6.2.1-6.2.2 第1课时 排列与排列数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教A版）

6．2　排列与组合 6．2.1　排列 6.2.2 排列与排列数 第六章 计数原理 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 01 课堂 互动学案 02 课后 素养提升 03 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课时作业 点击进入WORD链接 下一页 上一页 返回导航 第六章 计数原理 数学 选择性必修 第三册 课程标准 素养解读 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列 2.会用排列数公式进行求值和证明 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运算的素养 [情境引入] 教师节当天，市委领导到学校考察，听完一节课后与老师们座谈，有12位教师参加，面对市委领导坐成一排. 问题：这12位老师的坐法共有多少种？ [知识梳理] [知识点一]　排列的概念 1．一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照　一定的顺序　排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列. 2．特别地，　m＝n　时的排列(即　取出所有对象　的排列)称为全排列. 3．排列中元素所满足的两个特性 (1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题. (2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列.检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序. 3．两个排列相同的条件是什么？ 提示：两个排列相同则应具备排列的对象及排列的顺序均相同. 1.排列中“一定顺序”的含义是什么？ 提示：一定顺序就是指排列中的元素与位置有关，当位置不同时排列也就不同. 2．排列定义中的两个要素是什么？ 提示：一是“取出不同的元素”，二是“将元素按一定顺序排列”. [知识点二]　排列数及排列数公式 排列数 的定义 从n个不同对象中取出m个对象的　所有排列　的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数 排列数 的表示 Aeq \o\al(m,n)(n，m∈N，m≤n) 排列 数公式 乘积式 Aeq \o\al(m,n)＝　n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 阶乘式 Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,n－m！) 阶乘 Aeq \o\al(n,n)＝　n×(n－1)×(n－2)×…×2×1 ＝　n！　 规定 0！＝　1　，Aeq \o\al(0,n)＝　1 　4.“排列”与“排列数”是两个相同的概念吗？如果不是，它们有什么区别？ 提示： “排列”与“排列数”是两个不同的概念.“排列”是指“按照一定的顺序排成一列”，所谓排成一列，是指与顺序有关，例如排列AB与排列BA是不同的，可以把一个排列看成一个类似点坐标的有序数对，它不是一个数，而是完成一件事的方法. “排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数.如A，B，C三名同学站成一排照相留念的排列有以下6种形式：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA.这里的每一种形式都是一个排列，而排列数是6. [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”). (1)a，b，c与b，a，c是同一个排列.(×) (2)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列.(×) (3)同一个排列中，同一个元素不能重复出现.(√) (4)在同一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.(×) 2．89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A．Aeq \o\al(10,100)　 B．Aeq \o\al(11,100)　 C．Aeq \o\al(12,100)　　 D．Aeq \o\al(13,100) 解析：C　[Aeq \o\al(12 ,100)＝100×99×98×…×(100－12＋1)＝100×99×98×…×89.] 3．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有(　　) A．3种 B．4种 C．6种 D．12种 解析：C　[由排列的定义可知，共有Aeq \o\al(3,3)＝3×2×1＝6(种)排列方法.] 4. eq \f(A\o\al(3,4),5！)＝　________　. 解析：eq \f(A\o\al(3,4),5！)＝eq \f(4×3×2,5×4×3×2×1)＝eq \f(1,5). 答案：eq \f(1,5) 排列概念的理解 [例1] 判断下列问题是不是排列问题，并说明理由. (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上. [思路点拨]　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关.若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题. 解：(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中. (2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分. (3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求. (4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列. (5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生. 1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”. 2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题. [变式训练] 1．判断下列问题是不是排列问题： (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？ 解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题. (2)因为从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题. (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题. 所以(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题. “树形图”在简单排列中的应用 [例2] 写出下列问题的所有排列. (1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？ (2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列. [思路点拨]　(1)直接列举数字. (2)先画树形图，再结合树形图写出. 解：(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数. (2)由题意作树形图，如图. 故所有的排列为：abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb，共有24个. 利用“树形图”法解决简单排列 问题的适用范围及策略 1．适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式. 2．策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列. [变式训练] 2．四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来. 解：先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步乘法计数原理，有4×3×2×1＝24(种). 画出树形图： 由“树形图”可知，所有坐法为 ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 排列数公式的推导及应用 [例3] (1)计算：eq \f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))； (2)求3Aeq \o\al(x,8)＝4Aeq \o\al(x－1,9)中的x. [思路点拨]　(1)可直接运算，也可采用阶乘式；(2)借助阶乘式求解，注意x的范围. 解：(1)法一：eq \f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq \f(5A\o\al(4,9)＋A\o\al(4,9),50A\o\al(4,9)－10A\o\al(4,9))＝eq \f(5＋1,50－10)＝eq \f(3,20). 法二：eq \f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))＝eq \f(\f(9！,4！)＋\f(9！,5！),\f(10！,4！)－\f(10！,5！))＝eq \f(5×9！＋9！,5×10！－10！)＝eq \f(6×9！,4×10！)＝eq \f(3,20). (2)原方程3Aeq \o\al(x,8)＝4Aeq \o\al(x－1,9)可化为eq \f(3×8！,8－x！)＝eq \f(4×9！,10－x！)， 即eq \f(3×8！,8－x！)＝eq \f(4×9×8！,10－x9－x8－x！)，化简， 得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13. 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－1≤9，))解得x≤8. 所以原方程的解为x＝6. 1．排列数公式的连乘形式常用于计算具体的排列数. 2．排列数公式的阶乘形式主要有两个作用： ①当m、n较大时，使用计算器快捷地算出结果； ②对含有字母的排列数的式子进行变形. 注意常用变形Aeq \o\al(n,n)＝nAeq \o\al(n－1,n－1)，nAeq \o\al(n,n)＝Aeq \o\al(n＋1,n＋1)－Aeq \o\al(n,n)，n·n！＝(n＋1)！－n！的应用. 3．计算排列数或解含有排列数的方程或不等式时，要注意先提取公因式进行化简，然后计算，这样做可以减少运算量.Aeq \o\al(m,n)中隐含了如下条件：m，n∈N*，m≤n，Aeq \o\al(m,n)的运算结果为正整数.在解与排列数有关的方程或不等式时，要注意未知数的取值范围. [变式训练] 3．(1)eq \f(A\o\al(6,7)－A\o\al(5,6),A\o\al(4,5))等于(　　) A．12　 B．24　　 C．30　 D．36 (2)Aeq \o\al(m,12)＝9×10×11×12，则m等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：(1)D　[Aeq \o\al(6,7)＝7×6×Aeq \o\al(4,5)，Aeq \o\al(5,6)＝6×Aeq \o\al(4,5)，所以原式＝eq \f(36A\o\al(4,5),A\o\al(4,5))＝36.] (2)B　[根据公式Aeq \o\al(m,n)＝n×(n－1)×(n－2)×…×(n－m＋1)知，m＝4.] 1．从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的运算有(　　) A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 解析：B　[因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.] 2．设n∈N＋，且n<19，则(19－n)·(20－n)……(2 024－n)等于(　　) A．Aeq \o\al(2 005,2 024－n) B．Aeq \o\al(2 006－n,2 024－n) C．Aeq \o\al(19,2 024－n) D．Aeq \o\al(2 006,2 024－n) 解析：D　[先确定最大数，即2 024－n，再确定因数的个数，即(2 024－n)－(19－n)＋1＝2 006，所以原式可写为Aeq \o\al(2 006,2 024－n).] 3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为(　　) A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 B．甲乙，丙乙，丙甲 C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 D．甲乙，甲丙，乙丙 解析：C　[用枚举法，一一列出.] 4．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有　________种　. 解析：Aeq \o\al(2,4)＝4×3＝12. 答案：12 5．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有　________　种.(填数字) 解析：司机、售票员各有Aeq \o\al(3,3)种安排方法，由分步乘法计数原理知，共有Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(3,3)＝36(种)不同的安排方法. 答案：36 $