6.2.3-6.2.4 第2课时 组合数的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

第2课时　组合数的性质及应用 课程标准 素养解读 1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题 2.能解决无限制条件的组合问题 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养 [情境引入] 新高考改革后，在取消文理分科后，全国大多数地区实行“3＋1＋2”模式，即语、数、外三科为国家统考，所有考生必选，然后从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治和地理中任选2科参加高考.选科前大家普遍认为，传统的“大文大理”(即“数理化”“政史地”组合)还依然是主流，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有多少种？ [知识梳理] [知识点一]　组合数公式 C＝＝　　 ＝　　(n，m∈N*，m≤n).特别地，C＝C＝1. [知识点二]　组合应用题的解法 1．无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答. 2．有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)C＋C＝C(m≥2且m∈N*).(×) (2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有CC种.(×) (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本，共有C种不同分法.(√) 2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有(　　) A．25种　　　　　 B．35种 C．820种 D．840种 解析：A　[分3类完成：男生甲参加，女生乙不能参加，有C种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C种选法；两人都不参加，有C种选法，所以共有2C＋C＝25(种)不同的选派方案.] 3．从5名学生中选3人参加会议，共有选法　____________　种. 解析：这是一个从5人中选3人的组合问题，有C＝10(种). 答案：10 　有限制条件的组合问题 [例1] 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，现从中选出3名同学参加活动. (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ [思路点拨]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有” “至少” 等字眼，使用两个计数原理解决. 解：(1)从余下的34名学生中选取2名， 有C＝561(种)，∴不同的选法有561种. (2)从34名可选学生中选取3名，有C种， 或者C－C＝C＝5 984(种). ∴不同的选法有5 984种. (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100(种). ∴不同的选法有2 100种. (4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种).∴不同的选法有2 555种. (5)选取3名的总数有C，至多有2名女生在内的选取方式有C－C＝6 545－455＝6 090(种). ∴不同的选法有6 090种. 求解有限制条件的组合问题的方法 1．“含”或“不含”某些对象的组合问题：“含”，则先将这些对象取出，再取其他对象；“不含”，则先将这些对象剔除，再从剩下的对象中去选取. 2．“至少”或“至多”含有几个对象的组合问题：解这类题必须十分重视“至少” 与 “至多”这两个关键词的含义，防止重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解此类问题，当用直接法处理较复杂时，可考虑用间接法处理. [变式训练] 1．有4名男生，5名女生. (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 解：(1)选2名男生，有C种选法；选3名女生，且某女生必须在，有C种选法. 所以符合条件的不同选法有C·C＝36(种). (2)方法一(直接法)：符合条件的选法有三类： 第1类，2名男生，3名女生的选法有C·C种； 第2类，3名男生，2名女生的选法有C·C种； 第3类，4名男生，1名女生的选法有C·C种； 所以男生不少于2名的不同选法有C·C＋C·C＋C·C＝105(种). 方法二(排除法)：因为从9名学生中，选5名代表的选法共有C种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条件的情况， 所以男生不少于2名的不同选法有C－C·C－C＝105(种). 故共有105种不同的选法. (3)先安排甲组有C种分法，再安排乙组有C种分法，余下的学生为丙组有C种分法. 所以符合条件的不同分法有C·C·C＝1 680(种). 故共有1 680种不同分法. 　分组，分配问题 [例2] 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本， 一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本. [思路点拨]　(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取；(2)是“均匀分组问题”；(3)是分组问题，分三步进行；(4)分组后再分配；(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型”“1、1、4型”. 解：(1)根据分步乘法计数原理得到CCC＝90(种). (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法.根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法. (3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝ 60(种)方法. (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360(种)方法. (5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”，即(1)中的分配情况，有CCC＝90(种)方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CCCA＝360(种)方法；③“1,1,4型”，有CA＝90(种)方法. 所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法. 分组、分配问题的求解策略 1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种. (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等； (2)部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. 2．分配问题属于“排列”问题. 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. [变式训练] 2．将5名哈尔滨亚冬会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种　　　　 B．120种 C．240种 D．480种 解析：C　[平均分组问题.先分组有＝10(种)，再排序有10A＝240(种).] 　　　与几何有关的组合应用题 [例3] 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ [思路点拨]　根据几何图形寻找规律，防止重复和遗漏. 解：(1)法一：可作出三角形C＋C·C＋C·C＝116(个). 法二：可作出三角形C－C＝116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有C＝36(个). (2)可作出四边形C＋C·C＋C·C＝360(个). 1．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. 2．在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决. [变式训练] 3．平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线. (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 解：法一：(直接法)，共线的4点记为A，B，C，D. (1)第一类：A，B，C，D确定1条直线； 第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定C条直线； 第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定CC条直线. 根据分类加法计数原理，共有不同直线1＋C＋CC＝1＋10＋20＝31(条). (2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得CC个三角形； 第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得CC个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得C个三角形. 共有CC＋CC＋C＝80(个)三角形. (3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点共得 C＋CC＋CC＝105(个)四边形. 法二：(间接法)： (1)可确定直线C－C＋1＝31(条). (2)可确定三角形C－C＝80(个). (3)可确定四边形C－C－CC＝105(个). 排列、组合综合问题 [例4] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表. [思路点拨]　“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑. 解：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，有CC＋CC种取法，后排有A种，故共有(CC＋CC)·A＝5 400(种). (2)除去该女生后，先取后排，有C·A＝840(种). (3)先取后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3 360(种). (4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3个全排有A种，共C·C·A＝360(种). 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 1．按事情发生的过程进行分步； 2．按元素的性质进行分类，解决时通常从三个途径考虑； (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数. [变式训练] 4．为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目.某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为(　　) A．2730 B．10080　 C．20160　 D．40320 解析：B　[分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解即可.若没有人参加“打埂作畦”，则有·A＝1 680种不同的方法，若有一人参加“打埂作畦”，则有 C＝8 400种不同的方法，所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为1 680＋8 400＝10 080.] [当堂达标] 1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　) A．120 B．84 C．52 D．48 解析：C　[间接法：C－C＝52(种).] 2．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　) A．A种 B．45种 C．54种 D．C种 解析：D　[由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有C种.] 3．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同的获奖情况有　________　种.(用数字作答) 解析：一、二、三等奖，三个人获得，有A＝24(种).一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有CA＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况. 答案：60 4．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成　______　个三角形. 解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C－3＝32. 答案：32 5．2024年4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛(淮安站)盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：(用数字表示) (1)4人均来自不同学校有多少种安排； (2)4人中有男有女同学的有多少种安排； (3)若4人已经选出，请分别解答下列两个问题 ①4名同学不相邻； ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧. 解析：(1)根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，有CCCCC＝240种安排方法； (2)根据题意，在12人中选出4人，有C种排法，其中只有男生的选法有C种，只有女生的选法有C种，则4人中有男有女有C－2C＝495种－30种＝465种， (3)①根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，则有AA＝144种安排方法； ②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况即可，有A－2AA＝432种排法. 答案：(1)240　(2)465　(3)①144；②432 [基础过关] 1．某乒乓球队有9名队员，其中2名是种子选手，现在挑选5名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同的选法共有(　　) A．26种　　　　 B．84种 C．35种 D．21种 解析：C　[从7名队员中选出3人有C＝＝35(种)选法.] 2．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体有(　　) A．6个 B．12个 C．18个 D．30个 解析：B　[从6个顶点中任取4个有C＝15(种)取法，其中四点共面的有3种，所以满足题意的四面体有15－3＝12(个).] 3．2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是(　　) A．18　 B．36　　 C．54　　 D．72 解析：B　[若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1,2,2的选法总数为：CA＝18，若甲，乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3的选法总数为：A＝18，所以不同的选法总数为：18＋18＝36.] 4．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有(　　) A．C·C B．CC＋CC C．C－C D．C－CC 解析：B　[至少2件次品包含两类：(1)2件次品，3件正品，共CC种，(2)3件次品，2件正品，共CC种，由分类加法计数原理得抽法共有CC＋CC.] 5．(多选)下列关系中能成立的是(　　) A．C＝C B．C＝ C．m！＝ D．A＋mA＝A 解析：BCD　[对于A，令n＝3，m＝1，可得等式C＝C不成立，故A错误； 对于B，由组合数的计算公式知 C＝，故B正确； 对于C，由排列数与组合数的定义知＝×＝m！，故C正确； 对于D，A＋mA＝＋＝＝A，故D正确. 故选BCD.] 6．(多选)从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女生至少各有1个参加，则不同的选法总数应为(　　) A．CCC B．CC＋CC＋CC C．C－C－C D．CC(C＋CC＋C) 解析：BC　[(直接法)：分三类：3男1女，2男2女，1男3女，所以男、女生至少各有1人参加的选法总数为CC＋CC＋CC. (间接法)：任选4人的方法数为C，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数C＋C，故不同的选法总数应为C－C－C.经检验，A，D不正确，故选BC.] 7．从6男2女共8个学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有　________　种不同的选法.(用数学作答) 解析：分两步： 第1步，选出4个，由于选出的人中至少有1名女生，故不同的选法种数为C－C＝55； 第2步，从4人中选出队长、副队人各1人，不同的选法种数为A＝12. 根据分步乘法计数原理知，不同的选法种数为55×12＝660. 答案：660 8．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有　________　种(用数字作答). 解析：分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种.所以满足条件的分配方案有·A＝36(种). 答案：36 9．有四个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙2人每人选2个去参观，求恰有一个场馆相同的概率为　________　. 解析：P＝＝. 答案： 10．12件产品中有3件次品，9件正品，从中抽取5件. (1)5件中没有次品的取法有多少种？ (2)5件中有2件次品的取法有多少种？ 解：(1)5件中没有次品的取法就是从9件正品中取5件的取法，有C＝126种. (2)第一步，先从3件次品中取2件，有C种取法； 第二步，从9件正品中取3件，有C种取法. 利用分步乘法计数原理，知共有CC＝252 种取法. 11．已知∠AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，用这些点和O点为顶点，能构成多少个不同的三角形？ 解：法一：以O为三角形顶点，其余两顶点分别在OA和OB上取，能构成C·C＝30(个)三角形； O不为顶点，又可分两类：第一类， 在OA上取两点，OB上取一点； 第二类，在OA上取一点，OB上取两点. 则能构成C·C＋C·C＝10×6＋5×15＝135(个)三角形. 因此，能构成不同的三角形共有30＋135＝165(个)； 法二：12个点中任取3个点的取法有C种，其中，不能构成三角形的三点有两类；从OA上6个点中任取三点或从OB上7个点中任取三点，分别有C和C个，因此，能构成不同的三角形共有： C－C－C＝220－20－35＝165(个). [能力提升] 12．有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其他5人既会划左舷又会划右舷，现要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有(　　) A．1 860种　　　　　 B．2 174种 C．2 354种 D．2 651种 解析：B　[设集合A＝， B＝， C＝.先分类，以集合A为基准，被选出划左舷的3个人中，有以下几类情况： ①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人. 第①类情况中，由于划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B，C中选3人，有C种选法，同理可得第②③④类情况的选法种数.故不同的选法共有CC＋CCC＋CCC＋CCC＝2 174(种).] 13．北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号F遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了此次航天任务，准备从7名预备队员中(其中男4人，女3人)中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？(结果用数字作答) (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？(结果用数字作答) 解析：(1)由题意，分成3种情况讨论：只有1名女性，共有CC＝12种选法，有2名女性，共有CC＝18种选法，有3名女性，共有CC＝4种选法，所以共有12种＋18种＋4种＝34种选法，即至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有34种选法； (2)由题意，先选4名航天员，然后分为2,1,1的三组，然后分配到A，B，C实验室，共有C××A＝1 260种方法.所以每个实验室至少一名航天员，共有1 260种选派方式. [素养培优] 14．有编号为1,2,3,4的四张不同的卡片，按照下列要求处理，各有几种方法？ (1)甲得2张，乙得2张； (2)平均分成2堆，每堆2张. 解：(1)甲先拿两张卡片，有C＝6(种)；乙再拿时，只有从剩下的两张卡片中取两张，有C＝1(种)，故利用分步乘法计数原理可得CC＝6(种).可列出所有分法： 甲　　乙 1　2　3　4 1　3　2　4 1　4　2　3 2　3　1　4 2　4　1　3 3　4　1　2 (2)把这四张不同的卡片平均分成2堆，与把这四张不同的卡片平均分给甲、乙二人是不同的.如甲得编号为1、2的两张卡片，乙得编号为3、4的两张卡片，与甲得编号为3、4的两张卡片，乙得编号为1、2的两张卡片是不同的分法，但若编号为1、2的两张看成一堆，编号为3、4的两张看成一堆，上面的两种情况实质是一种平均分成两堆的分法.所以将四张不同卡片平均分给甲、乙两人，每人2张，相当于把四张不同卡片平均分成2堆后，再把每次分得的2堆分给甲、乙两人.设平均分成2堆的方法有x种，则：x·A是将四张不同的卡片平均分给甲、乙两人的分法，由(1)知：CC＝x·A，所以x＝＝3(种). 学科网（北京）股份有限公司 $