6.2.2 第1课时 排列与排列数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教A版）

6．2　排列与组合 6．2.1　排列 6．2.2　排列数 第1课时　排列与排列数 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列 2.会用排列数公式进行求值和证明 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养 [情境引入] 教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐成一排. 问题：这12位老师的坐法共有多少种？ [知识梳理] [知识点一]　排列的概念 1．一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照　一定的顺序　排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. 2．特别地，　m＝n　时的排列(即　取出所有对象　的排列)称为全排列. 3．排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题. (2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列.检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 1.排列中“一定顺序”的含义是什么？ 提示：一定顺序就是指排列中的元素与位置有关，当位置不同时排列也就不同. 2．排列定义中的两个要素是什么？ 提示：一是“取出不同的元素”，二是“将元素按一定顺序排列”. 3．两个排列相同的条件是什么？ 提示：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同. [知识点二]　排列数及排列数公式 排列数 的定义 从n个不同对象中取出m个对象的　所有排列　的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数 的表示 A(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 A＝　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 A＝ 阶乘 A＝　n×(n－1)×(n－2)×…×2×1 ＝　n！　 规定 0！＝　1　，A＝　1 　4.“排列”与“排列数”是两个相同的概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 提示： “排列”与“排列数”是两个不同的概念.“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法. “排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.如A，B，C三名同学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.这里的每一种形式都是一个排列，而排列数是6. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列.(×) (2)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列.(×) (3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现.(√) (4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.(×) 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．A　 B．A　 C．A　　 D．A 解析：C　[A＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89.] 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 解析：C　[由排列的定义可知，共有A＝3×2×1＝6(种)排列方法.] 4.＝　________　. 解析：＝＝. 答案： 　排列概念的理解 [例1] 判断下列问题是不是排列问题，并说明理由. (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上. [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关.若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题. 解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中. (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分. (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求. (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列. (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生. 1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”. 2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题. [变式训练] 1．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题. (2)因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题. (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题. 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题. 　　“树形图”在简单排列中的应用 [例2] 写出下列问题的所有排列. (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列. [思路点拨]　(1)直接列举数字. (2)先画树形图，再结合树形图写出. 解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数. (2)由题意作树形图，如图. 故所有的排列为：abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb，共有24个. 利用“树形图”法解决简单排列 问题的适用范围及策略 1．适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. 2．策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列. [变式训练] 2．四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来. 解：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种). 画出树形图： 由“树形图”可知，所有坐法为 ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 排列数公式的推导及应用 [例3] (1)计算：； (2)求3A＝4A中的x. [思路点拨]　(1)可直接运算，也可采用阶乘式；(2)借助阶乘式求解，注意x的范围. 解：(1)法一：＝＝＝. 法二：＝＝＝＝. (2)原方程3A＝4A可化为＝， 即＝，化简， 得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 由题意知解得x≤8. 所以原方程的解为x＝6. 1．排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数. 2．排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： ①当m、n较大时，使用计算器快捷地算出结果； ②对含有字母的排列数的式子进行变形. 注意常用变形A＝nA，nA＝A－A，n·n！＝(n＋1)！－n！的应用. 3．计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量.A中隐含了如下条件：m，n∈N*，m≤n，A的运算结果为正整数.在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围. [变式训练] 3．(1)等于(　　) A．12　 B．24　　 C．30　 D．36 (2)A＝9×10×11×12，则m等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：(1)D　[A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36.] (2)B　[根据公式A＝n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)知，m＝4.] [当堂达标] 1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的运算有(　　) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 解析：B　[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.] 2．设n∈N＋，且n<19，则(19－n)·(20－n)……(2 024－n)等于(　　) A．A B．A C．A D．A 解析：D　[先确定最大数，即2 024－n，再确定因数的个数，即(2 024－n)－(19－n)＋1＝2 006，所以原式可写为A.] 3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：C　[用枚举法，一一列出.] 4．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有　________种　. 解析：A＝4×3＝12. 答案：12 5．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有　________　种.(填数字) 解析：司机、售票员各有A种安排方法，由分步乘法计数原理知，共有AA＝36(种)不同的安排方法. 答案：36 [基础过关] 1．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地； ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队； ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算. A．①④　　　　　 B．①② C．③④ D．①③④ 解析：A　[根据排列的定义进行判断.] 2．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋19)(m＋20)(m∈N*)可表示为(　　) A．A　 B．A　　 C．A　　 D．A 解析：A　[因为最大数为m＋20，所以共有21个自然数连续相乘，根据排列公式可得m(m＋1)(m＋2)…(m＋19)(m＋20)＝A.] 3．已知3A＝4A，则n等于(　　) A．5 B．7 C．10 D．14 解析：B　[由×3＝×4，得(11－n)(10－n)＝12，解得n＝7，n＝14(舍).] 4．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有(　　) A．12种 B．24种 C．48种 D．120种 解析：B　[同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A＝24(种).] 5．(多选)已知下列问题，其中是排列问题的有(　　) A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母 D．从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数 解析：AD　[A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列.] 6．(多选)下列等式中，正确的是(　　) A．(n＋1)A＝A B.＝(n－2)! C．A＝A·A D.A＝A 解析：ABCD　[通过计算可知选项A、B、C、D均正确.] 7．北京的三条文化带——大运河文化带、长城文化带、西山永定河文化带，是北京文化脉络乃至中华文明的精华所在.为了让同学们了解这三条文化带的内涵，现从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，则不同的分配方案种数是　__________　. 解析：从4名老师中选3名老师，每人讲述一条文化带，每条文化带由一名老师讲述，相当于从4个不同元素中选3个元素的排列问题，则不同的分配方案种数为A＝4×3×2＝24. 答案：24 8．计算：＝　________　. 解析： ＝＝. 答案： 9．若集合P＝，则集合P中共有　________　个元素. 解析：因为x＝A， 所以有m∈N*且m≤4， 所以P中的元素为A＝4，A＝12，A＝A＝24， 即集合P中有3个元素. 答案：3 10．8个人排成一排. (1)共有多少种不同的排法？ (2)8个人排成两排，前后两排各4人共有多少种不同的排法？ (3)8个人排成两排，前排3人，后排5人，共有多少种不同的排法？ 解：(1)由排列的定义知共有A种不同的排法. (2)8人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分，其排列数等于8人排成一排的排列数A.也可以分步进行，第一步：从8人中任选4人放在前排共有A种排法，第二步：剩下的4人放在后排共有A种排法，由分步乘法计数原理知共有A×A＝A种排法. (3)同(2)的分析可知，共有A×A＝A(种). 11．从0,1,2,3这四个数中，每次取3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数. 解：大于200的三位数的首位是2或3，所以共有： 201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321. [能力提升] 12．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是(　　) A．8　　 B．5　　　 C．3　　 D．0 解析：C　[因为当n≥5时，A的个位数字是0，故S的个位数取决于前四个排列数.又A＋A＋A＋A＝33，故选C.] 13．甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球，经过5次传球，球仍回到甲手中，不同的传球方法共有多少种？ 解：由甲开始发球，可发给乙，也可发给丙. 若甲发球给乙，其传球方法的树形图如图. 共5种. 同样甲第一次发球给丙，也有5种情况. 由分类加法计数原理，共有5＋5＝10(种)不同的传球方法. [素养培优] 14．现要用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫7种颜色对某市的如图的四个区域进行涂色，有公共边的两个区域不涂同一种颜色，则共有几种不同的涂色方法？ 解：由图形知，Ⅰ与Ⅳ可以同色，因此涂四个区域可用3种颜色，也可用4种颜色，用3种颜色涂色，即Ⅰ与Ⅳ同色，把Ⅰ与Ⅳ视为同一个区域，有A种方法，用4种颜色涂色，有A种方法，所以不同的涂色方法种数是A＋A＝210＋840＝1 050. 学科网（北京）股份有限公司 $