19.2 二次根式的乘法与除法 预习讲义 ——2025-2026学年人教版八年级数学下册

本讲义聚焦二次根式的乘法法则、除法法则及最简二次根式核心知识点，通过“发现之旅”从算术特例归纳法则，结合法则辨析、典例精析（如正方形面积计算、单摆周期问题）和递进训练，构建从具体到抽象的学习支架，衔接算术平方根基础与后续复杂运算。 该资料突出核心素养培养，以跨学科情境（物理单摆周期、珠江口咸潮预警）和项目式学习（校园劳动基地规划）为载体，发展抽象能力与模型意识。典例设计注重推理能力训练，同步练习涵盖基础与综合应用，课中辅助教师引导探究，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用与思维发展。

19.2 二次根式的乘法与除法（同步预习讲义） 2025-2026学年八年级数学人教2024版下册 【学习目标】 · 法则理解：从算术特例归纳出二次根式的乘、除法法则，理解其合理性及成立条件。 · 运算掌握：熟练运用法则进行计算，并能逆向运用进行变形。 · 化简应用：理解“最简二次根式”的两条标准，能利用乘除运算对二次根式进行化简。 · 思维发展：在真实项目与跨学科情景中，体会二次根式运算的价值，发展建模与推理能力。 【知识点一】乘法法则：从“算术”到“代数”的推广 1. 发现之旅：归纳与猜想 回顾已知的算术平方根计算： （1） × = ， ； （2） × = ， ； （3） × = ， 。 观察以上结果，你能猜想一个一般性的规律吗？ 【答案】（1）2、3、6，6；（2）4、5、20，20；（3）6、7、42，42。 猜想：当 ，时，。 这个猜想就是二次根式的乘法法则。 2. 法则阐述与辨析 · 文字语言：两个非负二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 · 符号语言： (，)。 · 理解要点： (1) 法则的合理性：源于算术平方根的定义和实数乘法的运算律。 (2) 成立的前提：，。这是法则的一部分，不能省略。 (3) 法则的逆用： (，)，这是化简的重要依据。 3. 典例精析 例1（数形结合）两个正方形的面积分别为 8 cm² 和 18 cm²。求这两个正方形的边长，并计算由它们拼成的一个长方形的面积。 【考查点】：乘法法则的几何意义与简单应用。 【解析】：边长： (cm)； (cm)。若以cm 为宽，cm 为长，则长方形面积 = × 。 解法一（先乘后化简）：(cm²)。 解法二（用法则）：(cm²)。 【答案】12 cm²。 4. 举一反三（递进训练） 题1（概念辨析型）判断下列运算是否正确，并说明理由： （1）； （2）； （3）（，为实数）。 【考查点】：乘法法则的成立条件与逆用。 【解析】：（1）错误。乘法法则的前提是，。 此处 ，，法则不适用。尽管结果数值为6，但运算过程是错误的。 （2）正确。符合法则的逆用： (，)。此处 ≥0， ≥0。 （3）错误。缺少条件。正确结论应为。仅当已知 ≥0 时，才可化简为 。 题2（条件求解型） 已知 成立。 （1）求实数 的取值范围。 （2）分别求出当 取（1）中范围内的最小整数和最大整数时， 的值。 【考查点】：法则成立条件的综合运用（双重非负性），并结合简单最值分析。 【解析】：（1）为使两个二次根式同时有意义，需满足：≥0 且 ≥0， 解得 2≤≤3。这就是 的取值范围。 （2）在 2≤≤3 范围内： 最小整数为，此时； 最大整数为，此时。 【答案】（1）2≤≤3；（2）当时，值为；当时，值为。 题3（方案设计与实际应用） 某园艺师要为一块长方形花坛安装围栏。花坛的长为米，面积为15平方米。 （1）求该花坛的宽。 （2）围栏的价格为每米10元。请估算购买围栏的总费用大约是多少元。 （已知，，结果保留到整数） 【考查点】：二次根式的除法、乘法法则在实际问题中的综合应用，以及近似计算。 【解析】：（1）设花坛的宽为米。根据长方形面积公式：， ∴（米）。 （2）先计算花坛的周长（长×宽）米。总费用周长×单价 元。代入近似值计算：，，，∴（元）。保留整数，约为元。 【答案】（1）宽为3米；（2）总费用约为330元。 【知识点二】除法法则：类比与迁移 1. 发现之旅：类比猜想 我们通过类比乘法法则来猜想除法法则。请先计算下列平方根的商： （1） = ， ； （2） = ， ； （3） = ， 。 观察以上结果，你能猜想一个一般性的规律吗？ 【答案】（1）3、2、1.5，1.5；（2）6、3、2，2；（3）7、4、1.75，1.75。 猜想：当 ≥0，> 0 时，。 这就是二次根式的除法法则。 2. 法则阐述与辨析 · 符号语言：(，) 。 · 理解要点： （1）条件差异：分母 必须大于0，因为 不仅是被开方数的一部分，也是除数。 （2）商的算术平方根：该法则也常表述为“商的算术平方根等于算术平方根的商”。 （3）法则的逆用： (，)，常用于将被开方数中含有分母的根式化简。 3. 典例精析 例2（物理情境） 在物理中，单摆的周期公式为 T = 2π，其中 是摆长，g 是重力加速度。若测得一个摆长为 5 m 的单摆周期 T 为 π 秒，求当地重力加速度 g 的近似值（保留根号，π 视为已知量）。 【考查点】：除法法则在公式变形中的应用。 【解析】：由 T = 2π 得 ，两边平方： = ，所以 g = 。 代入L = 5 (m)， T = π (s)，得g = = = 10 (m/s²)。 【答案】g = 10 m/s²。 4. 举一反三 题4（概念理解与判断） 判断下列计算是否正确，并说明理由： （1） ；（2）。 【考查点】：除法法则的直接应用与成立条件；性质 的运用。 【解析】：（1）正确。应用除法法则：。 （2）错误。第一步就错了。正确计算应为： 。 原式错误原因在于错误地认为，实际上应为。 题5（条件推理与化简求参） 若式子有意义，且其化简结果为，求 的值。 【考查点】：除法法则的逆向运用；二次根式有意义的条件；解分式方程。 【解析】：第一步：由式子有意义，可得：且>（分母的根式需为正）， 解得 且>，所以 >。 第二步：对式子应用除法法则进行化简：。 已知化简结果为，即，两边平方得：， 去分母得：，解得：。 第三步：验证是否满足 的条件。 2.5 > 1 ，满足。 【答案】。 题6（实际应用与代数求值） 一款手机APP在传输数据时，其瞬时速率 （单位：MB/s）与网络信号强度 的关系可近似表示为 ，其中 为常数。当信号强度为时，速率为MB/s。 （1）求常数 的值。 （2）当信号强度提升至 时，求此时的瞬时速率。 【考查点】：除法法则在公式中的应用；已知数值求解参数并进行计算。 【解析】（1）将，代入公式，得：，解得。 （2）将和代入公式，得：（MB/s）。 【答案】：（1） ；（2） MB/s。 【知识点三】最简二次根式：运算的“标准答案” 1. 概念阐述 · 定义：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 被开方数中不含分母。 · 意义：最简形式是二次根式运算结果的“标准答案”，保证了表达式的简洁和统一。 2. 化简方法 · 类型一：被开方数是整数。如化简 。 。 · 类型二：被开方数是分数（或含分母）。如化简 。 。 · 核心思想：利用 和乘除法则，将根号内能“开出来”的因数和分母全部“请出来”。 3. 典例精析 例3（综合化简） 化简：。 【考查点】：小数化分数，以及化简含分母的二次根式。 【解析】： 【答案】。 4. 举一反三 题7（概念直接应用） 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【考查点】：最简二次根式两个判定标准的直接识别。 【解析】：A选项：，被开方数含分母，不是。 B选项：被开方数含分母，不是。 C选项：，被开方数含能开得尽方的因数9，不是。 D选项：被开方数7是质数，不含分母，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式。 【答案】D 题8（基础化简运算） 化简：（1）； （2） ； （3）（ ）。 【考查点】：对数字、分数、含字母式子进行最简化简的基本技能。 【解析】：（1）； （2） ； （3）（ ）。 【答案】：（1） ；（2） ；（3） 。 题9（简单综合与条件判断） （1）若 的结果是最简二次根式，则正整数可以是 _____。（写出一个即可） （2）若 是最简二次根式，且是正整数，则的最小值是 ______。 【考查点】：综合运用乘法法则和最简二次根式概念进行反向推理与取值。 【解析】：（1） 。要使结果为最简二次根式，需 已最简，即 中不含平方数因数（1除外）。取，则，是最简二次根式。等均可。 （2）要使 是最简二次根式，首先被开方数不含分母，但此处已有分母2。因此，我们需先将其化为 ，此时分子 应已最简，即 中不含平方数因数（1除外）。取最小的正整数，则，是最简二次根式，故原式 ，满足最简二次根式的定义，故的最小值为1。 【答案】：（1）1（答案不唯一）；（2）1。 【同步练习】 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 计算 的结果是（ ） A. 12 B. 144 C. 6 D. 2 【解析】：。 【答案】 A 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】：A选项，；C选项，无意义；D选项，结果应为6。 【答案】 B 3. 若是整数，则正整数 的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【解析】：，要使其为整数，需为整数，最小。 【答案】 C 4. 一个长方形的长为 ，宽为 ，则它的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 【解析】：面积。（注：本题要求结果必须为最简二次根式） 【答案】 A 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【解析】：。 【答案】 D 6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【解析】：A选项，；B选项，被开方数含分母；D选项，，被开方数含分母。 【答案】 C 7. 若 ，，则 与 的关系是（ ） A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 积为整数 D. 相等 【解析】：，为整数。 【答案】 C 8. 使式子有意义的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【解析】：需满足 且 > 0，解得。 【答案】 B 9. （含字母条件判断）已知实数，满足＜0，＞0，则下列等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【解析】：由＜0，＞0可知，左边化简：, A错误，B正确；C、D选项，因为＜0，所以无意义，C、D错误。 【答案】 B 10. （实际应用）已知一个正方形的面积为 S，若其边长增加为原来的 倍，则新正方形的面积是原面积的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【解析】 设原边长为 ，则新边长为 ，新面积为 S。 【答案】 D 二、填空题（共5题，每题4分） 11. 计算： 。 【解析】： 【答案】 12. 化简： 。 【解析】： 【答案】 13. 若 = ，则 。 【解析】：所以 【答案】 14. 若，则整数 。 【解析】： 【答案】 15. 若有意义，则 的值为 。 【解析】：需满足且 ，解得 且，所以。 【答案】 三、解答题（共5题，共50分） 16. （8分）计算与化简： （1）；（2）；（3）；（4）。 【解析】：（1）解法一（用法则）：原式， 解法二（先拆分，再结合）：原式； （2）解法一：原式，解法二：原式； （3）原式； （4）原式 . 17. （8分）（项目式学习·校园规划） 学校准备将一块长方形空地改建为劳动实践基地。已知空地的长为米，宽为米。 （1）求该空地的面积。 （2）现计划在基地内开辟出若干个边长为 米的正方形小菜圃，且菜圃边界与基地边界平行。问最多能开辟出多少个这样的小菜圃？ 【解析】：（1）解法一：面积（平方米）， 解法二：面积（平方米）； （2）小菜圃面积（平方米），理论个数为（个），验证：长可排（个），宽可排（个），实际可排（个）。 【答案】（1）48平方米；（2）6个。 18. （10分）（发现式学习·规律探究） 观察下列等式，并探究其规律： 1 2 3 4 问题： （1）（归纳规律）观察上述等式，我们发现： ，，，。 据此，请直接写出： 第⑤个等式： ； 第⑩个等式： 。 （2）（抽象表达）根据以上规律，第 （为正整数）个等式可以表示为： 。（用含 的代数式表示） （3）（逻辑证明）请尝试证明你在（2）中发现的规律。 （提示：可考虑将进行分组，或设 进行化简） 【答案与解析】： （1）第⑤个等式：；第⑩个等式：。 （2）根据规律：结果 = 首项（）× 尾项 () + 1，故答案为：() + 1。 （3）证明： 左边被开方数：（分组相乘） 设 ，则 。 ∴ 原式。 ∴ 左边 （∵ 时，）。 而 ，与右边相等。 故规律得证。 19. （12分）（新材料学习·从“方”到“幂”） 阅读材料：在数学的发展中，我们逐渐将运算从具体推向一般。我们知道，乘方是特殊的乘法，如。那么，如何理解或这样的运算呢？数学家规定，当> 0， , 为正整数时，有：，特别地，。因此，我们熟悉的二次根式可以写作。这个规定完美地保证了正整数指数幂的运算性质（如）在分数指数范围内依然成立。 背景链接：岭南传统建筑中常见“四方”结构，如围屋、碉楼，体现了对“方”与“空间”的认知。这种从具体“四方”到抽象“次方”的跨越，与数学思想异曲同工。 探究与运用： （1）概念理解：请根据上述材料，将下列式子写成含有分数指数幂的形式。 ① ； ② ； ③ ( > 0 ) 。 （2）规律发现：小明尝试用分数指数幂的形式来“验证”我们刚学的二次根式乘法法则。 他的步骤如下： 已知： ，； 要验证： 小明的“验证”： 你认为小明的“验证”过程严谨吗？它用到了正整数指数幂的哪一条运算性质？请说明。 （3）实际应用：在材料科学中，某种合金的强度S与其晶粒直径d满足霍尔-佩奇公式的简化形式：S，其中 为常数。 ① 若一块合金的晶粒直径为 时，强度为 MPa ，求常数 的值。 ② 若通过工艺改进，使晶粒直径缩小为原来的，即。请分别用二次根式运算 和分数指数幂运算两种方法，计算强度的值，并体会分数指数幂在运算上的简洁性。 【答案与解析】： （1）概念理解： ① ； ② ； ③ 。 （2）规律发现： 小明的验证过程在形式上是严谨的。 他用到的正整数指数幂的运算性质是：积的乘方法则的逆用，即。 说明：他将 和 视为同指数幂，从而应用了上述性质。这展示了分数指数幂定义的一个巨大优势——它使得运算律得以延续和统一。 （3）实际应用： ① 由 得，，所以。 ② 方法一（二次根式运算）：(MPa) 方法二（分数指数幂运算）：(MPa) 体会：分数指数幂的运算直接运用了幂的运算法则，，避免了单独处理根号的步骤，使运算流程更代数化、更简洁。 20. （12分）（跨学科融合·珠江口咸潮预警） 背景：咸潮上溯是珠江三角洲冬季主要的生态与供水安全问题。水利学家通过建立物理模型进行预测。在某段河道，咸潮上溯的最远距离（公里）与上游径流量（立方米/秒）的关系可近似表示为：，其中为与河道地形相关的常数。该模型表示，径流量越大，公式第二项越小，咸潮距离也越小。已知数据： 1. 当径流量时，观测到咸潮距离。 2. 当前水文站测得实时径流量。 问题： （1）根据已知数据1，求常数 的值。 （2）将实时径流量 化简为最简二次根式，并求出其整数值。 （3）利用（1）（2）的结果，预测当前的咸潮上溯距离。 （4）为保障供水安全，需将咸潮距离控制在以内。根据上述模型，上游径流量 至少需要达到多少？（结果保留为最简二次根式或整数形式） 【答案与解析】 （1）求常数 【解析】：将，代入模型公式 ， 化简根号部分，代入方程：，即， 【答案】： （2）化简并求的整数值 【解析】： 【答案】： （3）预测当前咸潮距离 【解析】：将，代入公式：，化简根式部分：，代入计算： 【答案】： （4）求满足控制要求的径流量最小值 【解析】：根据题意，需，代入公式：，即，即 ，两边同时平方（注意两边均为非负，平方后不等号方向不变）： ，即，解得 【答案】：径流量 至少需要达到。 学科网（北京）股份有限公司 $ 19.2 二次根式的乘法与除法（同步预习讲义） 2025-2026学年八年级数学人教2024版下册 【学习目标】 · 法则理解：从算术特例归纳出二次根式的乘、除法法则，理解其合理性及成立条件。 · 运算掌握：熟练运用法则进行计算，并能逆向运用进行变形。 · 化简应用：理解“最简二次根式”的两条标准，能利用乘除运算对二次根式进行化简。 · 思维发展：在真实项目与跨学科情景中，体会二次根式运算的价值，发展建模与推理能力。 【知识点一】乘法法则：从“算术”到“代数”的推广 1. 发现之旅：归纳与猜想 回顾已知的算术平方根计算： （1） × = ， ； （2） × = ， ； （3） × = ， 。 观察以上结果，你能猜想一个一般性的规律吗？ 猜想：当 ，时，。 这个猜想就是二次根式的乘法法则。 2. 法则阐述与辨析 · 文字语言：两个非负二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 · 符号语言： (，)。 · 理解要点： (1) 法则的合理性：源于算术平方根的定义和实数乘法的运算律。 (2) 成立的前提：，。这是法则的一部分，不能省略。 (3) 法则的逆用： (，)，这是化简的重要依据。 3. 典例精析 例1（数形结合）两个正方形的面积分别为 8 cm² 和 18 cm²。求这两个正方形的边长，并计算由它们拼成的一个长方形的面积。 4. 举一反三（递进训练） 题1（概念辨析型）判断下列运算是否正确，并说明理由： （1）；（2）； （3）（，为实数）。 题2（条件求解型） 已知 成立。 （1）求实数 的取值范围。 （2）分别求出当 取（1）中范围内的最小整数和最大整数时， 的值。 题3（方案设计与实际应用） 某园艺师要为一块长方形花坛安装围栏。花坛的长为米，面积为15平方米。 （1）求该花坛的宽。 （2）围栏的价格为每米10元。请估算购买围栏的总费用大约是多少元。 （已知，，结果保留到整数） 【知识点二】除法法则：类比与迁移 1. 发现之旅：类比猜想 我们通过类比乘法法则来猜想除法法则。请先计算下列平方根的商： （1） = ， ； （2） = ， ； （3） = ， 。 观察以上结果，你能猜想一个一般性的规律吗？ 猜想：当 ≥0，> 0 时，。 这就是二次根式的除法法则。 2. 法则阐述与辨析 · 符号语言：(，) 。 · 理解要点： （1）条件差异：分母 必须大于0，因为 不仅是被开方数的一部分，也是除数。 （2）商的算术平方根：该法则也常表述为“商的算术平方根等于算术平方根的商”。 （3）法则的逆用： (，)，常用于将被开方数中含有分母的根式化简。 3. 典例精析 例2（物理情境） 在物理中，单摆的周期公式为 T = 2π，其中 是摆长，g 是重力加速度。若测得一个摆长为 5 m 的单摆周期 T 为 π 秒，求当地重力加速度 g 的近似值（保留根号，π 视为已知量）。 4. 举一反三 题4（概念理解与判断） 判断下列计算是否正确，并说明理由： （1） ；（2）。 题5（条件推理与化简求参） 若式子有意义，且其化简结果为，求 的值。 题6（实际应用与代数求值） 一款手机APP在传输数据时，其瞬时速率 （单位：MB/s）与网络信号强度 的关系可近似表示为 ，其中 为常数。当信号强度为时，速率为MB/s。 （1）求常数 的值。 （2）当信号强度提升至 时，求此时的瞬时速率。 【知识点三】最简二次根式：运算的“标准答案” 1. 概念阐述 · 定义：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2. 被开方数中不含分母。 · 意义：最简形式是二次根式运算结果的“标准答案”，保证了表达式的简洁和统一。 2. 化简方法 · 类型一：被开方数是整数。如化简 。 。 · 类型二：被开方数是分数（或含分母）。如化简 。 。 · 核心思想：利用 和乘除法则，将根号内能“开出来”的因数和分母全部“请出来”。 3. 典例精析 例3（综合化简） 化简：。 4. 举一反三 题7（概念直接应用） 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 题8（基础化简运算） 化简：（1）； （2） ； （3）（ ）。 题9（简单综合与条件判断） （1）若 的结果是最简二次根式，则正整数可以是 _____。（写出一个即可） （2）若 是最简二次根式，且是正整数，则的最小值是 ______。 【同步练习】 一、选择题（共10题，每题3分） 1. 计算 的结果是（ ） A. 12 B. 144 C. 6 D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是整数，则正整数 的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 4. 一个长方形的长为 ，宽为 ，则它的面积是（ ） A. 6 B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 若 ，，则 与 的关系是（ ） A. 互为相反数 B. 互为倒数 C. 积为整数 D. 相等 8. 使式子有意义的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 9. （含字母条件判断）已知实数，满足＜0，＞0，则下列等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. （实际应用）已知一个正方形的面积为 S，若其边长增加为原来的 倍，则新正方形的面积是原面积的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 二、填空题（共5题，每题4分） 11. 计算： 。 12. 化简： 。 13. 若 = ，则 。 14. 若，则整数 。 15. 若有意义，则 的值为 。 三、解答题（共5题，共50分） 16. （8分）计算与化简： （1）；（2）；（3）；（4）。 17. （8分）（项目式学习·校园规划） 学校准备将一块长方形空地改建为劳动实践基地。已知空地的长为米，宽为米。 （1）求该空地的面积。 （2）现计划在基地内开辟出若干个边长为 米的正方形小菜圃，且菜圃边界与基地边界平行。问最多能开辟出多少个这样的小菜圃？ 18. （10分）（发现式学习·规律探究） 观察下列等式，并探究其规律： 1 2 3 4 问题： （1）（归纳规律）观察上述等式，我们发现： ，，，。 据此，请直接写出： 第⑤个等式： ； 第⑩个等式： 。 （2）（抽象表达）根据以上规律，第 （为正整数）个等式可以表示为： 。（用含 的代数式表示） （3）（逻辑证明）请尝试证明你在（2）中发现的规律。 （提示：可考虑将进行分组，或设 进行化简） 19. （12分）（新材料学习·从“方”到“幂”） 阅读材料：在数学的发展中，我们逐渐将运算从具体推向一般。我们知道，乘方是特殊的乘法，如。那么，如何理解或这样的运算呢？数学家规定，当> 0， , 为正整数时，有：，特别地，。因此，我们熟悉的二次根式可以写作。这个规定完美地保证了正整数指数幂的运算性质（如）在分数指数范围内依然成立。 背景链接：岭南传统建筑中常见“四方”结构，如围屋、碉楼，体现了对“方”与“空间”的认知。这种从具体“四方”到抽象“次方”的跨越，与数学思想异曲同工。 探究与运用： （1）概念理解：请根据上述材料，将下列式子写成含有分数指数幂的形式。 ① ； ② ； ③ ( > 0 ) 。 （2）规律发现：小明尝试用分数指数幂的形式来“验证”我们刚学的二次根式乘法法则。 他的步骤如下： 已知： ，； 要验证： 小明的“验证”： 你认为小明的“验证”过程严谨吗？它用到了正整数指数幂的哪一条运算性质？请说明。 （3）实际应用：在材料科学中，某种合金的强度S与其晶粒直径d满足霍尔-佩奇公式的简化形式：S，其中 为常数。 ① 若一块合金的晶粒直径为 时，强度为 MPa ，求常数 的值。 ② 若通过工艺改进，使晶粒直径缩小为原来的，即。请分别用二次根式运算 和分数指数幂运算两种方法，计算强度的值，并体会分数指数幂在运算上的简洁性。 20. （12分）（跨学科融合·珠江口咸潮预警） 背景：咸潮上溯是珠江三角洲冬季主要的生态与供水安全问题。水利学家通过建立物理模型进行预测。在某段河道，咸潮上溯的最远距离（公里）与上游径流量（立方米/秒）的关系可近似表示为：，其中为与河道地形相关的常数。该模型表示，径流量越大，公式第二项越小，咸潮距离也越小。已知数据： 1. 当径流量时，观测到咸潮距离。 2. 当前水文站测得实时径流量。 问题： （1）根据已知数据1，求常数 的值。 （2）将实时径流量 化简为最简二次根式，并求出其整数值。 （3）利用（1）（2）的结果，预测当前的咸潮上溯距离。 （4）为保障供水安全，需将咸潮距离控制在以内。根据上述模型，上游径流量 至少需要达到多少？（结果保留为最简二次根式或整数形式） 学科网（北京）股份有限公司 $