6.3.1 二项式定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6．3　二项式定理 6．3.1　二项式定理 第六章 计数原理 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课后 素养提升 03 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养 [情境引入] 牛顿的故事 牛顿善于观察日常生活中的小事，结果取得了科学 史上一个个重要的发现.作为大学教授，牛顿常常忙得不 修边幅，往往不打领带，不系好鞋带和马裤的纽扣，就 走进了大学餐厅.有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又 开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理.他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去.牛顿也因此终生未娶.那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？ 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋Ceq \o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*)称为二项式定理 二项式 系数 各项系数Ceq \o\al(r,n)(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数 [知识梳理] [知识点一]　二项式定理及相关的概念 二项式 通项 Ceq \o\al(r,n)an－rbr是展开式中的第　r＋1　项，可记做Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)an－rbr(其中0≤r≤n，r∈N*，n∈N*) 二项展 开式 Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋Ceq \o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N*) [知识点二]　二项展开式的特点 1．展开式共有n＋1项. 2．各项的次数和都等于二项式的幂指数n. 3．字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. [知识点三]　通项中的注意点 1．Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项. 2．公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置. 3．要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题. 4．对二项式(a－b)n的展开式的通项要特别注意符号问题. 1.二项展开式中的项Ceq \o\al(r,n)an－rbr是第几项？ 提示：Ceq \o\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n的第r＋1项. 2．二项式中a，b能否交换位置，二项式(a＋b)n与(b＋a)n的展开式中第r＋1项是否相同？ 提示：不能，(a＋b)n的展开式中的第r＋1项为Ceq \o\al(r,n)an－rbr，(b＋a)n的展开式中的第r＋1项为Ceq \o\al(r,n)bn－rar，两者是有区别的，所以在应用二项式定理时，a和b不能随便交换位置. 3．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ 提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念. 二项式系数是指Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，…，Ceq \o\al(n,n)，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(　　) (2)(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5.(　　) (3)(a＋b)n的展开式中一定有常数项.(　　) 提示：(1)×　二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等，只有当a，b的系数都为1时两者相等. (2)√　(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5. (3)×　(a＋b)n的展开式中通项Ceq \o\al(r,n)an－rbr的次数不一定为0. 2．(x－eq \f(2,\r(x)))n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9　 B．10　　 C．11　　 D．8 解析：B　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,\r(x))))n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11， 故n＝10.] 3．二项式(1－2x)9的展开式中x6的系数为(　　) A．Ceq \o\al(6,9) B．－Ceq \o\al(6,9) C．Ceq \o\al(6,9)26 D．－Ceq \o\al(6,9)·26 解析：C　[二项式(1－2x)9＝Ceq \o\al(0,9)＋Ceq \o\al(1,9)(－2x)＋…＋Ceq \o\al(k,9)(－2x)k＋…＋Ceq \o\al(9,9)(－2x)9，其展开式中x6的系数为Ceq \o\al(6,9)(－2)6＝Ceq \o\al(6,9)26.] 4．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3＋\f(1,x)))6的展开式中，x6的系数是　________　. 解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3＋\f(1,x)))6的展开式的通项为 Tr＋1＝Ceq \o\al(r,6)(2x3)6－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))r＝26－rCeq \o\al(r,6)·x18－4r， 令18－4r＝6，解得r＝3， 所以x6的系数是23Ceq \o\al(3,6)＝160. 答案：160 二项式定理的正用、逆用 [例1] (1)用二项式定理展开eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2x2)))5； (2)化简：Ceq \o\al(0,n)(x＋1)n－Ceq \o\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq \o\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)rCeq \o\al(r,n)(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCeq \o\al(n,n). [思路点拨]　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开； (2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解. 解：(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2x2)))5＝Ceq \o\al(0,5)(2x)5＋Ceq \o\al(1,5)(2x)4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2x2)))1＋…＋Ceq \o\al(5,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2x2)))5 ＝32x5－120x2＋eq \f(180,x)－eq \f(135,x4)＋eq \f(405,8x7)－eq \f(243,32x10). (2)原式＝Ceq \o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq \o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq \o\al(2,n)(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Ceq \o\al(r,n)(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Ceq \o\al(n,n)(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 运用二项式定理的解题策略 1．正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. 2．逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式. [变式训练] 1．(1)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的展开式； (2)化简：1＋2Ceq \o\al(1,n)＋4Ceq \o\al(2,n)＋…＋2nCeq \o\al(n,n). 解：法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝Ceq \o\al(0,4)(3eq \r(x))4＋Ceq \o\al(1,4)(3eq \r(x))3·eq \f(1,\r(x))＋Ceq \o\al(2,4)(3eq \r(x))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq \o\al(3,4)(3eq \r(x))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq \o\al(4,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2). 法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq \f(3x＋14,x2) ＝eq \f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2). (2)原式＝1＋2Ceq \o\al(1,n)＋22Ceq \o\al(2,n)＋…＋2nCeq \o\al(n,n)＝(1＋2)n＝3n. 求展开式中的特定项 [例2] (1)(x－2y)7的展开式中的第4项为(　　) A．－280x4y3　　 B．280x4y3 C．－35x4x3 D．35x4y3 (2)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(3,3\r(x))))n的展开式中，第6项为常数项. ①求n； ②求含x2的项； ③求展开式中所有的有理项. [思路点拨]　eq \x(\a\al(写出通,项Tr＋1))→eq \x(\a\al(令r＝5，x,的指数为零))→eq \x(①求出n值)→eq \x(修正通项公式)→eq \x(②求x2项)→eq \x(考查x指数为整数)→eq \x(\a\al(分析求,出r值))→eq \x(\a\al(③写出,有理项)) (1)A　[(x－2y)7的展开式中的第4项为 T4＝Ceq \o\al(3,7)x4·(－2y)3＝(－2)3Ceq \o\al(3,7)x4y3＝－280x4y3.] (2)解：通项公式为 Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)xeq \f(n－r,3)(－3)rxeq \f(－r,3)＝Ceq \o\al(r,n)(－3)rxeq \f(n－2r,3). ①∵第6项为常数项， ∴r＝5时，有eq \f(n－2r,3)＝0，即n＝10. ②令eq \f(10－2r,3)＝2，得r＝eq \f(1,2)×(10－6)＝2， ∴所求的项为T3＝Ceq \o\al(2,10)(－3)2x2＝405x2. ③由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(10－2r,3)∈Z，,0≤r≤10，,r∈Z.)) 令eq \f(10－2r,3)＝k(k∈Z)， 则10－2r＝3k，即r＝5－eq \f(3,2)k. ∵r∈Z，∴k应为偶数， k＝2,0，－2，即r＝2,5,8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2. 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第r＋1项，Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)an－rbr； (2)求含xr的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项. 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 3．求二项展开式特定项的步骤 [变式训练] 2．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x的一次项； (2)展开式中所有的有理项. 解：(1)由已知可得Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)·eq \f(1,22)＝2Ceq \o\al(1,n)·eq \f(1,2)， 即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去). 所以，通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,8)(eq \r(x))8－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(4,x))))r＝Ceq \o\al(r,8)·2－r·x4－eq \f(3,4)r，令4－eq \f(3,4)r＝1，得r＝4. 所以含x的一次项为T5＝Ceq \o\al(4,8)2－4x＝eq \f(35,8)x. (2)令4－eq \f(3,4)r∈Z，且0≤r≤8，则r＝0,4,8， 所以展开式中所有有理项分别为T1＝x4， T5＝eq \f(35,8)x，T9＝eq \f(1,256x2). 求二项展开式特定项的有关系数 [例3] (1)(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5的展开式的常数项是(　　) A．－3　　 B．－2　　 C．2　　　 D．3 (2)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，x4的系数是　________　(用数字作答). [思路点拨]　(1)经分析可知， 常数项是由两部分构成的； (2)令x＝1可得各项系数的和，从而求出a； (3)先分析含x4的项的构成，再求解. 解析：(1)常数项由分别来自x2＋2，(eq \f(1,x2)－1)5的项组成，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)))5－r×(－1)r，则第一个因式取2，第二个因式取(－1)5，得2×(－1)5＝－2， 第一个因式取x2，第二个因式取eq \f(1,x2)，得1×Ceq \o\al(4,5)(－1)4＝5.因此，(x2＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)－1))5的展开式的常数项是5＋(－2)＝3. (2)含x4的项是由5个因式中，4个出x,1个出常数组成的，所以含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4，所以展开式中x4的系数是－15. 答案：(1)D　(2)－15 求特定项系数的思路与方法 对于几个多项式积的展开式中的求特定项系数的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏. 双通项法是解决此类问题的通法.所谓双通项法就是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中的一般项为Tr＋1Tk＋1＝Ceq \o\al(r,n)an－r(bx)rCeq \o\al(k,m)sm－k(tx)k＝Ceq \o\al(r,n)Ceq \o\al(k,m)an－rbrsm－k·tkxr＋k(注意这里含有xr＋k的项不一定只有一项), 再根据题目中对字母的指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而弄清r，k的取值情况，从而使问题顺利解决. [变式训练] 3．已知二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))10. (1)求展开式第四项的二项式系数； (2)求展开式第四项的系数. 解：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)－\f(2,3x)))10的展开式的通项是 Tr＋1＝Ceq \o\al(r,10)(3eq \r(x))10－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3x)))r ＝310－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))rCeq \o\al(r,10)xeq \f(10－3r,2)(r＝0,1，…，10). (1)展开式的第四项的二项式系数为Ceq \o\al(3,10)＝120. (2)展开式的第四项的系数为Ceq \o\al(3,10)·37eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))3＝ －77 760. 三项式的展开问题 [例4] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展开式中的常数项为　____________　(用数字作答). [思路点拨]　利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决. 解析：法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5在x＞0时可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x),\r(2))＋\f(1,\r(x))))10，因而展开式的通项Tr＋1＝Ceq \o\al(r,10) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))10－r·(eq \r(x))10－2r，则r＝5时为常数项，即Ceq \o\al(5,10)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))5＝eq \f(63\r(2),2).eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5在x＜0时可化为－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(－x),\r(2))－\f(1,\r(－x))))10， 所以展开式的通项Teq \o\al(',k＋1)＝－Ceq \o\al(k,10) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2)))))10－k·(－1)k·(eq \r(－x))10－2k， 令10－2k＝0，得k＝5，则展开式的常数项为－Ceq \o\al(5,10) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(2))))5(－1)5＝eq \f(63\r(2),2). 综上，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展开式的常数项为eq \f(63\r(2),2). 法二：原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋2\r(2)x＋2,2x)))5＝eq \f(1,32x5)·[(x＋eq \r(2))2]5＝eq \f(1,32x5)·(x＋eq \r(2))10. 求原展开式中的常数项，转化为求(x＋eq \r(2))10的展开式中含x5的项的系数，即Ceq \o\al(5,10)·(eq \r(2))5. 所以原展开式中的常数项为eq \f(C\o\al(5,10)·\r(2)5,32)＝eq \f(63\r(2),2). 法三：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5是5个三项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))相乘.常数项的产生有三种情况： ①在5个相乘的三项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))中，从其中1个三项式中取eq \f(x,2)，从另外4个三项式中选一个取eq \f(1,x)，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得Ceq \o\al(1,5)·eq \f(1,2)·Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(3,3)·(eq \r(2))3＝20eq \r(2)； ②在5个相乘的三项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))中，从其中2个三项式中取eq \f(x,2)，从另外3个三项式中选2个取eq \f(1,x)，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得Ceq \o\al(2,5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2·Ceq \o\al(2,3)·eq \r(2)＝eq \f(15\r(2),2)； ③从5个相乘的三项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))中都取常数相乘，可得Ceq \o\al(5,5)·(eq \r(2))5＝4eq \r(2). 综上，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展开式中的常数项为 20eq \r(2)＋eq \f(15\r(2),2)＋4eq \r(2)＝eq \f(63\r(2),2). 法四：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))＋\r(2)))5的通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,5)Ceq \f(k,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))5－k，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)))5－k的通项为 T'r＋1＝Ceq \o\al(r,5－k)x－rx5－k－r2－(5－k－r)＝Ceq \o\al(r,5－k)x5－2r－k2k＋r－5(0≤r≤5－k). 令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1，或k＝5，r＝0. 当k＝1，r＝2时，展开式中的项为Ceq \o\al(1,5)Ceq \o\al(2,4)2eq \f(1,2)2－2＝eq \f(15\r(2),2)； 当k＝3，r＝1时，展开式中的项为Ceq \o\al(3,5)Ceq \o\al(1,2)2eq \r(2)·2－1＝20eq \r(2)； 当k＝5，r＝0时，展开式中的项为Ceq \o\al(5,5)·4eq \r(2)＝4eq \r(2). 综上，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(1,x)＋\r(2)))5的展开式中的常数项为eq \f(15\r(2),2)＋20eq \r(2)＋4eq \r(2)＝eq \f(63\r(2),2). 答案：eq \f(63\r(2),2) 三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性简捷性. [变式训练] 4．(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．10　　 B．20　　　 C．30　　　 D．60 (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)－4))4的展开式中的常数项是(　　) A．352 B．－352 C．1 120 D．－1 120 解析：(1)C　[法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝Ceq \o\al(2,5)(x2＋x)3·y2. (x2＋x)3中含x5的项为Ceq \o\al(1,3)x4·x＝Ceq \o\al(1,3)x5. 所以x5y2的系数为Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(1,3)＝30.故选C. 法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(2,3)Ceq \o\al(1,1)＝30.故选C.] (2)C　[法一：原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))－4))4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))4＋Ceq \o\al(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))3(－4)＋ Ceq \o\al(2,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))2·(－4)2＋Ceq \o\al(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x2＋\f(1,x2)))(－4)3＋(－4)4，所以其常数项为Ceq \o\al(2,4)42＋Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(1,2)4(－4)2＋(－4)4＝1 120. 法二：原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))2))4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,x)))8. Tk＋1＝Ceq \o\al(k,8)(2x)8－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))k＝(－1)k28－kCeq \o\al(k,8)x8－2k， 由8－2k＝0，得k＝4， 所以常数项为(－1)4×24Ceq \o\al(4,8)＝1 120.] [当堂达标] 1．(x＋1)n的展开式共12项，则n等于(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：C　[由n＋1＝12，可知n＝11.] 2．(y－2x)8的展开式中的第6项的二项式系数是(　　) A．Ceq \o\al(6,8) B．Ceq \o\al(5,8)(－2)5 C．Ceq \o\al(5,8) D．Ceq \o\al(6,8)(－2)6 解析：C　[由题意可知第6项的二项式系数为Ceq \o\al(5,8).] 3．(1－x)10的展开式中第7项为　________　. 解析：T7＝Ceq \o\al(6,10)(－x)6＝210x6. 答案：210x6 4．已知二项式(x＋a)5的展开式中，x2项的系数为80，则a＝　________　. 解析：Ceq \o\al(3,5)x2a3＝80x2⇒a＝2. 答案：2 5．求二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,x)))6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数. 解：(1)由已知得二项展开式的通项为 Tr＋1＝Ceq \o\al(r,6)(2eq \r(x))6－r.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝(－1)rCeq \o\al(r,6)·26－r·x3－eq \f(3,2)r ∴T6＝－12x－eq \f(9,2)，∴第6项的二项式系数为Ceq \o\al(5,6)＝6. 第6项的系数为Ceq \o\al(5,6)·(－1)·2＝－12. $