精品解析：湖南省长沙市浏阳市2025-2026学年上学期高一数学期末质量监测试题

2025年下学期期末质量监测试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，且是第二象限角，则（ ） A B. C. D. 4. 已知函数零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（ ） A. B. C. D. 6. 若定义运算，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若α终边上一点的坐标为，则 B. 若角α为锐角，则2α为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D. 若且，则 10 若，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. a，b，c的大小关系是： C. 函数在区间上单调递减 D. 关于x的不等式解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则______． 13. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数，如果恒成立，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）求和； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数． （1）求函数的定义域、值域． （2）判断函数的单调性、奇偶性并用定义证明． （3）画出函数图象． 17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求的取值范围. 19. 已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②： 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. （1）求实数的值； （2）当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； （3）已知，若，当且仅当，求实数、的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末质量监测试卷 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】可用并集的定义直接求出两集合的并集． 【详解】解：，， , 故选：． 【点睛】本题考查并集及其运算，解题的关系是正确理解并集的定义及求并集的运算规则，属于基础题． 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出的解集，利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 若，且是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据同角三角函数基本关系，由题中条件先求正弦，进而可求出正切. 【详解】因为，且是第二象限角， 所以， 因此. 故选：B. 4. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到函数单调性，结合特殊点的函数值，利用零点存在性定理得到，，，得到答案. 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移得到，由求解即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得， 由题意为奇函数， 所以， 则， 结合选项可知：ABD不符合，C符合， 故选：C 6. 若定义运算，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出的解析式，再分段求出函数的取值范围，即可得到函数的值域. 【详解】令，解得，所以， 当时，则在上单调递减，则， 即； 当时，则，即； 综上可得函数的值域为. 故选：C 7. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果. 【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示： 再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象， 故图②所示图象对应的函数为. 故选：D. 8. 若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析出的性质，将的零点数转化成函数的交点个数进行求解即可. 【详解】因为，则是周期为的周期函数， 又，所以在上的图象如图所示. 由的解析式可知，单调递增，； 在上单调递减，上单调递增，， 所以的图象如图所示. 令，将所求零点问题转化为函数交点问题， 则在上的交点个数即为所求零点个数. 如图所示，在时，有个交点，在时，有个交点， 综上共有个交点，即有个零点. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若α终边上一点的坐标为，则 B. 若角α为锐角，则2α为钝角 C. 若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 D. 若且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义判断A项；举反例排除B项；利用扇形的弧长与面积公式计算可判断C项；根据已知求出的值，即可得正切值判断D项. 【详解】对于A，因，则，则，故A错误； 对于B，当角α为锐角时，若，而 不是钝角，故B错误； 对于C，依题意，扇形的半径为，则该扇形的面积为，故C正确； 对于D，由①两边取平方，可得，化简得， 因，故，则， 由可得②， 联立①②，解得，故.故D正确. 故选：CD. 10. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AB；举反例判断CD. 【详解】根据，则，A正确； 由，又，则，B正确； 当时，，C错误； 当时，，D错误. 故选：AB 11. 已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的图象关于直线对称 B. a，b，c的大小关系是： C. 函数在区间上单调递减 D. 关于x的不等式解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及对称性，判断A；判断的单调性，可判断C；利用函数的单调性判断B；结合函数的对称性、单调性求解不等式，判断D. 【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于y轴对称， 则函数的图象关于直线对称，即，A正确； 因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确； 因为， 而，且函数在上单调递增，所以， 即，所以B错误； 由于函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减， 故可化为，即， 即，解得，即的解集为，D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用待定系数法代入点坐标，求出幂函数的解析式，再求的值. 【详解】设，由于图象过点, 得， ， ，故答案为3. 【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 13. 已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号. 所以，所以. 故答案为：. 14. 已知函数，如果恒成立，则的最小值为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据恒成立，推出，故，由函数单调性求出最小值. 【详解】当时，，即； 当时，，即． 所以当时，；当时，． 又函数连续且单调，需满足单调递增，且当时，，即． 故， 令，开口向上，对称轴为， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，， （1）求和； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集、补集运算求解； （2）分类讨论，根据子集关系列出不等式求解. 【小问1详解】 集合，，， ，． 【小问2详解】 ，，， 当时，，解得，成立； 当时，由，得：，解得． 综上，的取值范围是． 16. 已知函数． （1）求函数的定义域、值域． （2）判断函数的单调性、奇偶性并用定义证明． （3）画出函数图象． 【答案】（1）定义域为，值域为 （2）奇函数，在和上单调递增，证明见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据解析式求解定义域，分析函数值的取值情况确定值域； （2）计算，比较其与的关系即可判断奇偶性，再取值、作差、因式分解即可判断其单调性； （3）根据函数的零点，奇偶性，单调性及函数值的变化规律作出对应的函数草图即可. 【小问1详解】 解：要使函数有意义，则，即函数的定义域为, 当；；；， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 函数为奇函数，在和上单调递增，证明如下： 证明：奇偶性证明 设，定义域为，关于原点对称， ． 是奇函数． 单调性证明： 证明：，，且， 则． ，，，，， ，即． 在上为增函数． ，，且，则． ，，且， ，，． ，即． 在上为增函数． 【小问3详解】 解：令，解得，即函数的零点为， 故当时，；时，； 时，；时，； 又时，；当时，， 所以，当时图象在下方，时，函数图象在上方， 故结合以上函数性质，的大致图象如图所示： 17. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. （1）求常数和的值； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【小问1详解】 因为， 又，所以. 所以当时， 又因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为； 当时，， 此时 ， 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求的值. （3）在中，若，求取值范围. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式，二倍角公式和辅助角公式将函数化成正弦型函数，即可根据正弦型函数的性质求其周期和递增区间； （2）由条件推得，根据角的范围求出，利用拆角变换即可求出的值； （3）由及角的范围求得，利用三角形内角和，将所求式用的三角函数表示，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合角的范围与正弦函数的图象性质即可求出其范围. 【小问1详解】 ， 函数的最小正周期为 由，可得， 故函数的单调增区间为. 小问2详解】 由（1）已得，则， 因，则，故， 则 . 【小问3详解】 在中，， 因，可得， 故，解得，则， 故， 因，则，故， 则，即的取值范围为. 19. 已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分. （1）求实数的值； （2）当时，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由； （3）已知，若，当且仅当，求实数、的值. 【答案】（1）选①，或选②， （2）选①或选②，个 （3）选①，，；选②，， 【解析】 【分析】（1）若选①，由，结合对数的运算性质可求得实数的值；若选②，由，结合对数的运算性质可求得实数的值； （2）若选①或②，当时，求出函数的解析式，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论； （3）若选①或②，分、两种情况解不等式，根据其解集为，由此可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值. 【小问1详解】 若选①，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以； 若选②，因为的定义域为， 则由得， 对于任意都成立，所以. 【小问2详解】 若选①，当时，函数. 因为在上单调递减， 且在定义域上单调递增，所以在上单调递减， 又因为在定义域上单调递减， 所以函数在上单调递减. 又因为的图象连续不间断， 且，，则， 所以在区间上有唯一的零点. 若选②，（2）当时，函数. 因为在上单调递增， 在定义域上单调递增，所以在上单调递增， 又因为在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增. 又因为的图象连续不间断， 且，， 所以在区间上有唯一零点. 【小问3详解】 若选①，因为，若， 当且仅当，所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，解得， 所以，则，解得，； 若选②，因为，若，当且仅当， 所以在上的解集为，且. 由（1）知， 若，则，无解，舍去. 若，则，所以， 所以，所以，则， 解得，. 【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法： （1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果； （2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $