28.2解直角三角形及其应用-同步练2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十八章锐角三角函数 28.2解直角三角形及其应用 28.2.1 解直角三角形 易错点睛 在△ABC 中, ,则∠C 的度数是 . 【点睛】过点 A 作AD⊥BC 于点D,分两种情况讨论:①点 D 在边BC上;②点 D 在边BC 的延长线上. A基础题夯实 知识点1 已知两边解直角三角形 1.在 Rt△ABC 中,. 则AB 的长为 ,sinB 的值为 . 2.如图,在△ABC中,AB=AC=9,BC=12,则cosC 的值为 . 3.如图,在Rt△ABC中,CD 是斜边AB上的中线,已知CD=3,AC=4,求BC的长及tan∠ACD 的值. 知识点2 已知一边及一锐角解直角三角形 4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,∠B=45°,则AC的长为 . 5.在 Rt△ABC 中, ,则AB 的长为 . 6.如图,△ABC 内接于⊙O,BD 是直径.若 则弦CD 的长为 . 7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D, 求sin∠ACD 的值及BC 的长. B中档题运用 8.如图，在平面直角坐标系中，四边形 AOCB 是菱形， 且点 A 落在双曲线 上，点B 落在双曲线 上，则k 的值为 9.如图,AB 是⊙O的直径,P 是AB 延长线上的一点. (1)实践操作：运用直尺和圆规作以OP 为直径的半圆，交⊙O于点C(不写作法，保留作图痕迹),连接AC,BC,PC,并证明∠A=∠PCB; (2)在(1)的条件下,若 求AB 的长. C综合题探究 10.【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为该四边形的“伴随三角形”. 【问题解决】如图,在△ABC 中, (1)求 AC 的长及 cos∠ACB 的值; (2)若四边形ABCD 是以△ABC为伴随三角形的双等四边形，求CD 的长. 28.2.2应用举例 第1课时视角问题 易错点睛 如图，AB 是伸缩式的遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长度是 m.(假设夏至的正午时刻阳光与地平面夹角为60°) 【点睛】应正确理解题意，构造直角三角形求解. A基础题夯实 知识点 仰角与俯角 1.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB 的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102m的C 处，测得黄鹤楼顶部A 的俯角为45°，底部 B 的俯角为 63°，则测得黄鹤楼的高度是 m.(参考数据： 2.如图，无人机在空中A 处测得某校旗杆顶部B 的仰角为30°，底部C 的俯角为60°，无人机与旗杆的水平距离AD 为6m ，则该校的旗杆高约为 m. 结果精确到0.1) 3.如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为1 600 m，小明想利用这个观景平台测量对面山顶C处的海拔高度，他在该观景平台上选定了一点A，在点 A 处测得点C 的仰角∠CAE ,再在AE 上选一点B,在点B 处测得点C的仰角∠CBE=45°,AB=10m.求山顶C处的海拔高度.(小明身高忽略不计，结果精确到1m .参考数据： B中档题运用 4.如图，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m的A 处用仪器测得 ，向百货大楼的方向走 10 m，到达 B 处时，测得 仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度(结果保留小数点后一位). (参考数据： 5.如图，计划在山顶A 的正下方沿直线CD 方向开通穿山隧道EF.在点E 处测得山顶A 的仰角为 的仰角为，在距 E 点 80 m的C 处测得山顶A的 ,从与 F 点相距1 0 m的 D 处测得山顶A 的仰角为 点C，E，F，D 在同一直线上.求隧道EF 的长度. C 综合题探究 6.如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中 P 处，测得楼CD 楼顶D 处的俯角为 ，测得楼 AB 楼顶A 处的俯角为( 已知楼AB 和楼CD 之间的距离BC 为100m,楼AB 的高度为10m，从楼AB 的A 处测得楼CD 的D 处的仰角为 (点A,B,C,D,P 在同一平面内). (1)求楼CD 的高度(结果保留根号)； (2)求此时无人机距离地面 BC 的高度. 第2课时方位角、坡度问题 易错点睛 一斜坡的坡度i=1：2，高度为2m，那么这一斜坡的坡长为 m. 【点睛】坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比. A基础题夯实 知识点1 坡角、坡比 1.若一斜坡坡角为 30°，则该斜坡的坡度为1： . 2.公园的一处台阶高出地面1.3m，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列说法正确的是() A.斜坡AB 的坡度是 tan10° C.斜坡AB 的坡度是10° 3.如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的斜面坡度 堤坝高 BC=15 m,则迎水坡面AB 的长是 m. 4.如图，斜坡AB上相邻两棵树间的坡面距离为1.8m.若该斜坡的坡角为24°，则相邻两棵树的株距(水平距离)为 m(用三角函数表示). 知识点2 方位角 5.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的 方向(填方位角). 6.一艘轮船在小岛 A 的北偏东60°方向距小岛80海里的 B 处，沿正西方向航行4小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的平均速度为 海里/时. 7.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72°方向，距离灯塔100 nmile的A 处，它沿正南方向行驶一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东40°方向上的 B 处，则此时B 处距离灯塔P 的距离约为 nmile.(结果取整数.参考数据： B中档题运用 8.如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C 在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b 上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C 位于景点B 的北偏东( 方向上，位于景点A 的北偏东 方向上，景点 B位于景点 D 的南偏西 方向上.已知AB=800 m. (1)求 的度数； (2)求景点 C 与景点D 之间的距离.(结果保留根号) C 综合题探究 9.烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动. 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A 航行，小组同学们收集到以下信息： 位置信息 码头 A 在灯塔B 北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B 北偏东53°方向的 C 处 15：00时，渔船航行至灯塔 B 东北方向的 D 处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头 A 附近海域将出现浓雾天气.请注意防范. 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B 的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A(参考数据：sin37°≈ 5). 28.2.1 解直角三角形 1. b² 90 b/c æ/bææb/a 2.其余未知元素 3. C 4. 30°5.5 6.解:(1)∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∵CD⊥AB, ∴∠ACD +∠BCD =∠BCD +∠B=90°, ∴∠B=∠ACD; ∵BC=4, 7.解:(1)∵∠ACB=∠AHC=90°,∴∠CAE +∠ACD =∠ACD +∠BCD=90°, ∴∠CAE=∠BCD, ∵CD 是中线, ∴CD=BD, ∴∠B=∠BCD=∠CAE; ∴设 则AC=5a, ∴AC=2, CE=1,BE=BC-CE=3. 28.2.2应用举例 第1课时视角问题 1.仰角 俯角 2. A 4.解:过点 A 作AD⊥BC 于点 D.由题意,得∠B=30°,∠BCA=45°, AC=30×25=750(米), (米), (米). 5.解:(1)11.0; (2)延长 ED 交 HG 于点 K,过点 D作DM⊥AC 于点 M, 由题意,得∠DAC=30°, ∠HDK=30°, 四边形 DMGK 为矩形,AD=30米, 米， ∴GM=DK =AG+AM=(27+15 )米,DM=15米, 米，∴HG=HK+GK=HK+DM= 6(米). 第2课时方位角、坡角问题 1.南偏东 40°北偏西45°北偏东 2.坡角坡度h/ l tanα 3. B 4. C 5.2.4 6.解:(1)过点 A 作AD⊥OB 于点D, ∵OB=20, ∴BD=OD-OB=10, ∴轮船航行的速度为 (千米/时); (2)延长AB 交OM 于点E, ∵AB=OB, ∴∠OAB=∠AOB=30°, ∴∠OBE=60°, 30+1, ∴不能. 学科网（北京）股份有限公司 $