6.2.3-6.2.4 第2课时 组合数的性质及应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6．2.3　组合 6．2.4　组合数 第六章 计数原理 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课后 素养提升 03 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课程标准 素养解读 1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题 2.能解决无限制条件的组合问题 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和数学运算的素养 [情境引入] 新高考改革后，在取消文理分科后，全国大多数地区实行“3＋1＋2”模式，即语、数、外三科为国家统考，所有考生必选，然后从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治和地理中任选2科参加高考.选科前大家普遍认为，传统的“大文大理”(即“数理化”“政史地”组合)还依然是主流，那么选考的组合方式一共有多少种可能的情况？ 问题：其中选物理不选历史和选历史不选物理的情况又分别有多少种？ [知识梳理] [知识点一]　组合数公式 Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝　eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)　 ＝　eq \f(n！,m！n－m！)　(n，m∈N*，m≤n).特别地，Ceq \o\al(0,n)＝Ceq \o\al(n,n)＝1. [知识点二]　组合应用题的解法 1．无限制条件的组合应用题的解法步骤为：一、判断；二、转化；三、求值；四、作答. 2．有限制条件的组合应用题的解法 常用解法有：直接法、间接法.可将条件视为特殊元素或特殊位置，一般地按从不同位置选取元素的顺序分步，或按从同一位置选取的元素个数的多少分类. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)Ceq \o\al(1,m)＋Ceq \o\al(2,m)＝Ceq \o\al(3,m＋1)(m≥2且m∈N*).( × ) (2)从4名男生3名女生中任选2人，至少有1名女生的选法共有Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,6)种.( × ) (3)把4本书分成3堆，每堆至少一本，共有Ceq \o\al(2,4)种不同分法.( √ ) 2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益活动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有(　　) A．25种　　　　　 B．35种 C．820种 D．840种 解析：A　[分3类完成：男生甲参加，女生乙不能参加，有Ceq \o\al(3,5)种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有Ceq \o\al(3,5)种选法；两人都不参加，有Ceq \o\al(4,5)种选法，所以共有2Ceq \o\al(3,5)＋Ceq \o\al(4,5)＝25(种)不同的选派方案.] 3．从5名学生中选3人参加会议，共有选法　____________　种. 解析：这是一个从5人中选3人的组合问题，有Ceq \o\al(3,5)＝10(种). 答案：10 有限制条件的组合问题 [例1] 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，现从中选出3名同学参加活动. (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ (5)至多有2名女生在内，不同的选法有 [思路点拨]　可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有” “至少” 等字眼，使用两个计数原理解决. 解：(1)从余下的34名学生中选取2名， 有Ceq \o\al(2,34)＝561(种)，∴不同的选法有561种. (2)从34名可选学生中选取3名，有Ceq \o\al(3,34)种， 或者Ceq \o\al(3,35)－Ceq \o\al(2,34)＝Ceq \o\al(3,34)＝5 984(种). ∴不同的选法有5 984种. (3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)＝2 100(种). ∴不同的选法有2 100种. (4)选取2名女生有Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)种，选取3名女生有Ceq \o\al(3,15)种，共有Ceq \o\al(1,20)Ceq \o\al(2,15)＋Ceq \o\al(3,15)＝2 100＋455＝2 555(种).∴不同的选法有2 555种. (5)选取3名的总数有Ceq \o\al(3,35)，至多有2名女生在内的选取方式有Ceq \o\al(3,35)－Ceq \o\al(3,15)＝6 545－455＝6 090(种). ∴不同的选法有6 090种. 求解有限制条件的组合问题的方法 1．“含”或“不含”某些对象的组合问题：“含”，则先将这些对象取出，再取其他对象；“不含”，则先将这些对象剔除，再从剩下的对象中去选取. 2．“至少”或“至多”含有几个对象的组合问题：解这类题必须十分重视“至少” 与 “至多”这两个关键词的含义，防止重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解此类问题，当用直接法处理较复杂时，可考虑用间接法处理. [变式训练] 1．有4名男生，5名女生. (1)从中选5名代表，要求男生2名，女生3名，且某女生必须在内，有多少种选法？ (2)从中选5名代表，要求男生不少于2名，有多少种选法？ (3)分成甲、乙、丙三组，每组3人，有多少种分法？ 解：(1)选2名男生，有Ceq \o\al(2,4)种选法；选3名女生，且某女生必须在，有Ceq \o\al(2,4)种选法. 所以符合条件的不同选法有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(2,4)＝36(种). (2)方法一(直接法)：符合条件的选法有三类： 第1类，2名男生，3名女生的选法有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(3,5)种； 第2类，3名男生，2名女生的选法有Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(2,5)种； 第3类，4名男生，1名女生的选法有Ceq \o\al(4,4)·Ceq \o\al(1,5)种； 所以男生不少于2名的不同选法有Ceq \o\al(2,4)·Ceq \o\al(3,5)＋Ceq \o\al(3,4)·Ceq \o\al(2,5)＋Ceq \o\al(4,4)·Ceq \o\al(1,5)＝105(种). 方法二(排除法)：因为从9名学生中，选5名代表的选法共有Ceq \o\al(5,9)种，其中包括1男4女和5女0男两种不符合条件的情况， 所以男生不少于2名的不同选法有Ceq \o\al(5,9)－Ceq \o\al(1,4)·Ceq \o\al(4,5)－Ceq \o\al(5,5)＝105(种). 故共有105种不同的选法. (3)先安排甲组有Ceq \o\al(3,9)种分法，再安排乙组有Ceq \o\al(3,6)种分法，余下的学生为丙组有Ceq \o\al(3,3)种分法. 所以符合条件的不同分法有Ceq \o\al(3,9)·Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(3,3)＝1 680(种). 故共有1 680种不同分法. 分组，分配问题 [例2] 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本， 一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本. [思路点拨]　(1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取；(2)是“均匀分组问题”；(3)是分组问题，分三步进行；(4)分组后再分配；(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型”“1、1、4型”. 解：(1)根据分步乘法计数原理得到Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝90(种). (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有Aeq \o\al(3,3)种方法.根据分步乘法计数原理可得：Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝xAeq \o\al(3,3)，所以x＝eq \f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法. (3)这是“不均匀分组”问题，一共有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(3,3)＝ 60(种)方法. (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝360(种)方法. (5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”，即(1)中的分配情况，有Ceq \o\al(2,6)Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(2,2)＝90(种)方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有Ceq \o\al(1,6)Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝360(种)方法；③“1,1,4型”，有Ceq \o\al(4,6)Aeq \o\al(3,3)＝90(种)方法. 所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法. 分组、分配问题的求解策略 1．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种. (1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等； (2)部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n！； (3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. 2．分配问题属于“排列”问题. 分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 2．将5名哈尔滨亚冬会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　) A．60种　 　　　 B．120种 C．240种 D．480种 解析：C　[平均分组问题.先分组有eq \f(C\o\al(2,5)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(3,3))＝10(种)，再排序有10Aeq \o\al(4,4)＝240(种).] 与几何有关的组合应用题 [例3] 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ [思路点拨]　根据几何图形寻找规律，防止重复和遗漏. 解：(1)法一：可作出三角形Ceq \o\al(3,6)＋Ceq \o\al(1,6)·Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(2,6)·Ceq \o\al(1,4)＝116(个). 法二：可作出三角形Ceq \o\al(3,10)－Ceq \o\al(3,4)＝116(个)， 其中以C1为顶点的三角形有Ceq \o\al(2,9)＝36(个). (2)可作出四边形Ceq \o\al(4,6)＋Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(1,6)＋Ceq \o\al(2,6)·Ceq \o\al(2,6)＝360(个). 1．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. 2．在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决. [变式训练] 3．平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线. (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 解：法一：(直接法)，共线的4点记为A，B，C，D. (1)第一类：A，B，C，D确定1条直线； 第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定Ceq \o\al(2,5)条直线； 第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(1,5)条直线. 根据分类加法计数原理，共有不同直线1＋Ceq \o\al(2,5)＋Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(1,5)＝1＋10＋20＝31(条). (2)第一类：从A，B，C，D中取2个点，可得Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(1,5)个三角形； 第二类：从A，B，C，D中取1个点，可得Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,5)个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得Ceq \o\al(3,5)个三角形. 共有Ceq \o\al(2,4)Ceq \o\al(1,5)＋Ceq \o\al(1,4)Ceq \o\al(2,5)＋Ceq \o\al(3,5)＝80(个)三角形. (3)分三类：从其余5个点中任取4个，3个，2个点共得 Ceq \o\al(4,5)＋Ceq \o\al(3,5)Ceq \o\al(1,4)＋Ceq \o\al(2,5)Ceq \o\al(2,4)＝105(个)四边形. 法二：(间接法)： (1)可确定直线Ceq \o\al(2,9)－Ceq \o\al(2,4)＋1＝31(条). (2)可确定三角形Ceq \o\al(3,9)－Ceq \o\al(3,4)＝80(个). (3)可确定四边形Ceq \o\al(4,9)－Ceq \o\al(4,4)－Ceq \o\al(3,4)Ceq \o\al(1,5)＝105(个). 排列、组合综合问题 [例4] 有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表. [思路点拨]　“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑. 解：(1)先取后排，先取可以是2女3男，也可以是1女4男，有Ceq \o\al(3,5)Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(4,5)Ceq \o\al(1,3)种取法，后排有Aeq \o\al(5,5)种，故共有(Ceq \o\al(3,5)Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(4,5)Ceq \o\al(1,3))·Aeq \o\al(5,5)＝5 400(种). (2)除去该女生后，先取后排，有Ceq \o\al(4,7)·Aeq \o\al(4,4)＝840(种). (3)先取后排，但先安排该男生，有Ceq \o\al(4,7)·Ceq \o\al(1,4)·Aeq \o\al(4,4)＝3 360(种). (4)先从除去该男生和该女生的6人中选3人有Ceq \o\al(3,6)种，再安排该男生有Ceq \o\al(1,3)种，其余3个全排有Aeq \o\al(3,3)种，共Ceq \o\al(3,6)·Ceq \o\al(1,3)·Aeq \o\al(3,3)＝360(种). 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则 1．按事情发生的过程进行分步； 2．按元素的性质进行分类，解决时通常从三个途径考虑； (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列或组合数. [变式训练] 4．为丰富同学们的劳动体验，增强劳动技能，认识到劳动最光荣、劳动最伟大，高二年级在社会实践期间开展“打埂作畦”“移苗定植”“挑水浇园”“插架”四项劳动技能比赛项目.某宿舍8名同学积极参加，若每名同学必须参加且只能参加1个项目，且每个项目至多三人参加，则这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为(　　) A．2730 B．10080　 C．20160　 D．40320 解析：B　[分两种情况根据分组与分配问题的求解方法求解即可.若没有人参加“打埂作畦”，则有eq \f(C\o\al(3,8)C\o\al(3,5)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))·Aeq \o\al(3,3)＝1 680种不同的方法，若有一人参加“打埂作畦”，则有 Ceq \o\al(1,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C\o\al(3,7)C\o\al(3,4)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·A\o\al(3,3)＋\f(C\o\al(2,7)C\o\al(2,5)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))·A\o\al(3,3)))＝8 400种不同的方法，所以这8个人中至多有1人参加“打埂作畦”的不同参加方法数为1 680＋8 400＝10 080.] [当堂达标] 1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为(　　) A．120 B．84 C．52 D．48 解析：C　[间接法：Ceq \o\al(3,8)－Ceq \o\al(3,4)＝52(种).] 2．5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有(　　) A．Aeq \o\al(4,5)种 B．45种 C．54种 D．Ceq \o\al(4,5)种 解析：D　[由于4张同样的参观券分给5个代表，每人最多分一张，从5个代表中选4个即可满足，故有Ceq \o\al(4,5)种.] 3．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同的获奖情况有　________　种.(用数字作答) 解析：一、二、三等奖，三个人获得，有Aeq \o\al(3,4)＝24(种).一、二、三等奖，有一个人获得2张，一个人获得1张，共有Ceq \o\al(2,3)Aeq \o\al(2,4)＝36(种)，共有24＋36＝60(种)不同的获奖情况. 答案：60 4．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成　______　个三角形. 解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是：正六边形过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为Ceq \o\al(3,7)－3＝32. 答案：32 5．2024年4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛(淮安站)盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：(用数字表示) (1)4人均来自不同学校有多少种安排； (2)4人中有男有女同学的有多少种安排； (3)若4人已经选出，请分别解答下列两个问题 ①4名同学不相邻； ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧. 解析：(1)根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，有Ceq \o\al(4,6)Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,2)Ceq \o\al(1,2)＝240种安排方法； (2)根据题意，在12人中选出4人，有Ceq \o\al(4,12)种排法，其中只有男生的选法有Ceq \o\al(4,6)种，只有女生的选法有Ceq \o\al(4,6)种，则4人中有男有女有Ceq \o\al(4,12)－2Ceq \o\al(4,6)＝495种－30种＝465种， (3)①根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，则有Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(4,4)＝144种安排方法； ②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况即可，有Aeq \o\al(6,6)－2Aeq \o\al(2,3)Aeq \o\al(4,4)＝432种排法. 答案：(1)240　(2)465　(3)①144；②432 $