第六章 计数原理 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

章末归纳提升 第六章 计数原理 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 知识整合 思维导图 01 题型梳理 素养聚焦 02 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 知识整合 思维导图 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 题型梳理 素养聚焦 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 [题型梳理·素养聚焦] [考点一]　逻辑推理，数学运算——两个计数原理的应用 [例1] (1)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有(　　) A．90种　　　　　 B．180种 C．270种 D．540种 (2)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　) Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ A.144种 B．72种 C．64种 D．84种 解析：(1)D　法一：分两步，首先将3名医生派往3所学校，有Aeq \o\al(3,3)种，其次将6名护士派往3所学校，先从6名护士中任选2名派往第一所学校有Ceq \o\al(2,6)种方法，再从剩下的4名护士中选2名派往第二所学校有Ceq \o\al(2,4)种方法，最后把剩下的2名护士派往第三所学校有Ceq \o\al(2,2)种方法，故派护士共有Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)种方法，由分步乘法计数原理知，共有不同的分配方法 Aeq \o\al(3,3)Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝540(种).故选D. 法二：分两步：首先组成三个体检队，给第一名医生可配备2名护士，不同方法数为Ceq \o\al(2,6)；接着给第二名医生配备2名护士有Ceq \o\al(2,4)种方法；然后将剩下的2名护士配备给第三名医生，只有1种方法.因此，组成三个体检队，每队1医2护，不同的组队方法共有Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)＝90(种)，将3个体检队派往3所学校，每所学校1队，不同的分配方法有Aeq \o\al(3,3)种，由分步乘法计数原理知，共有不同的分配方法Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Aeq \o\al(3,3)＝540(种).故选D. 法三：分三步：首先选1名医生和2名护士去第一所学校，有Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(2,6)种.其次从剩下的人员中选1名医生和2名护士去第二所学校有Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(2,4)种方法；最后把剩下的1名医生和2名护士派往第三所学校，只有1种方法.由分法乘法计数原理知，共有不同的分配方法(Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(2,6))(Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(2,4))＝540(种).故选D. 法四：分四步：第一步，将3名医生分成3组，每组一人只有一种方法；第二步，将6名护士分成3组，每组2人，有eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))(种)分法(不是Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2))；第三步；将医生和护士搭配成3队，使每队有1医2护，有Aeq \o\al(3,3)种搭配方法；第四步，将所得三队分配到3所不同的学校，有Aeq \o\al(3,3)种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有不同分配方法eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq \o\al(3,3)·Aeq \o\al(3,3)＝540(种).故选D. (2)D　[根据所用颜色的种数分类，第一类：用4种颜色涂，有Aeq \o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24(种). 第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：有Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,4)Aeq \o\al(2,3)＝48(种). 第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有Aeq \o\al(2,4)＝4×3＝12(种).共有24＋48＋12＝84(种).故选D.] 1．利用两个计数原理解题，搞清两个原理的含义及区别，解题时，通过数学逻辑推理，知道证明题是利用哪个原理去解题，关键是分类还是分步，进而通过正确的数学运算求解. 2．综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步. [变式训练] 1．(1)2023年10月17日至18日，北京召开第三届“一带一路”国际合作高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同提问方式的种数为(　　) A．198 B．268 C．306 D．378 (2)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，那么这样不同的三位数共有　________　个.(用数字作答) (1)A　[分两种情况：若选两个国内媒体团，一个国外媒体团，有Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(1,3)Aeq \o\al(2,2)＝90(种)不同提问方式；若选两个国外媒体团、一个国内媒体团，有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,3)Aeq \o\al(3,3)＝108(种)不同提问方式，所以共有90＋108＝198种不同提问方式.故选A.] (2)解析：1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 分三类：①没有数字1和3时，有Aeq \o\al(3,4)个； ②只有1和3中的一个时，有2Aeq \o\al(2,4)个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(1,3)个.所以满足条件的三位数共有Aeq \o\al(3,4)＋2Aeq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(1,3)＝60(个). 答案：60 [考点二]　逻辑推理数学直观——排列、组合的应用 [例2] (1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有　________　种.(用数字作答) (2)在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. ①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ ②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ ③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 解析：(1)①只有1名老队员的排法有 Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(2,3)Aeq \o\al(3,3)＝36种. ②有2名老队员的排法有 Ceq \o\al(2,2)Ceq \o\al(1,3)Ceq \o\al(1,2)Aeq \o\al(2,2)＝12种. 所以共有 36＋12＝48(种). 答案：48 (2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有Aeq \o\al(7,7)＝5 040(种)方法；第二步，再松绑，给4个节目顺序，有Aeq \o\al(4,4)＝24(种)方法. 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)方法. ②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有Aeq \o\al(6,6)＝720(种)方法. ×□×□×□×□×□×□× 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于从7个“×”中选4个来排，一共有Aeq \o\al(4,7)＝840(种). 根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800(种). ③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有Aeq \o\al(12,12)种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有eq \f(A\o\al(12,12),A\o\al(10,10))＝Aeq \o\al(2,12)＝132(种)排法 1．处理排列组合应用题的一般步骤 (1)认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题. (2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”. 2．处理排列组合应用题的规律 (1)两种思路：直接法，间接法. (2)两种途径：元素分析法，位置分析法. 3．排列组合应用题的常见类型和解决方法 (1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略. (2)合理分类与准确分步的策略. (3)正难则反，等价转化的策略. (4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略. (5)元素定序，先排后除的策略. (6)排列、组合混合题先选后排策略. (7)复杂问题构造模型策略. [变式训练] 2．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在(1)中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？ 解：(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有Ceq \o\al(3,4)种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有Ceq \o\al(4,5)种取法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有Aeq \o\al(7,7)种排法.所以符合题意的七位数有Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(4,5)·Aeq \o\al(7,7)＝100 800(个). (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(4,5)·Aeq \o\al(5,5)·Aeq \o\al(3,3)＝14 400(个). (3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(4,5)·Aeq \o\al(3,3)·Aeq \o\al(4,4)·Aeq \o\al(2,2)＝5 760(个). (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空中，共有Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(4,5)·Aeq \o\al(4,4)·Aeq \o\al(3,5)＝28 800(个). [考点三]　数学运算　数学抽象——二项式定理及其应用 [例3] (1)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(i,\r(x))))n的展开式中第三项与第五项的系数之比为－eq \f(3,14)，其中i2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为(　　) A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 (2)已知x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9的值为　________　. (3)在(x＋eq \r(4,3)y)20的展开式中，系数为有理数的项共有　________　项. 解析：(1)C　[T3＝－Ceq \o\al(2,n)x2n－5，T5＝Ceq \o\al(4,n)x2n－10. 由－Ceq \o\al(2,n)∶Ceq \o\al(4,n)＝－eq \f(3,14)，得n2－5n－50＝0， 所以n＝10，又Tk＋1＝Ceq \o\al(k,10)(－i)kx20－eq \f(5,2)k，据此可知当k＝0,2,4,6,8,10时系数为实数，且当k＝4时，Ceq \o\al(4,10)＝210最大.故选C.] (2)解析：法一：所给等式即[1－(x＋1)]2＋[1－(x＋1)]10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9＋a10(x＋1)10，而“(x＋1)9”只能从[1－(x＋1)]10中产生，根据二项式定理，得a9＝－Ceq \o\al(9,10)＝－Ceq \o\al(1,10)＝－10. 法二：因为a9与x9的系数有关，等式左边x9的系数为0，所以等式右边x9的系数也为0. 因为x10的系数为a10＝Ceq \o\al(0,10)＝1，x9的系数为a9·Ceq \o\al(0,9)＋a10·Ceq \o\al(1,10)＝a9＋10＝0，所以a9＝－10. 答案：－10 (3)解析：Tr＋1＝Ceq \o\al(r,20)·3eq \f(r,4)x20－r·yr，其系数为Ceq \o\al(r,20)3eq \f(r,4)，当r＝0,4,8,12,16,20时，其系数为有理数，所以共有6项. 答案：6 1．区分“项的系数”与“二项式系数”.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正. 2．理解“常数项”，“有理数(字母指数为整数)”，“系数最大的项”等概念. 3．求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项. 4．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. [变式训练] 3．(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中x2 的系数为(　　) A．15 B．20 C．30 D．35 (2)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,3\r(x))))24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　) A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 (3)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2·(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为　________　. (1)解析：C　[(1＋x)6的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \o\al(r,6)xr，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2))).(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×Ceq \o\al(2,6)＋1×Ceq \o\al(4,6)＝30.] (2)解析：C　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,3\r(x))))24的展开式的通项为Tr＋1＝ Ceq \o\al(r,24)·(eq \r(x))24－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3\r(x))))r＝Ceq \o\al(r,24)x12－eq \f(5,6)r，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项.] (3)解析：令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5. 令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…a11＝－a0＝5. 答案：5 $