精品解析：甘肃省甘南藏族自治州临潭县第二中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷高三数学

临潭县第二中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 4. 如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知且满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 64 D. 32 7. 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（ ） A. 该公司2020—2024年快递业务量逐年上升 B. 该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C. 该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D. 该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 10. 设抛物线的焦点为，抛物线C的准线过点．若点M满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点M在以为圆心，为半径的圆上 C. 若点M在抛物线C上，则 D. 抛物线C上恰好存在两个满足题意的点. 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 在上单调递增，在上单调递减 B. C. 函数只有1个零点 D. 存在实数k，使得方程有4个实数解 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为等差数列且，则的值为___________. 13. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 14. 的展开式中所有有理项的系数之和为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 17. 某公司通过甲､乙两个团队销售一种产品，并在销售的过程中对该产品的单价进行调整．现将两个团近100天的日均销售情况统计如下表所示： （1）是否有的把握认为产品的日均销售量是否超过3000件与团队的选择有关； （2）现对近5个月的月销售单价，和月销售量的数据进行了统计，得到如下数表，求关于的回归直线方程． 月销售单价约元/件 10 11 12 月销售量万件 13 12 10 8 7 （3）对日均销售量的多少，利用分层抽样的方法随机抽取5天调查，再从这5天中抽取2天进行分析销售情况，求抽取的2天中日均销售量均超过3000件的概率． 参考公式：回归直线方程，其中参考公式数据： 18. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）的下顶点为，直线与的上支交于，两点（点在靠近轴的一侧），直线与直线，分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，其中为原点. （i）求证：； （ii）求外接圆的半径的取值范围. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在处取得极值，求的极值. （3）若在上的最小值为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第二中学2025-2026学年上学期1月份模拟卷 高三 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试范围：高考所有内容 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式，化简集合；求函数值域，化简集合，再由并集的概念，即可得出结果. 【详解】因为，， 因此. 故选：D. 【点睛】本题主要考查求集合的并集，涉及对数不等式，以及根式型函数的值域，属于基础题型. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，所以， 所以． 故选：C． 3. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】由题意得正态分布曲线关于对称， 因为，则． 故选：B 4. 如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的运算法则，化简得,再由，即可求得 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则， 可得, 因为，所以，从而求得， 故选:B． 【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题. 5. 已知且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两角和与差的三角公式，二倍角公式，可求得要求式子的值. 【详解】 ， 又， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查两角和与差的三角公式，二倍角公式，属于基础题. 6. 已知等比数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. 64 D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式，前n项和公式求出首项和公比，再代入求值即可. 【详解】设等比数列的公比为，， ，即，． ，，， ，． 故选：A. 7. 已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式，求解椭圆的离心率即可. 【详解】椭圆：（）的左，右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点，若直线恰好与圆相切于点， 可得，可得 所以 解得 故选A 【点睛】本题考查利用椭圆的定义以及性质求离心率，属于中档题. 8. 已知函数有三个零点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，将方程转化为，设，且，由导数得出的单调性与值域，并画出简图，设，则，得，分类讨论的范围，即可得出的范围． 【详解】令，得， 当时，，即或，只有2个零点，不合题意，故， 又， 所以， 设，且， 则，令，解得，且， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 则在的最小值为， 画出简图，如图所示， 所以当时，，当时，， 设，则， 变形为， 记，令，则， 画出简图，如图所示， ①当时，只有一个根， 则只有一个根，不合题意； ②当时，有两个根， 则有一个根，有两个根，符合题意； ③当时，有两个根， 则有一个根，有一个根，不合题意； 综上所述， ，即， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某快递公司2020—2024年的快递业务量及其增长率如图所示，则（ ） A. 该公司2020—2024年快递业务量逐年上升 B. 该公司2020—2024年快递业务量的极差为68.5亿件 C. 该公司2020—2024年快递业务量的增长率的中位数为29.9% D. 该公司2020—2024年快递业务量的增长率的平均数为21.58% 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图像和极差，中位数，平均数的计算公式依次判断每个选项即可. 【详解】对A：由图可知：2020—2024年快递业务量逐年上升，故A正确； 对B：2020—2024年快递业务量的极差为：（亿件），故B正确； 对C：因为增长率从小到大排序，即 则中位数为，故C错误； 对D：由，故D正确. 故选：ABD 10. 设抛物线的焦点为，抛物线C的准线过点．若点M满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点M在以为圆心，为半径的圆上 C. 若点M在抛物线C上，则 D. 抛物线C上恰好存在两个满足题意的点. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、两点间距离公式等知识逐项计算即可. 【详解】对于A：因为抛物线的准线为，所以，A错误； 对于B：，设，则. 因为，所以， 化简得，即. 所以点在以为圆心，为半径的圆上，即点在以为圆心，为半径的圆上，B正确； 对于C：由，得，即，解得， 所以，所以，C正确； 对于D：根据C求出的点有两个，或，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 在上单调递增，在上单调递减 B. C. 函数只有1个零点 D. 存在实数k，使得方程有4个实数解 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断函数单调性；对于B：根据函数单调性分析判断；对于C：直接解方程即可；对于D：分和两种情况，构建，利用导数判断其单调性和极值，结合图象分析判断. 【详解】对于选项A：由题意可知：函数的定义域为， 因为， 当，则；当，则； 可知在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于选项B：因为，且在上单调递增， 所以，故B正确； 对于选项C：令，解得， 所以函数只有1个零点，故C正确； 对于选项D：令，则， 若，，方程成立； 若，则， 构建，则， 当时，；当或时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且， 当趋近于，趋近于0， 可得的图象如图所示： 当时，则与有3个交点， 即方程有3个根； 综上所述：存在实数k，使得方程有4个实数解，故D正确； 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列为等差数列且，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据等差数列的等差中项的性质利用的值求得的值,进而利用等差中项的性质求得的值,代入答案可得. 【详解】，， ， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质、等差中项，作为等差数列的常用性质是重中之重，属于基础题. 13. 已知正实数，满足，则的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由条件可得，将展开并变形为，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为正实数，满足， 故，当且仅当时等号成立， 故 ， 当且仅当，即时取等号，符合题意， 故的最小值为12， 故答案为：12 14. 的展开式中所有有理项的系数之和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式展开式通项，找出有理项，再计算有理项的系数之和. 【详解】由二项式定理，可得的展开式通项为，当，即时，为有理项，所以所有有理项的系数之和为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，从而求出，，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得，采用裂项相消法求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，解得. ，可得，解得. 所以. 【小问2详解】 ， 所以 16. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图取的中点，连接、. 为的中点， 且， 由平面，平面， ，. 又，， 四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面. （2） 为等边三角形，为的中点， .平面，平面，， ，所以，， 又，、平面，平面， 平面，平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）添加辅助线构成平行四边形按线面平行的判定定理证明即可； （2）由题意先证明平面，再证明平面平面，即由线面垂直证明面面垂直； （3）添加辅助线，依题意找出为和平面所成的角，结合图形求出即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图：在平面内，过作于点，连接， 平面平面，平面平面，平面， 平面.为和平面所成的角， 因为，， 则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为. 17. 某公司通过甲､乙两个团队销售一种产品，并在销售的过程中对该产品的单价进行调整．现将两个团近100天的日均销售情况统计如下表所示： （1）是否有的把握认为产品的日均销售量是否超过3000件与团队的选择有关； （2）现对近5个月的月销售单价，和月销售量的数据进行了统计，得到如下数表，求关于的回归直线方程． 月销售单价约元/件 10 11 12 月销售量万件 13 12 10 8 7 （3）对日均销售量的多少，利用分层抽样的方法随机抽取5天调查，再从这5天中抽取2天进行分析销售情况，求抽取的2天中日均销售量均超过3000件的概率． 参考公式：回归直线方程，其中参考公式数据： 【答案】（1）有 （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据列联表，计算的值，结合附表，即可得到结论； （2）根据表格中的熟记，分别求得，利用公式求得，即可得到回归直线方程. （3）根据分层抽样得日均销售量超过3000的有天，日均销售量不超过3000的有天，再根据古典概率列举求解即可. 【小问1详解】 解：依题意， 所以，有的把握认为产品的日均销售量是否超过件与团队的选择有关. 【小问2详解】 解：因为，， 所以， ， 所以，关于的回归直线方程为. 【小问3详解】 解：由表中数据可知，甲乙两个团队日均销售量超过3000件的有80天，不超过3000件的有120天， 所以，根据分层抽样的方法，抽取的5天中，日均销售量超过3000的有天，分别记为；日均销售量不超过3000的有天，分别记为， 所以，从这5天中抽取2天，可能的情况有：，共10种， 其中抽取的2天中日均销售量均超过3000件的只有一种情况， 所以，抽取的2天中日均销售量均超过3000件的概率为 18. 已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）的下顶点为，直线与的上支交于，两点（点在靠近轴的一侧），直线与直线，分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，其中为原点. （i）求证：； （ii）求外接圆的半径的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）由题得，设，， 联立，消去，整理得， 则，得或， ，， 因直线与上支交于两点，故，故或 直线的方程为，令，得，即， 所以， 同理，可得，即得， ， 又， 所以 ， 又，故. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立方程求出得解； （2）（i）设，，将直线与双曲线方程联立，由根与系数的关系得，求出代入运算得证；（ii）设，求出的三边长，利用，表示出外接圆的半径的表达式，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由题，设双曲线的上焦点为，渐近线方程为， 所以焦点到渐近线的距离为， 又离心率，即，得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）不妨设点均在第一象限，由（i）得， 则，故四点共圆，所以的外接圆即为四边形的外接圆， 设外接圆的圆心为，则，由（i）得，， 故 ， 故 因此，的外接圆的半径的取值范围为. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）若在处取得极值，求的极值. （3）若在上的最小值为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）极大值，极小值； （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，即可求得答案； （2）根据在处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值； （3）分类讨论，讨论a与区间的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围. 【小问1详解】 若，则，则， 故， 故曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 定义域为， 则， 由于在处取得极值，故， 则， 令，则或，函数在上均单调递增， 令，则，函数在上单调递减， 故当时，取到极大值， 当时，取到极小值； 【小问3详解】 由于， 当时，，仅在时等号取得，在上单调递增， 则，符合题意； 当时，则时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 故，不符合题意； 当时，，在上单调递减， 故，不符合题意； 综上，可知的取值范围为. 【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a与区间的位置关系，从而确定最值，求得参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $