8.2 一元线性回归模型及其应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

1．已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 若y与x线性相关，则y与x的经验回归直线＝x＋必过点(　　) A．(2,2)　　　　　 B．(1.5,0) C．(1,2) D．(1.5,4) 解析：D　[∵＝＝1.5， ＝＝4， ∴回归直线必过点(1.5,4)．故选D.] 2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的决定系数R2分别如表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好(　　) A．甲 　 B．乙 　　 C．丙 　　 D．丁 解析：A　[决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．] 3．某产品的广告费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如下表，根据下表可得回归方程＝x＋中的＝10.6，据此模型预报广告费用为10万元时，销售额约为　________　万元．(　　) 广告费用 x(万元) 4 3 2 5 销售额 y(万元) 49 26 39 58 A.112.1万元　　 B．113.1万元 C．111.9万元 D．113.9万元 解析：C　[把样本中心点的坐标代入回归方程得＝5.9，所以广告费用为10万元时，估计销售额约为10.6×10＋5.9＝111.9(万元)．] 4．已知由样本数据(xi，yi)(i＝1,2,3，…，8)组成的一个样本，得到经验回归方程为＝2x＋0.75，且＝1.125，增加两个样本点(－2,5)和(1,3)后，得到新样本的经验回归方程为＝3x＋.在新的经验回归方程下，样本(3,8.7)的残差为(　　) A．1.1 B．0.5 C．－0.5 D．－1.1 解析：D　[∵xi＝1.125×8＝9，∴增加两个样本点后x的平均数为＝0.8； ∵＝2×1.125＋0.75＝3，∴yi＝3×8＝24，∴增加两个样本点后y的平均数为＝3.2，∴3.2＝3×0.8＋，解得：＝0.8，∴新的经验回归方程为：＝3x＋0.8， 则当x＝3时，＝9.8，∴样本(3,8.7)的残差为8.7－9.8＝－1.1.] 5．在一项调查中有两个变量x和y，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝c＋d C．y＝m＋nx2 D．y＝p＋qcx(q>0) 解析：B　[散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C，D，故选B.] 6．(多选)为研究需要，统计了两个变量x，y的数据情况如下表： x x1 x2 x3 … xn y y1 y2 y3 … yn 其中数据x1，x2，x3，…，xn和数据y1，y2，y3，…，yn的平均数分别为和，并且计算相关系数r＝－0.8，回归方程为＝x＋，如下结论正确的为(　　) A．将以上数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变 B．变量x，y的相关性强 C．当x＝x1时，必有＝y1 D．<0 解析：ABD　[A.因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，所以A正确；B.相关系数r＝－0.8，|r|>0.75，变量x，y的相关性强，所以B正确；C.当x＝x1时，不一定有＝y1，因此C错误；D.因为r＝－0.8<0，是负相关，所以<0，故D正确．] 7．预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品．近几年预制菜市场快速增长．某城市调查近4个月的预制菜市场规模y(万元)得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程＝e－a x 1 2 3 4 y e3 e4 e5 e6 按照这样的速度，预估第8个月的预制菜市场规模是　______　万元．(结果用e表示) 解析：令z＝ln ＝－a，则＝＝，＝＝，所以＝－a⇒a＝－4，则z＝ln＝＋4，所以x＝8代入回归方程，则z＝ln＝，可得＝e万元． 答案：e 8．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令z＝lny，求得经验回归方程为z＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为　__________________　. 解析：因为z＝0.25x－2.58，z＝lny， 所以y＝e0.25x－2.58. 答案：y＝e0.25x－2.58 9．已知n组成对样本数据确定的经验回归方程为＝－x＋2且＝4，通过残差分析，发现两组成对样本数据(－1.7,2.9)，(－2.3,5.1)误差较大，除去这两组成对样本数据后，重新求得经验回归直线的斜率估计值为－1.5，则当x＝－4时，＝　________　. 解析：由样本数据点集{(xi，yi)|i＝1,2，…，n}求得的经验回归方程为＝－x＋2，且＝4，所以＝－2，故数据的样本中心点为(－2,4)， 去掉(－1.7,2.9)，(－2.3,5.1)， 重新求得的经验回归直线的斜率估计值为－1.5， 经验回归方程设为＝－1.5x＋，代入(－2,4)， 求得＝1，所以经验回归直线的方程为：y＝－1.5x＋1，将x＝－4代入经验回归方程，求得y的估计值为－1.5×(－4)＋1＝7. 答案：7 10．已知变量x，y有如下对应数据. x 1 2 3 4 Y 1 3 4 5 (1)作出散点图； (2)用最小二乘法求关于x，y的经验回归方程． 解：(1)散点图如图所示． (2)＝＝，＝＝， xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， x＝1＋4＋9＋16＝30， ＝＝， ＝－×＝0， 所以＝x即为所求的经验回归方程． 11．在一段时间内，某淘宝网店一种商品的销售价格x(元)和日销售量Y(件)之间的一组数据为： 价格 x(元) 22 20 18 16 14 日销售 量y(件) 37 41 43 50 56 求出y关于x的经验回归方程，并说明该方程拟合效果的好坏． 参考数据： 解：作出散点图(此处略)，观察散点图，可知这些点散布在一条直线的附近，故可用线性回归模型来拟合数据． 因为＝＝18， ＝＝45.4， 所以＝＝－2.35， ＝45.4－(－2.35)×18＝87.7. 所以经验回归方程为＝－2.35x＋87.7. yi－i与yi－的值如下表： yi－i 1 0.3 －2.4 －0.1 1.2 yi－ －8.4 －4.4 －2.4 4.6 10.6 计算 (yi－i)2＝8.3， (yi－)2＝229.2，所以R2＝1－≈0.964. 因为0.964很接近于1， 所以该模型的拟合效果比较好． [能力提升] 12．某公司的生产部门调研发现，该公司第二、第三季度的月用电量y与月份x线性相关，且数据统计如下： 月份 4 5 6 7 8 9 月用电量 (千瓦时) 6 16 27 55 46 56 但核对电费报表时发现一组数据统计有误． (1)请指出哪组数据有误，并说明理由； (2)在排除有误数据后，求月用电量与月份之间的经验回归方程＝x＋，并预测统计有误的那个月份的用电量．(结果精确到0.1) 解：(1)作散点图如图所示．因为用电量与月份之间线性相关，所以散点图的样本点分布在经验回归直线附近比较窄的带状区域内，而点(7,55)离其他点所在区域较远，故(7,55)这组数据有误． (2)排除(7,55)这一组有误数据后，计算得＝6.4，＝30.2. 因为 ＝－≈－33.67， 所以经验回归方程为＝9.98x－33.67， 当x＝7时，≈36.2， 即7月份的用电量大约为36.2千瓦时． 13．为了研究某种细菌随时间x的变化繁殖个数Y的变化，收集数据如下： 时间 x/天 1 2 3 4 5 6 繁殖个 数Y 6 12 25 49 95 190 (1)将天数做解释变量，繁殖个数做相应变量，作出这些数据的散点图； (2)描述解释变量与响应变量之间的关系． 解：(1)由表中数据作散点图如图所示． (2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的图象的周围，其中c1和c2是待定系数．于是令Z＝1n Y，则＝x＋(＝1n c1，＝c2)，因此变换后的样本点应该分布在直线＝x＋的周围，因此可以用经验回归模型来拟合Z与x的关系，则变换后的样本数据如表： x 1 2 3 4 5 6 Z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25 由表中数据得到经验回归方程＝0.69x＋1.115.因此细菌繁殖个数关于时间的非线性经验回归方程为＝e0.69x＋1.115. [素养培优] 14．近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．“保护环境，人人有责”，在政府和有关企业的努力下，某地区近几年新能源汽车的购买情况如表所示： 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 新能源汽车购买 数量y(万辆) 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算y与x的相关系数r(保留三位小数)； (2)求y关于x的线性回归方程，并预测该地区2025年新能源汽车购买数量． 参考公式r＝ 参考数值：≈3.605 6， (xi－)(yi－)＝3.6. 解析：(1)＝＝2 021，＝＝1.10， (xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋02＋12＋22＝10， (y1－)2＝(－0.7)2＋(－0.4)2＋02＋0.42＋0.72＝1.3所以r＝＝≈≈0.998； (1) 由(1)知， (2) ＝－＝1.1－2 021×0.36＝－726.46， 所以y关于x的线性回归方程是＝0.36x－726.46，当x＝2 025时，＝0.36×2 025－726.46＝2.54(万辆)，该地区2025年新能源汽车购买数量约为2.54万辆． 学科网（北京）股份有限公司 $