＝－[1－C·2x3＋C(2x3)2－C(2x3)3＋C(2x3)4－C(2x3)5] ＝－＋－＋－80x2＋32x5. 11．已知n的展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值； (2)展开式中的含x3的项. 解：(1)因为T3＝C()n－22＝4Cx， T2＝C()n－1＝－2Cx， 依题意得4C＋2C＝162， 所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，即n＝9. (2)设第r＋1项含x3，则Tr＋1＝C()9－rr ＝(－2)rCx， 所以＝3，r＝1，所以第二项为含x3的项， T2＝－2Cx3＝－18x3. [能力提升] 12.5展开式中的常数项为(　　) A．1 　　 B．11 C．－19 　　　 D．51 解析：B　[5＝5，则其展开式的通项Tk＋1＝Ck(其中k＝0,1,2,3,4,5).要求原式的展开式中的常数项，需求k的展开式中的常数项.k的展开式的通项Tr＋1＝Cxk－rr＝(－1)rCxk－2r(其中r＝0,1,2，…，k)，根据题意，令k－2r＝0，则k＝2r，即k是2的倍数，所以k＝0,2,4，所以原式的展开式中的常数项为C－CC＋CC＝11，故选B.] 13．若二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值. 解：∵Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx6－， 令6－＝3，则r＝2，得A＝C·a2＝15a2； 令6－＝0，则r＝4，得B＝C·a4＝15a4. 由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，∴a＝2. [素养培优] 14．若n的展开式的常数项为－20，求n的值. 解：当x＞0时，n＝2n， 其通项为Tr＋1＝C()2n－rr ＝(－1)rC()2n－2r. 令2n－2r＝0，得n＝r， 所以展开式的常数项为(－1)nC；当x＜0时， n＝(－1)n2n. 同理可得，展开式的常数项为(－1)nC. 无论哪一种情况，常数项均为(－1)nC， 令(－1)nC＝－20.把n＝1,2,3…，逐个代入， 得n＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $