6.2.3-6.2.4 第1课时 组合与组合数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．2.3　组合 6．2.4　组合数 第1课时　组合与组合数 课程标准 素养解读 1.理解组合与组合数的概念 2.会推导组合数公式，并会应用公式求值 3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明 1.通过学习组合与组合数的概念，培养数学抽象的素养 2.借助组合数公式及组合数的性质进行计算，培养数学运算的素养 [情境引入] 某国际会议中心有A、B、C、D、E等5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小等4种型号，总共20个会议室.现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号.试问会议中心的工作人员有多少种安排会议室的方法？ [知识梳理] [知识点一]　组合的概念 一般地，从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象　并成一组　，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合. 组合概念的两个要点 (1)取出的对象是不同的； (2)“只取不排”，即取出的m个对象与顺序无关，无序性是组合的特征性质. 1.组合对元素有何要求？ 提示：组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的. 2．组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 提示：无放回抽取，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. [知识点二]　组合数的概念、公式 定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数 表示 C(n，m∈N且m≤n) 组合 数公 式 乘 积 式 C＝＝ 组合数的性质 (1) C＝C (2)C＋C ＝C 阶 乘 式 C＝ 3.组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？ 提示：第一个性质中，若m＞，通常不直接计算C，而改为计算C，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题.(　　) (2)由于组合数的两个公式都是除法公式，所以结果不一定是整数.(　　) (3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关.(　　) 提示：(1)×　由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题. (2)×　C是从n个元素中取m个元素的情况的种数，故C一定是正整数. (3)√　组合与排列不同之处是组合选出的元素没有顺序而排列有顺序. 2．若C＝28，则n＝(　　) A．9　　 B．8　　 C．7　　 D．6 解析：B　[C＝＝28，即n＝8.] 3．(双空题)C＝　________　，C＝　________　. 解析：C＝＝153， C＝＝18. 答案：153　18 4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为　________　. 解析：从四个数中任取两个数的取法为C＝6. 答案：6 　对组合概念的理解 [例1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合A＝，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ [思路点拨]　区分排列与组合问题，关键是利用排列与组合的定义，组合是“只选不排、并成一组，与顺序无关.” 解：(1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. (2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. (3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题. (4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 区分排列与组合的方法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题. [变式训练] 1.判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数. (1)10人相互通一次电话，共通多少次电话？ (2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？ (3)从10个人中选出3个作为代表去开会，有多少种选法？ (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表，有多少种选法？ 解：(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (2)是组合问题，因为每两支球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C＝45. (3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别，组合数为C＝120. (4)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的，排列数为A＝720. 　组合数公式的应用 [例2] (1)计算C－C·A； (2)解方程3C＝5A (3)解不等式：2C＜3C. [思路点拨]　根据题目特点，选择适当的组合数公式进行求解. 解：(1)原式＝C－A＝－7×6×5＝210－210＝0. (2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·＝5·， 则＝，即为(x－3)(x－6)＝40. ∴x2－9x－22＝0， 解得x＝11或x＝－2. 经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根. ∴方程的根为x＝11. (3)∵2C＜3C，∴2C＜3C， ∴2×＜3×. ∴＜.∴x＜. ∵∴x≥2，∴x＝2,3,4,5. ∴不等式的解集为. 关于组合数公式的选取技巧 1．涉及具体数字的可以直接用C＝·＝＝C进行计算. 2．涉及字母的可以用阶乘式C＝计算. 3．计算时应注意利用组合数的性质C＝C简化运算. [变式训练] 2．(1)式子可表示为(　　) A．A　　　　 B．C C．101C D．101C (2)求值：C＋C. (1)解析：D　[分数的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n， 故 ＝101 ＝101C] (2)解：由组合数定义知： 所以4≤n≤5，又因为n∈N， 所以n＝4或5. 当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5； 当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16. 简单的组合问题 [例3] 某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个，从其中任取10个进行检验，那么(各题列出算式即可，不必计算最后结果) (1)一共有多少种抽取结果？ (2)全部抽到一等品的结果有多少种？ (3)抽不到一等品的结果有多少种？ (4)恰抽到5个一等品的结果有多少种？ (5)恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？ (6)至少抽到1个一等品的结果有多少种？ [思路点拨]　由于本题中对部分元素是“只取不排”，故是组合问题.解题时应准确理解各关键词的含义. 解：(1)这批产品一共有100＋80＋30＝210(个)，从其中任取10个进行检验，共有C种抽取结果. (2)这批产品中有一等品100个，取出10个一等品，共有C种抽取结果. (3)抽不到一等品，相当于从二等品和三等品中抽取10个进行检验.而二等品和三等品共有80＋30＝110(个)，所以抽不到一等品的抽取结果共有C种. (4)恰抽取5个一等品，剩下的5个产品从二等品和三等品中抽取. 分步计数：先抽取5个一等品，再抽取5个非一等品. 根据分步乘法计数原理，一共有C·C种抽取结果. (5)恰抽到1个一等品，2个二等品，剩下的7个产品从三等品中抽取. 分步计数：先抽取1个一等品，再抽取2个二等品，最后抽取7个三等品. 根据分步乘法计数原理，一共有C·C·C种抽取结果. (6)“抽取的10个产品中，至少有一个一等品”是“没有抽到一等品”的反面，因此，用所有的抽取结果数减去没有抽到一等品的结果数即可. 所以至少抽到一个一等品的结果共有C－C种. 1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关. 2．要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用.在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. [变式训练] 3．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是C＝＝56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C＝＝21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C＝＝35. [当堂达标] 1．下列四个问题属于组合问题的是(　　) A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 解析：C　[A、B、D项均为排列问题，只有C项是组合问题.] 2．若A＝12C，则n等于(　　) A．8 B．5或6 C．3或4 D．4 解析：A　[A＝n(n－1)(n－2)，C＝n(n－1)， 所以n(n－1)(n－2)＝12×n(n－1). 由n∈N*，且n≥3，解得n＝8.] 3．某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这6门课程中选择4门报名参加合格性考试，其中，语文、数学这2门课程同时入选的不同选法共有(　　) A．6种 B．12种 C．15种 D．20种 解析：A　[某同学从语文、数学、英语、物理、化学、生物这6门课程中选择4门报名参加合格性考试，若语文、数学这2门课程同时入选，则只需要从剩余4门课程中选择2门即可，故不同选法共有C＝6种.] 4．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成　________　条线段；如果是有向线段，共有　________　条. 解析：从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C＝10(条).再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有向线段共有20条. 答案：10　20 5．解方程式：C＝C. 解：由原方程及组合数性质可知， 3n＋6＝4n－2或3n＋6＝18－(4n－2)， 所以n＝8或n＝2，而当n＝8时， 3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去. 因此n＝2. [基础过关] 1．(多选)给出下列问题，是组合问题的是(　　) A．从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法 B．从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 解析：AC　[A.2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题.B.2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题.C.单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题.D.冠亚军是有顺序的，是排列问题.] 2．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有(　　) A．A种　　　　　 B．C种 C．CA种 D．30种 解析：B　[三张票没区别，从10人中选3人即可，即C.] 3．若A＝6C，则n的值为(　　) A．6　　 B．7　　　 C．8　　　 D．9 解析：B　[由题意知n(n－1)(n－2)＝6·，化简得＝1， 所以n＝7.] 4．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(　　) A．24种 B．10种 C．12种 D．9种 解析：C　[第一步，为甲地选1名女教师，有C＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.] 5．(多选)C＋C等于(　　) A．C B．C C．C D．C 解析： BD　[由组合数的性质得：C＋C＝C＝C.] 6．(多选)在四川省新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试.则下列说法正确的是(　　) A．若任意选科，则选法总数为12种 B．若政治必选，则选法总数为3种 C．若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种 D．若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为5种 解析：ACD　[借助组合数的定义，逐项计算即可得，对A：CC＝2×6种＝12种，故A正确； 对B：CC＝2×3种＝6种，故B错误；对C：C(CC＋C)＝2×(4＋1)种＝10种，故C正确； 对D：CC＋CC＝2×2种＋1×1种＝5种，故D正确.] 7．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有　________　种不同的选法. 解析：由题意可知共有C＝＝84(种)不同的选法. 答案：84 8．C＋CC＝　________　. 解析：C＋CC＝C＋C×1 ＝＋＝56＋4 950＝5 006. 答案：5 006 9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则 m∶n＝　________　. 解析：∵m＝C，n＝A，∴m∶n＝1∶2. 答案：1∶2 10．已知C－C＝C－C，求C的值. 解：由已知得2C＝C＋C， 所以2·＝＋， 整理得n2－21n＋98＝0， 解得n＝7或n＝14. 要求C的值，故n≥12， 所以n＝14， 于是C＝C＝91. 11．某次足球赛共12支球队参加，分三个阶段进行： (1)小组赛：经抽签分甲、乙两组，每组六支球队进行单循环比赛(参加比赛的6支球队必须分别两两交锋一次)，以积分及净剩球数取前两名. (2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜负. (3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负. 问全部赛程共需比赛多少场？ 解：(1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，共有两组，所以小组赛共要比赛2C＝2×＝30(场). (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组的第一名与甲组的第二名)主客场各赛一场，所以半决赛共要比赛2A＝2×1×2＝4(场). (3)决赛只需比赛一场，即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场). [能力提升] 12．对所有满足1≤m＜n≤5的自然数m，n，方程x2＋Cy2＝1所表示的不同椭圆的个数为　________　. 解析：因为1≤m＜n≤5，所以C可以是C，C，C，C，C，C，C，C，C，C，计算可知C＝C，C＝C，C＝C，C＝C，故x2＋Cy2＝1能表示6个不同的椭圆. 答案：6 13．(1)在桥牌比赛中，发给4名参赛者每人一手由52张牌的四分之一(即13本牌)组成的牌.一名参赛者可能得到多少手不同的牌(用排列数或组合数表示)? (2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券.问：此人有多少种不同的投资方式？ 解：(1)本题实质上是从52个元素中任选13个元素作为一组的组合问题，共有C种不同的可能.即一名参赛者可能得到C手不同的牌. (2)需分两步： 第1步，根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C种选法； 第2步，根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C种选法. 根据分步乘法计数原理，此人有C·C＝17 325(种)不同的投资方式. [素养培优] 14．证明：nC＝(k＋1)C＋kC. 证明：因为(k＋1)C＋kC ＝(k＋1)＋k ＝＋k ＝＋k ＝ ＝＝nC， 所以nC＝(k＋1)C＋kC. 学科网（北京）股份有限公司 $