精品解析：宁夏银川市北师大银川学校2025-2026学年高二年级第一学期期末考试数学试题

北师大银川学校2025-2026学年第一学期高二年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）题，写在草稿纸上超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 过点且平行于直线的直线方程为（　　） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 5. 在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若直线的方程为，则（ ） A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距为1 C. 原点到的距离为 D. 过原点且与平行的直线方程为 10. 记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最后一个数字为6 D. 若，则从开始出现数字4 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知向量，，若，则_____． 13. 以为一个焦点，渐近线是的双曲线方程是_____________ 14. 已知数列的前项和为，若，则_____________. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，若． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值及取得最大值时的值． 16. 直线l与直线垂直，且经过点． （1）求l的方程； （2）若圆截直线l所得弦长为4，求实数m的值． 17. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，E，F，G分别为PA，BC，CD的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求直线EC与平面EFG所成角的正弦值． 19. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，为数列的前n项和，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大银川学校2025-2026学年第一学期高二年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内（黑色线框）题，写在草稿纸上超出答题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损． 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 直线的倾斜角为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合直线的斜率与倾斜角的关系求解即可． 【详解】设直线的倾斜角为， 则，所以. 故选：B． 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 3. 过点且平行于直线的直线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设所求直线为，结合点在直线上求参数，即可得. 【详解】由题设，令所求直线为， 由点在直线上，则， 所以直线为. 故选：C 4. 在等差数列中，，则的值为（ ） A. 15 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】借助等差数列等差中项的性质计算即可得. 【详解】等差数列中，解得， 则. 故选：D. 5. 在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据韦达定理以及等比数列的性质即可求解. 【详解】由于是方程的两个根，故，， 因此，从而， 又是等比数列，故，， 故选：B 6. 已知为抛物线：的焦点，，是抛物线上不同的两点，，则线段的中点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合梯形中位线的性质求解即可. 【详解】抛物线的准线为：，过，作准线的垂线，垂足为，，的中点为， 过作准线的垂线，垂足为， 因为，是该抛物线上的两点，故，， 所以，又为梯形的中位线，所以， 故到轴的距离为， 故选：B. 7. 等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】等差数列与的前n项和分别为和，因为， 所以. 故选：A. 8. 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率. 【详解】 令，代入椭圆 则可知：，又因为，所以， 根据椭圆定义可知：， 所以椭圆的离心率为， 故选： B 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 若直线的方程为，则（ ） A. 的一个方向向量为 B. 在轴上的截距为1 C. 原点到的距离为 D. 过原点且与平行的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】由方向向量的概念可判断A，由可判断B，由点到线的距离公式可判断C，由斜率关系可判断D. 【详解】对于A，由直线方程的一个方向向量为， 显然与不共线，故A错误， 对于B，当时，，当时，， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故B正确， 对于C，由点到线的距离公式可得原点到的距离为，故C正确， 对于D，直线的方程为，斜率为1， 直线的斜率为，不平行，故D错误， 故选：BC 10. 记为等差数列的前项和.已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等差数列的性质判断A，利用等差数列的前n项和及通项公式列方程组，运算可判断BD，由前n项和公式判断D. 【详解】S4＝＝0，∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确； a5＝a1＋4d＝5， (*)，a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0， (**)， 联立(*)(**)解得，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误； ，C正确． 故答案为：ABC 11. “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．对于外观数列，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则的最后一个数字为6 D. 若，则从开始出现数字4 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的新定义一一求解. 【详解】对于A项，，即“2个2”，，即“2个2”， 以此类推，该数列的各项均为22，则，故A项正确； 对于B项，，即“1个1，1个3”，，即“3个1，1个3”， 故，即“1个3，2个1，1个3”，故，故B项错误； 对于C项，，即“1个6”，，即“1个1，1个6”， ，即“3个1，1个6”，故，即“1个3，2个1，1个6”， 以此类推可知，的最后一个数字均为6，故C项正确； 对于D项，因为，则，，，， 若数列中，中为第一次出现数字4， 则中必出现了4个连续的相同数字， 如，则在的描述中必包含“1个1，1个1”， 即，显然的描述应该是“2个1”，矛盾，不合乎题意， 若或，同理可知均不合乎题意， 故不包含数字4，故D项错误． 故选:AC． 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 已知向量，，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的数量积为0列式求值. 【详解】因为，所以，即. 故答案为： 13. 以为一个焦点，渐近线是的双曲线方程是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】 从焦点得到，从渐近线得到，加上双曲线满足联立即可. 【详解】因为为一个焦点，所以焦点在轴上，且. 因为渐近线是，所以. 因为双曲线满足，所以解得，即双曲线方程是. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，若，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的前项和与的关系，通过和两种情况分别求出和的表达式，再验证是否满足时的表达式，进而求出数列的通项公式. 【详解】由，当时，，所以. 当时，， 所以，所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以. 当时，，上式也成立. 综上，. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，若． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】（1）； （2）时取得最大值为9. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列的前n项和公式求得，再由等差数列的通项公式求得公差，进而写出数列的通项公式； （2）根据（1）所得通项公式，结合等差数列的单调性确定对应的范围，进而确定最大值及其对应值. 【小问1详解】 由题设，，所以， 令的公差为，则， 所以； 【小问2详解】 由（1），若，且，则， 而时，故时取得最大值， 所以. 16. 直线l与直线垂直，且经过点． （1）求l的方程； （2）若圆截直线l所得弦长为4，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直设出直线方程，再将点代入直线方程即可. （2）首先将圆的方程化为标准方程，得圆的圆心、半径，再求圆心到直线l的距离，根据垂径分线定理、勾股定理列出方程即可. 【小问1详解】 由题意可设：． 因为经过点，所以，． 所以的方程是． 【小问2详解】 圆的标准方程为．圆心，半径． 圆心到直线距离． 由垂径定理，即，得． 17. 已知椭圆C的方程为（）上顶点为，离心率为. （1）求椭圆C的方程； （2）若斜率为2的直线l经过椭圆C的左焦点，且与椭圆C相交于M，N两点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题求出，求出椭圆方程； （2）利用弦长公式求解. 【小问1详解】 由题意，且，，得， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 设椭圆左焦点为，直线的方程为，，， 联立直线方程与椭圆方程， 可得，解得：，. 所以 18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，E，F，G分别为PA，BC，CD的中点． （1）证明：平面PBC． （2）求直线EC与平面EFG所成角的正弦值． 【答案】（1） 由于平面，平面，所以， 而四边形是正方形，所以两两相互垂直. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系. ， ， 设平面的法向量为， 则，故可设， 由于平面，所以平面PBC． （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面PBC． （2）利用向量法求得直线EC与平面EFG所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线EC与平面EFG所成角为， 则. 19. 已知数列中，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）设，为数列的前n项和，证明：. 【答案】（1） ∵，∴，即， ∴是以为首项，2为公差的等差数列. （2） （3） 由（2）得，， ∴， ∵，∴，且随着的增大而减小， ∴，当时，， ∴. 【解析】 【分析】（1）通过等式左右两侧取倒数，结合等差数列的定义可证明结论. （2）根据（1）可得数列的通项公式，由此可得结果. （3）利用裂项相消法可求得，分析性质可证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，， ∴. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $