第六章 计数原理 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　对应学生课时P38 [知识整合·思维导图] [题型梳理·素养聚焦] [考点一]　逻辑推理，数学运算——两个计数原理的应用 [例1] (1)3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法有(　　) A．90种　　　　　 B．180种 C．270种 D．540种 (2)现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(　　) Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ A.144种 B．72种 C．64种 D．84种 解析：(1)D　法一：分两步，首先将3名医生派往3所学校，有A种，其次将6名护士派往3所学校，先从6名护士中任选2名派往第一所学校有C种方法，再从剩下的4名护士中选2名派往第二所学校有C种方法，最后把剩下的2名护士派往第三所学校有C种方法，故派护士共有CCC种方法，由分步乘法计数原理知，共有不同的分配方法 ACCC＝540(种).故选D. 法二：分两步：首先组成三个体检队，给第一名医生可配备2名护士，不同方法数为C；接着给第二名医生配备2名护士有C种方法；然后将剩下的2名护士配备给第三名医生，只有1种方法.因此，组成三个体检队，每队1医2护，不同的组队方法共有CC＝90(种)，将3个体检队派往3所学校，每所学校1队，不同的分配方法有A种，由分步乘法计数原理知，共有不同的分配方法CCA＝540(种).故选D. 法三：分三步：首先选1名医生和2名护士去第一所学校，有CC种.其次从剩下的人员中选1名医生和2名护士去第二所学校有CC种方法；最后把剩下的1名医生和2名护士派往第三所学校，只有1种方法.由分法乘法计数原理知，共有不同的分配方法(CC)(CC)＝540(种).故选D. 法四：分四步：第一步，将3名医生分成3组，每组一人只有一种方法；第二步，将6名护士分成3组，每组2人，有(种)分法(不是CCC)；第三步；将医生和护士搭配成3队，使每队有1医2护，有A种搭配方法；第四步，将所得三队分配到3所不同的学校，有A种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有不同分配方法·A·A＝540(种).故选D. (2)D　[根据所用颜色的种数分类，第一类：用4种颜色涂，有A＝4×3×2×1＝24(种). 第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：有CCA＝48(种). 第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有A＝4×3＝12(种).共有24＋48＋12＝84(种).故选D.] 1．利用两个计数原理解题，搞清两个原理的含义及区别，解题时，通过数学逻辑推理，知道证明题是利用哪个原理去解题，关键是分类还是分步，进而通过正确的数学运算求解. 2．综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事件发生的过程进行分步. [变式训练] 1．(1)2023年10月17日至18日，北京召开第三届“一带一路”国际合作高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同提问方式的种数为(　　) A．198 B．268 C．306 D．378 (2)从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取3个数字组成无重复数字的三位数，其中若有1和3时，3必须排在1的前面；若只有1和3中的一个时，它应排在其他数字的前面，那么这样不同的三位数共有　________　个.(用数字作答) (1)A　[分两种情况：若选两个国内媒体团，一个国外媒体团，有CCA＝90(种)不同提问方式；若选两个国外媒体团、一个国内媒体团，有CCA＝108(种)不同提问方式，所以共有90＋108＝198种不同提问方式.故选A.] (2)解析：1与3是特殊元素，以此为分类标准进行分类. 分三类：①没有数字1和3时，有A个； ②只有1和3中的一个时，有2A个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余4个数字中选1个数字插入3个空当中的1个即可，有C·C个.所以满足条件的三位数共有A＋2A＋C·C＝60(个). 答案：60 [考点二]　逻辑推理数学直观——排列、组合的应用 [例2] (1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有　________　种.(用数字作答) (2)在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目. ①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ ②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ ③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 解析：(1)①只有1名老队员的排法有 CCA＝36种. ②有2名老队员的排法有 CCCA＝12种. 所以共有 36＋12＝48(种). 答案：48 (2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；第二步，再松绑，给4个节目顺序，有A＝24(种)方法. 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)方法. ②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法. ×□×□×□×□×□×□× 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于从7个“×”中选4个来排，一共有A＝840(种). 根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800(种). ③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132(种)排法. 1．处理排列组合应用题的一般步骤 (1)认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题. (2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”. 2．处理排列组合应用题的规律 (1)两种思路：直接法，间接法. (2)两种途径：元素分析法，位置分析法. 3．排列组合应用题的常见类型和解决方法 (1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略. (2)合理分类与准确分步的策略. (3)正难则反，等价转化的策略. (4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略. (5)元素定序，先排后除的策略. (6)排列、组合混合题先选后排策略. (7)复杂问题构造模型策略. [变式训练] 2．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在(1)中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？ 解：(1)分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有C种取法；第二步，在5个奇数中取4个，可有C种取法；第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有A种排法.所以符合题意的七位数有C·C·A＝100 800(个). (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C·C·A·A＝14 400(个). (3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·C·A·A·A＝5 760(个). (4)上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空中，共有C·C·A·A＝28 800(个). [考点三]　数学运算　数学抽象——二项式定理及其应用 [例3] (1)已知n的展开式中第三项与第五项的系数之比为－，其中i2＝－1，则展开式中系数为实数且最大的项为(　　) A．第三项 B．第四项 C．第五项 D．第五项或第六项 (2)已知x2＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9的值为　________　. (3)在(x＋y)20的展开式中，系数为有理数的项共有　________　项. 解析：(1)C　[T3＝－Cx2n－5，T5＝Cx2n－10. 由－C∶C＝－，得n2－5n－50＝0， 所以n＝10， 又Tk＋1＝C(－i)kx20－k，据此可知当k＝0,2,4,6,8,10时系数为实数，且当k＝4时，C＝210最大. 故选C.] (2)解析：法一：所给等式即[1－(x＋1)]2＋[1－(x＋1)]10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9＋a10(x＋1)10，而“(x＋1)9”只能从[1－(x＋1)]10中产生，根据二项式定理，得a9＝－C＝－C＝－10. 法二：因为a9与x9的系数有关，等式左边x9的系数为0，所以等式右边x9的系数也为0. 因为x10的系数为a10＝C＝1，x9的系数为a9·C＋a10·C＝a9＋10＝0，所以a9＝－10. 答案：－10 (3)解析：Tr＋1＝C·3x20－r·yr，其系数为C3，当r＝0,4,8,12,16,20时，其系数为有理数，所以共有6项. 答案：6 1．区分“项的系数”与“二项式系数”.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正. 2．理解“常数项”，“有理数(字母指数为整数)”，“系数最大的项”等概念. 3．求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项. 4．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. [变式训练] 3．(1)(1＋x)6展开式中x2 的系数为(　　) A．15 B．20 C．30 D．35 (2)在24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　) A．3项 B．4项 C．5项 D．6项 (3)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2·(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为　________　. (1)解析：C　[(1＋x)6的展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以.(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30.] (2)解析：C　[24的展开式的通项为Tr＋1＝ C·()24－rr＝Cx12－r，故当r＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项.] (3)解析：令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5. 令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…a11＝－a0＝5. 答案：5 学科网（北京）股份有限公司 $