精品解析：浙江省宁波市2026届高三第一学期期末考试数学试题

宁波市2025学年第一学期期末考试 高三数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“贴条形码区”. 2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，若，则a的值不可能是（ ） A. B. C. D. 2 3. 等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 4. 已知命题：，；命题：，.则（ ） A. 和q都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 5. 已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A B. C. D. 7. 已知，是两个不相等的锐角，且满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，.若C的渐近线方程为，焦距为4，动点满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示. 记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ） A. 乙试验区产量频率分布直方图中， B. 甲试验区产量众数大于乙试验区产量的众数 C. 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数 D. 甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数 10. 已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 为的平分线 C. 的面积为 D. H，M，P三点共线 11. 设，已知函数，，则（ ） A. 函数在上无极值点 B. 函数在上可能单调递增 C. 当时， D 当时， 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆相交于两点，则_____. 13. 一个正四棱锥所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为_____. 14. 甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局练习的胜负相互独立.现进行局练习，规定胜局多者获胜，记“局练习甲获胜”的概率为，则_____.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，直线平面，E棱上一点，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，. （1）求的值； （2）若为非直角三角形，且满足，，求a的值. 17. 已知数列和满足，，，. （1）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）将数列，中的所有项从小到大排列组成新数列，记的前n项和为，求. 18. 已知椭圆：的离心率为，且过点，F是的右焦点，O为坐标原点. （1）求的方程； （2）设，过点P的直线与依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线，分别与交于另一点C，D. （i）当C，D两点重合时，求直线的方程； （ii）当C，D两点不重合时，直线与x轴交点为Q，求面积的最大值. 19. 已知，函数. （1）证明：曲线关于直线对称； （2）当时，求的最小值； （3）当时，若存在互不相等的三个大于1的实数，，，满足，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁波市2025学年第一学期期末考试 高三数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上.将条形码横贴在答题卷右上角“贴条形码区”. 2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破. 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限． 故选D． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2. 设集合，，若，则a的值不可能是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据子集的性质求出a可能的取值，并以此判断各选项． 【详解】因为，所以集合中的元素必须是集合的元素， 则或，解得或或， 当，此时，显然，满足条件； 当，则，显然，满足条件； 当，则，显然，满足条件． 故选：A． 3. 等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则（ ） A. -3 B. -2 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件列方程组求解即可. 【详解】由，可得，，， 得. 故选：B 4. 已知命题：，；命题：，.则（ ） A. 和q都是真命题 B. 和都是真命题 C. 和q都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】利用含有量词的命题及导数计算最值判定命题的真假性即可. 【详解】令，则恒成立， 所以在上单调递增，即， 即p为真命题，为假命题； 令，则，所以在上单调递增， 即恒成立，即q为假命题，为真命题； 显然B正确. 故选：B 5. 已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的周期性及奇偶性，将转化为，再根据下的表达式求解即可． 【详解】因为是定义在上且周期为4的奇函数， 所以， 又，所以． 故选：D． 6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的函数表达式，并以此求出的单调递增区间，又根据在区间上单调递增，所以为所求单调递增的子集，最后结合求出的最小值． 【详解】， 则的单调递增区间满足， 解得， 而在区间上单调递增，则必有，解得， 也即，又因为，所以，取最小值， 所以． 故选：C． 7. 已知，是两个不相等的锐角，且满足，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出，再根据角的范围确定，最后利用两角和差的余弦公式展开解方程组即可. 【详解】联立，得， 得或， 因为，是两个不相等的锐角，所以，且， 故，则， 因为，所以， 则，. 故选：C 8. 已知双曲线C：的左、右顶点分别是，，左、右焦点分别是，.若C的渐近线方程为，焦距为4，动点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定双曲线方程及P的轨迹，利用双曲线的性质及极化恒等式计算即可判定选项. 【详解】由已知得，， 得，解得， 则双曲线的方程为， 设，因为，所以，即， 点P的轨迹是以O为圆心，3为半径的圆. ，A选项错误； ，B选项错误； 设线段的中点为Q，可得， ，故，C选项错误； ，故D选项正确. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 海水养殖场进行某水产品两种养殖方法的产量对比，甲试验区选择第一种养殖方法，乙试验区选择第二种养殖方法.收获时，从两个试验区各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：千克），其频率分布直方图如下图所示. 记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70，则（ ） A. 乙试验区产量频率分布直方图中， B. 甲试验区产量的众数大于乙试验区产量的众数 C. 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数 D. 甲试验区产量的75%分位数大于乙试验区产量的中位数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的概率公式、众数、平均数、百分位数和中位数计算判断各个选项； 【详解】对于A，记事件C=“乙试验区产量不低于19千克”，根据直方图得到的估计值为0.70， 则， 解得，A正确； 对于B，甲试验区产量的众数为，乙试验区产量的众数为， 甲试验区产量的众数小于乙试验区产量的众数，B错误； 对于C，甲试验区产量的平均数为 乙试验区产量的平均数为 甲试验区产量的平均数小于乙试验区产量的平均数，C正确； 对于D，设甲试验区产量的75%分位数为，则， 解得 设乙试验区产量的中位数为，则，解得 甲试验区产量的75%分位数小于乙试验区产量的中位数，D错误； 故选：AC. 10. 已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴交于点H，过第一象限C上一点P作的垂线，垂足为Q，线段与C相交于点M，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. 为的平分线 C. 的面积为 D. H，M，P三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据及抛物线的性质求出P点的坐标，对于A，可根据P点坐标直接求出PF的斜率；对于B，求出FQ的斜率，并结合PF的斜率分别求出、，据此可判断为的平分线；对于C，联立直线QF和抛物线C的方程，求出M的坐标，再结合点到直线的距离即可求解的面积；对于D，比较HM、HP的斜率即可判断是否三点共线． 【详解】如图所示， 抛物线的焦点为，准线为， 已知，所以的横坐标为，解得， 所以，解得，因此， 对于A，直线PF的斜率，故A正确； 对于B，是到准线的垂足，所以，又，， 所以FQ的斜率，故， 由得，所以， 所以为的平分线，故B正确； 对于C，QF的方程为，联立抛物线， 得，解得或（舍去），所以， PF的方程为， 点到直线PF的距离, 面积，故C错误； 对于D，，，， 则，，斜率相等， 所以H，M，P三点共线，故D正确． 故选：ABD． 11. 设，已知函数，，则（ ） A. 函数在上无极值点 B. 函数在上可能单调递增 C. 当时， D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】先对函数求导，根据极值点的定义、函数的单调性、不等式的计算等知识逐项计算判断即可. 【详解】已知，对函数求导，. 当时，，故无极值点，A选项正确； 当时，存在，使得，B选项错误； 当时，，C选项正确； 当时，令，由选项C得， 于是 ，选项D正确. 故选：ACD. 非选择题部分（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线与圆相交于两点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求圆的圆心和半径，再计算圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求出弦长. 【详解】依题意得圆心坐标为，半径，直线方程为， 根据点到直线的距离公式得：， 根据弦长公式得：. 故答案为：. 13. 一个正四棱锥的所有顶点都在球面上，该正四棱锥的底面边长为，侧棱长为2，则球的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出正四棱锥的高，结合球的定义以及勾股定理求出半径，最后利用表面积公式计算即可. 【详解】如图，正四棱锥，则平面， 因为平面，所以， 因为，所以，， 因为，所以在中，， 设外接球球心为，则必在直线上， 由可知，， 得，即外接球半径为， 故外接球表面积为. 故答案为： 14. 甲、乙两人进行乒乓球练习，设甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，且各局练习的胜负相互独立.现进行局练习，规定胜局多者获胜，记“局练习甲获胜”的概率为，则_____.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】记“局练习中甲获胜场”的概率为，，则，再由全概率公式表示出，从而得到，计算可得. 【详解】记“局练习中甲获胜场”的概率为，，故. 由全概率公式， 所以 . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，直线平面，E是棱上一点，，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理得出，应用勾股定理得出，应用线面垂直判定定理得出所以平面，进而得出线线垂直； （2）方法1：建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算求解；方法2：应用线面角定义得出即为直线与平面所成角，结合边长计算求解. 【小问1详解】 连接，由且得，结合，， 可得， 即，于是，即，. 因为，所以. 又因为平面，平面，所以， 又平面 ，所以平面. 因为平面，所以. 【小问2详解】 方法1：以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，即，令，则， 记直线与平面所成角， 则. 因此直线与平面所成角的正弦值为. 方法2：由棱柱性质可知平面平面， 故直线与平面所成角等于直线与平面所成角. 取线段中点H，连接，， 因为，所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 所以即为直线与平面所成角，即为直线与平面所成角. 在中，，，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 16. 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，记的面积为S，. （1）求的值； （2）若为非直角三角形，且满足，，求a的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可. （2）根据正弦定理对等式进行化简，然后求出，进而得到，利用正弦定理求出. 【小问1详解】 因为，所以， 即， 由余弦定理得，于是. 【小问2详解】 因为，所以， 又， 故. 因为，所以， 于是，即或. 因为不为直角三角形，故，即或. 因为，所以， 若，则，而已知，则，两者矛盾， 故应舍去，故. 又，， 故， 因此. 17. 已知数列和满足，，，. （1）证明：数列是等比数列，并求出的通项公式； （2）将数列，中的所有项从小到大排列组成新数列，记的前n项和为，求. 【答案】（1）证明见解析， （2）5840 【解析】 【分析】（1）根据条件及等比数列的定义、通项公式计算即可； （2）先判定为等差数列及其通项公式，结合数列的单调性确定新数列分别含两数列的项数，分组求和即可. 【小问1详解】 因为，所以， 即，又， 所以数列是以3为首项，2为公比的等比数列， 于是. 【小问2详解】 由已知得，又， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以. 因为数列，均为单调递增数列， 且前一个数列均为偶数，后一个数列均为奇数，故无重复项， 又，，， 同时， 所以数列前60项中含数列的前7项，数列的前53项. 记数列前n项的和为， 则， 记数列前n项的和为，则， 于是. 18. 已知椭圆：的离心率为，且过点，F是的右焦点，O为坐标原点. （1）求方程； （2）设，过点P的直线与依次交于A，B两点（点A在第二象限），直线，分别与交于另一点C，D. （i）当C，D两点重合时，求直线的方程； （ii）当C，D两点不重合时，直线与x轴交点为Q，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点坐标求出，进而得到椭圆方程. （2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理求出的直线方程，并与椭圆方程联立求出，进而得到直线的方程；（ii）先列出直线的方程，令，结合韦达定理求出，进而根据基本不等式的性质求得面积的最大值. 【小问1详解】 由，及，解得，，即椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，， 直线与椭圆方程联立得， ，， 设，，得. 易知，设的直线方程为，其中， 将直线与椭圆方程联立得， 则. （i）当C，D重合时，，即，， 代入得， 化简得，解得或（舍去）. 因为，所以. 故直线的方程为. （ii）因为，所以. 则直线的方程为， 令，得， 将韦达定理代入上式，得， 即直线过定点. 的面积为 ， 当，即时，取得的面积的最大值. 19. 已知，函数. （1）证明：曲线关于直线对称； （2）当时，求的最小值； （3）当时，若存在互不相等的三个大于1的实数，，，满足，且，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用对称轴定义证明； （2）求出导函数，再化简得出导函数为正，进而函数单调递增即可得出最小值； （3）先求出导函数得出函数单调性，再构造函数构造，，应用单调性即可证明不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为（0，2）， 因为 ， 所以，即曲线关于直线对称. 小问2详解】 根据对称性，只需研究时，函数的性质， ，， 令， . 令，，则， 当时，有， 故，在（1，2）上单调递增，于是， 即恒成立，在（1，2）上单调递增，所以函数的最小值为. 【小问3详解】 当时，，，， 令，，设， 可知在（1，2）上单调递增， 又在（1，2）上单调递增， 所以在（1，2）上单调递增. 而，，故，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，，， 所以，使得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 不妨令，要证，即证. 构造，， ， 令， 因为，所以，是关于 x 的减函数， 又因为在上单调递增，所以在上单调递减， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减，且， 所以，而，即， 又，，在上单调递减， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $