长沙市周南中学2025-2026学年高二上学期数学期末考试考后针对性训练（六）

《长沙市周南中学2025—2026学年高二上学期数学期末考试考后针对性训练（六）》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A B A D C BD ABD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据直线方程求斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题可知，直线的斜率， 故，即直线的倾斜角为. 故选：B. 2．A 【分析】由二项展开式的通项公式即可得到常数项. 【详解】由题意知，通项公式为， 所以常数项为. 故选：A. 3．B 【分析】根据条件列方程组求解即可. 【详解】由，可得，，， 得. 故选：B 4．A 【分析】根据抛物线的定义、焦半径公式等知识求得正确答案. 【详解】设点的坐标为，由及，可得， 在抛物线上，所以， 所以，可得点到轴的距离为. 故选：A 5．B 【分析】问题转化为有两个变号零点，即有两个不同正根，利用判别式求解即可. 【详解】由题可知：， 因为函数有两个极值， 所以有两个变号零点， 即有两个不同正根， 因为,所以方程化为有两个不同正根， 所以且, 可得，即实数的取值范围为. 故选：B 6．A 【分析】利用向量的线性运算求出，，，利用向量共面，即存在实数，使得，列出方程，解方程即可得到答案. 【详解】因为点，，分别在棱，，上，且，，， 则， ， 设，则， 因为四点共面，所以共面． 设存在实数，使得， 所以，，，解得，． 即，所以． 故选：A．    7．D 【分析】将“数、书”捆绑，分“礼”在第二次或“礼”在最后一次两类求解. 【详解】将“数、书”捆绑，内部排列共有种，则可看作五个元素，五个次序， 若“礼”在第二次，则首先需从“乐、射、御”三艺中选择一艺放在第一次有种不同的次序， 再将剩余三个元素（数、书捆绑看作一个元素）在后面排列，有种不同的次序， 根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 若“礼”在最后一次，则将剩余四个元素（数、书捆绑看作一个元素）安排在剩余四个次序， 有种不同的次序，根据分步乘法计数原理，讲座不同的次序共有种； 综上，讲座不同的次序共有种， 故选：D. 8．C 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 9．BD 【分析】利用椭圆的定义可判断AC选项；利用双曲线的定义可判断B选项；利用双曲线的离心率公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，则，此时，A错； 对于B选项，若为双曲线，则，， 由双曲线的定义可得，B对； 对于C选项，若，则曲线的方程为， 所以，，， 的周长为，C错； 对于D选项，若，则曲线的方程为， 所以，，， 此时双曲线的离心率为，D对. 故选：BD. 10．ABD 【分析】利用空间向量的线性运算即可判断A，利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直，即可判断B，利用空间向量法来求异面直线所成角的余弦值，即可判断C，利用空间向量法来求数量积，即可判断D． 【详解】 如图，由正方形的边长为4，，，可得： ，故A正确； 由底面，底面，则， 因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 即是平面的一个法向量，故B正确； 如图建立空间直角坐标系，由正方形的边长为4，，，可得： ， 则 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 当点在侧面内（含边界）运动时，可设，则 所以，故D正确； 故选：ABD. 11．ACD 【分析】求导函数应用导数值得出参数判断A，根据导函数正负得出函数单调性进而得出极小值判断B，先转化不等式再参数分离构造函数结合函数最值计算参数判断C，先转化零点再构造函数结合导函数得出函数单调性判断D. 【详解】对于A，因为，而，所以，故A正确； 对于B，当时，令，解得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以有极大值，无极小值，故B错误； 对于C，由，即， 当时，，所以在上单调递增， 所以，由题意知，故， 令，则，令，解得， 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，，即，故C正确； 对于D，若有两个零点，即有两个解，令， 即与有两个交点，因为，令，解得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 所以当时，， 当时，，当时，，且， 作出的图象，如图所示： 若有两个零点，由图象易得， 不妨设，则由，得． 设，则 由得 所以，令，则． 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，故； 所以在上单调递减，故． 所以，所以在上单调递减， 因此随着的增大而减小，由图象可知随着的增大而减小， 所以随着的增大而增大，故D正确． 故选:ACD． 12．4 【分析】设切点为，求导得，利用导数的几何意义求切点坐标，代回曲线方程即可得到答案. 【详解】设切点为，则，， 因为，所以， 由已知，解得，则， 则切点坐标为，代入曲线方程得，解得. 故答案为：4. 13．②③ 【分析】利用轨迹方程的求法先求出曲线，利用对称性可判断①②；把问题转化为与曲线有无交点问题，再令曲线的方程，判断关于的方程有没有解，可判断③；求出的面积并求其最大值，可判断④. 【详解】设，由，可得：， 对于①，将代入上式，可得：，即当时，曲线才过原点，故①错误； 对于②，将x换为，y不变，代入方程，可得方程不变，则图象关于y轴对称； 将y换为，x不变，可得方程不变，则图象关于x轴对称，故②正确； 对于③，到距离相等的点在直线上，将代入曲线方程，解得， 方程有解当且仅当，即，故③正确； 对于④，，故④错误． 故答案为：②③． 14． 【分析】分析可知当取最小值时，不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出的表达式，由的最小值求出的值，可得出椭圆的方程，分析得出，结合韦达定理可求得的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】易知点，其中， 若直线与轴重合时，， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得， ， 由韦达定理可得，， ， 所以，当时，，故椭圆的方程为， 由题意可知，，即，则， 由韦达定理可得，可得， ，即， 当时，点为线段的中点，则； 当时，可得， 因为函数在上单调递增， 所以，当时，， 所以，，则， 所以，， . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 15．(1)或. (2)或 【分析】(1)分类讨论直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； (2)由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【详解】（1）由题意可知圆：的圆心坐标，半径， 当直线的斜率不存在时，直线过点.即的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为， 即化为一般式：，直线与圆相切，则， 即，解得，所以的方程为：，即. 综上，当直线与圆相切，直线的方程为或. （2）圆：的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1. 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线过圆的圆心，，不符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线过点.设直线的方程为，即化为一般式：，圆心到直线的距离. 若直线与圆交于两点，，根据勾股定理可得，解得， 所以直线的方程为或 16．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，前项和公式进行求解即可； （2）根据等比数列前项和公式进行求解即可 【详解】（1）设数列的公比为，通项公式为， 若公比，由，所以前4项的和为， 不符合题意， 故 ， 前4项和为， 于是相除得， 即，又因为， 故，， ； （2）， 前项和为． 17．(1) (2) (3). 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明线面垂直，建立空间直角坐标系，求直线和直线的方向向量，利用向量方法证明结论. （2）求出平面的法向量，利用点到平面距离公式求解即可. （3）分别求出平面和平面的法向量，然后利用平面夹角公式求解即可. 【详解】（1）如图，在平面内，过点作交于点；在平面内，过点作交于点． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则， 由可得，解得. （2）设平面的法向量为． 当时，， 则即取. 所以点到平面的距离. （3）由(2)可知平面的一个法向量为，与的值无关. 平面的一个法向量为. 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 18．(1)17 (2)0 (3)当时，，当时，. 【分析】（1）对函数求导，然后将切点代入进而求得切线方程，即可得到切线在轴上的截距. （2）先求出分段函数的导数，然后根据函数的单调递增区间列出不等式，进而求得. （3）分三种情况讨论函数的极值，进而得到结果. 【详解】（1）当时，当时，， 所以，又， 曲线在点处的切线为， 令，得， 曲线在点处的切线在轴上的截距为17. （2）因为函数在处连续， 所以在上单调递增等价于在和上单调递增， 因为， 当时，恒成立，所以，所以， 当，恒成立，所以 所以，所以的值是0. （3）当时，根据（2）函数无极值点，不合题意， 当时，令，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 0 - 无定义 + 极大值 极小值 因为，所以， 当时，令， 即，得到（舍） 所以的变化情况如下表： 0 + 无定义 - 0 + 极大值 极小值 所以， 所以， 综上，当时，， 当时，. 19．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设椭圆的半焦距为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）（i）设直线的方程为，联立方程组，设，求得，设直线的斜率为，求得，再由，得到，结合韦达定理，列出方程，求得，即可得到过定点； （ii）化简得到，当时，得到，结合韦达定理，求得，设，列出不等式，求得的范围，即可求解. 【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，短轴长为， 可得 ，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：（i）若，则直线过定点， 理由如下： 由（1）知，椭圆的左右顶点分别为， 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，其中， 联立方程组，整理得， 则， 设，则， 因为点在椭圆上，则，即， 设直线的斜率为，则， 即， 又因为，所以，所以，即， 即， 整理得， 即， 因为，则，所以， 整理得，可得直线的方程为， 当时，可得，所以直线过定点， 且点在椭圆的内部，此时直线与椭圆必相交， 所以直线过定点. （ii）若直线过点，点在椭圆的内部，直线与椭圆必相交， 因为， 当时，可得， 则，整理得， 设，则，解得 ，即， 则，所以，所以的取值范围为.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市周南中学2025—2026学年高二上学期数学期末考试考后针对性训练（六） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．直线的倾斜角为（     ） A．30° B．45° C．60° D．135° 2．的展开式中常数项为（    ） A．112 B．56 C．28 D．16 3．等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则（   ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 4．已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，且，则点到轴的距离为（    ） A． B． C．6 D． 5．若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知正方体，点，，分别在棱，，上，且，，，过，，三点的平面与棱相交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 7．中国古代的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每艺安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“礼”在第二次或在最后一次，“数”和“书”相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（    ） A．144种 B．120种 C．108种 D．84种 8．若存在，对任意的，都有，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．已知曲线的两个焦点为、，为曲线上不与、共线的点，则下列说法正确的有（   ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为 D．若，则的离心率为 10．在四棱台中，底面，正方形的边长为4，，，则（   ） A． B．是平面的一个法向量 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．当点在侧面内（含边界）运动时， 11．已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．当时，有极小值 C．当时，若在恒成立，则 D．若有两个零点，，则随的增大而增大 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．已知直线是曲线的一条切线，则 ． 13．数学史上，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为“卡西尼曲线”．卡西尼是法国天文学家，他在1675年研究土星及其卫星的运行规律时，发现了这种类型的曲线，为纪念他对土星研究的贡献，美欧在1997年合作发射的土星探测器就是以他的名字命名的． 设卡西尼曲线的两定点为和，常数为．则给出下列四个结论． ①曲线一定过原点； ②曲线一定关于坐标轴对称； ③当且仅当时，曲线上存在到距离相等的点； ④曲线上存在点使得的面积大于． 其中，所有正确结论的序号是 ． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过点作直线交椭圆于、两点，线段长度的最小值为.若，则弦长的取值范围为 . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知圆：关于直线的对称圆的圆心为，若直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆交于两点，，求直线的方程. 16．已知数列是公比大于0的等比数列，，其前4项的和为120． (1)求数列通项公式； (2)记，，求数列前项和． 17．如图，和所在的平面垂直，且． (1)当时，求的值； (2)当时，求点到平面的距离； (3)求平面和平面夹角的余弦值． 18．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线在轴上的截距； (2)若函数在上单调递增，求的值； (3)若函数在处取得极小值，求的取值范围. 19．已知椭圆的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左右顶点分别为，过作直线，交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （i）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （ii）若直线过点分别记和的面积为，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $