7.1.1 条件概率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦选择性必修第三册第七章“随机变量及其分布”，核心涵盖条件概率等基础知识点，通过课前预习学案导入，衔接前期概率知识，为随机变量的学习搭建认知支架，课堂互动学案进一步深化概念理解。 其亮点在于采用“课前预习 - 课堂互动 - 课后提升”三阶段设计，结合题型分类（如题型二、三、四）与便捷导航功能，以问题探究培养数学思维（推理能力），用学案与课时作业训练数学语言（模型观念），助力学生系统构建知识体系，也为教师提供结构化教学支持，提升教学效率。

7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 第七章 随机变量及其应用 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课后 素养提升 03 第七章 随机变量及其分布 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第七章 随机变量及其分布 选择性必修 第三册 课程标准 素养解读 1.在具体情境中，了解条件概率 2.掌握条件概率的计算方法 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 1.通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养 2.借助条件概率公式解题，提升数学运算素养 [情境引入] 高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． 问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ 问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？ [知识梳理] [知识点一]　条件概率 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称　P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)　为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 1.P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？ 提示：不同．P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同． 2．古典概型中的条件概率还可以怎样计算？ 提示：P(B|A)＝eq \f(nAB,nA.) [知识点二]　概率的乘法公式 对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则P(AB)＝P(A)·P(B|A)． 特例：当P(A)＞0，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)． [知识点三]　条件概率的性质 1．0≤P(B|A)≤1； 2．P(A|A)＝　1　； 3．如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝ 　P(B|A)＋P(C|A)　. 4．设eq \o(B,\s\up16(－))和B互为对立事件，则P(eq \o(B,\s\up16(－))|A)＝1－P(B|A)． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(×) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(×) (3)P(B|A)≠P(A∩B)．(√) 2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝eq \f(1,3)，P(A)＝eq \f(2,3)，则P(B|A)＝(　　) A.eq \f(1,2)　 　　 B.eq \f(2,9)　　 C.eq \f(1,9) D.eq \f(4,9) 解析：A　[由P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(1,3),\f(2,3))＝eq \f(1,2)，故选A.] 3．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是　________　. 解析：根据条件概率公式知P＝eq \f(0.4,0.8)＝0.5. 答案：0.5 利用定义求条件概率 [例1]一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率； (2)求P(B|A)． [思路点拨]　首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解． 解：由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)＝eq \f(2,5)， P(B)＝eq \f(2×1＋3×2,5×4)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)， P(A∩B)＝eq \f(2×1,5×4)＝eq \f(1,10). (2)P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(1,10),\f(2,5))＝eq \f(1,4). 1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(A∩B)； (3)代入公式求P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA). 2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，弄清楚P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系． [变式训练] 1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(　　) A.eq \f(1,2)　　　　 B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,9) 解析：A　[由题知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P(A)＝eq \f(1,2)，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P(AB)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，则P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2).] 利用基本事件个数求条件概率 [例2] 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解． 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝Aeq \o\al(2,6)＝30， 根据分步乘法计数原理n(A)＝Aeq \o\al(1,4)Aeq \o\al(1,5)＝20，于是P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3). (2)因为n(A∩B)＝Aeq \o\al(2,4)＝12，于是P(A∩B)＝eq \f(nA∩B,nΩ)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5). (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5). 法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝eq \f(nA∩B,nA)＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5). 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的． [变式训练] 2．一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)． 解：将产品编号为1,2,3号的看作一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，事件A有9种情况，事件AB有6种情况，P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(6,9)＝eq \f(2,3). 条件概率的综合应用 [例3]　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． [思路点拨]　(1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对； (2)利用互斥事件的条件概率公式求解． 解：设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(eq \o(A,\s\up6(－))1A2)表示不超过2次按对密码． (1)因为事件A1与事件eq \o(A,\s\up6(－))1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(eq \o(A,\s\up6(－))1A2)＝eq \f(1,10)＋eq \f(9×1,10×9)＝eq \f(1,5). (2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq \o(A,\s\up6(－))1A2)|B)＝eq \f(1,5)＋eq \f(4×1,5×4)＝eq \f(2,5). 1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． 2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． [变式训练] 3．在一个袋子中装有10个球，其中有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C. 则P(A)＝eq \f(1,10)，P(AB)＝eq \f(1×2,10×9)＝eq \f(1,45)，P(AC)＝eq \f(1×3,10×9)＝eq \f(1,30). 所以P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(1,45)÷eq \f(1,10)＝eq \f(2,9)，P(C|A)＝eq \f(PAC,PA)＝eq \f(1,30)÷eq \f(1,10)＝eq \f(1,3). 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq \f(2,9)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,9).所以所求的概率为eq \f(5,9). 利用乘法公式求概率 [例4]　一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求两次取到的均为黑球的概率． [思路点拨]　P(AB)＝P(A)P(B|A)，分别求P(A)和P(B|A)． 解：设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”．由题设知P(A1)＝eq \f(3,10)，P(A2|A1)＝eq \f(2,9)，于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝P(A1)P(A2|A1)＝eq \f(3,10)×eq \f(2,9)＝eq \f(1,15). 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)．P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解即可． [变式训练] 4．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为　________　. 解析：记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5. 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4. 答案：0.4 [当堂达标] 1．设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝eq \f(1,4)，P(B)＝eq \f(1,3)，则P(A|B)＝(　　) A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)　　　 C.eq \f(3,4)　　 　D.eq \f(4,3) 解析：C　[P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,3))＝eq \f(3,4).] 2．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是(　　) A.eq \f(1,5)　　 B.eq \f(3,10)　 　　C.eq \f(1,2)　 　　D.eq \f(1,3) 解析：A　[设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”， P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(0.03,0.15)＝eq \f(1,5)，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为eq \f(1,5).] 3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为　________　. 解析：记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72. 答案：0.72 4．分别用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是　________　. 解析：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B，则n(A)＝7. n(AB)＝4，所以P(B|A)＝eq \f(nAB,nA)＝eq \f(4,7). 答案：eq \f(4,7) 5．考虑恰有两个小孩的家庭． (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)． 解：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}． 设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}． A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}， B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}， 于是得(1)P(B)＝eq \f(3,4)，P(BA)＝P(A)＝eq \f(1,4)， 所以P(A|B)＝eq \f(PBA,PB)＝eq \f(1,3)； (2)P(B1)＝eq \f(1,2)，P(B1A)＝P(A)＝eq \f(1,4)， 所以P(A|B1)＝eq \f(PB1A,PB1)＝eq \f(1,2). $