7.5 正态分布-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

[基础过关] 1．已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(0<X<3)＝0.5，P(0<X<1)＝0.2，则P(X<3)＝(　　) A．0.4　　　　　　 B．0.6 C．0.7 D．0.8 解析：D　[由题意可得P(1<X<3)＝0.5－0.2＝0.3. ∵随机变量X～N(1，σ2)，∴P(X<3)＝0.3＋0.5＝0.8.] 2．巴黎奥运会期间，旅客人数(万人)为随机变量X，且X～N(30,22)．记一天中旅客人数不少于26万人的概率为P0，则P0的值约为(　　) (参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.683，) P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 A．0.977 B．0.972 5 C．0.954 D．0.683 解析：A　[因为X～N(30,22)，所以μ＝30，σ＝2， ∴P(26<X≤34)＝0.954， 根据正态曲线的对称性可得，P0＝P(X≥26)＝P(26<X≤34)＋P(X>34)＝0.954＋＝0.977.] 3．某工厂生产的零件外直径(单位：cm)服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm，则可认为(　　) A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上午、下午生产情况均正常 D．上午、下午生产情况均异常 解析：B　[∵零件外直径服从正态分布N(10,0.04)，∴根据3σ原则，产品外直径在[10－3×0.2,10＋3×0.2] 即[9.4,10.6]之外时为异常． ∵9.4<9.75<10.6,9.35<9.4，∴可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B.] 4．某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，下列结论中不正确的是(　　) A．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9，10.1)的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等 解析：D　[考查对正态分布概念和性质的理解，属于简单题． 因为μ＝10，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)的概率大于落在(10,10.3)的概率，故D不正确．] 5．(多选)某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其概率密度函数为f(x)＝e－，则下列说法正确的是(　　) A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 解析：ACD　[由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同；分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确．] 6．(多选)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，其正态曲线在(－∞，80)上单调递增，在(80，＋∞)上单调递减，且P(72＜X≤88)＝0.682 7，则(　　) A．μ＝80 B．σ＝4 C．P(X＞64)＝0.977 25 D．P(64＜X≤72)＝0.135 9 解析：ACD　[因为正态曲线在(－∞，80)上单调递增，在(80，＋∞)上单调递减，所以正态曲线关于直线x＝80对称，所以μ＝80；因为P(72＜X≤88)＝0.682 7，结合P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7，可知σ＝8； 因为P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5， 且P(X＜64)＝P(X＞96)， 所以P(X＜64)≈×(1－0.954 5)＝×0.045 5 ＝0.022 75，所以P(X＞64)＝0.977 25； 因为P(X≤72)＝(1－P(72＜X≤88)) ＝×(1－0.682 7)＝0.158 65， 所以P(64＜X≤72)＝P(X＞64)－P(X＞72) ＝0.977 25－(1－0.158 65)＝0.135 9.] 7．某种零件的尺寸X(单位：cm) 服从正态分布N(3，1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的　________　. 解析：属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)，即区间(1,5)的取值概率约为95.4%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.4%＝4.6%. 答案：4.6% 8．设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，在某项测量中，已知ξ在(－∞，－1.96]内取值的概率为0.025，则P(|ξ|<1.96)＝　________　 解析：因为曲线的对称轴是直线x＝0， 所以由图知P(ξ>1.96)＝P(ξ≤－1.96)＝0.025， ∴P(|ξ|<1.96)＝1－0.025－0.025＝0.950. 答案：0.95 9．新高考中，某省对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高分到低分划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10 %,35 %,35 %，18 %，2 %，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到[86,100]，[71,85]，[56,70]，[41,55]，[30,40]五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩X～N(50,256)，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为　________　分．(分数保留整数) 附：①若X～N(μ，σ2)，Y＝，则Y～N(0,1)；②当Y～N(0,1)时，P(Y≤1.3)≈0.9. 解析：由题意知：从高分到低分，即A等级人数所占比例为10 %，若A等级的原始分最低为X，又原始成绩X～N(50,256)，μ＝50，σ＝16，令Y＝，则Y～N(0,1)，又P(Y≤1,3)≈0.9，所以P(Y≥1.3)＝1－P(Y≤1.3)≈0.1，即≥1.3，可得X≥50＋1.3×16＝70.8≈71分，则他的原始分数最低为71. 答案：71 10．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)． (1)求c的值： (2)求P(－4<x<8)． 解：(1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)， 又P(X>c＋1)＝P(x<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2. (2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)≈95.4%. 11．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布N(90,100)． (1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？ (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人？ 解：因为X～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝＝10. (1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110， 于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率是0.954 5. (2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100. 由于变量X在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 7，所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0.682 7，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人)． [能力提升] 12．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态N(70，102)，如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格的人数占多少？ (2)成绩在80～90分的学生占多少？ 解：(1)设学生的得分情况为随机变量X， X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10. 所以成绩在60～80的学生的比为 P(70－10<X≤70＋10)＝0.682 6. 所以成绩不及格的学生的占比为 ×(1－0.682 7)＝0.158 65， 即成绩不及格的学生占15.87%. (2)成绩在80～90的学生比为 [P(70－2×10<X≤70＋2×10)－P(70－10<X≤70＋10)] ＝×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. 即成绩在80～90的学生占13.59%. 13．某大型电器企业为了解组装车间职工的工作情况，从中随机抽取100名职工进行测试，得到频数分布表如下所示. 日组装 个数 [155,165) [165,175) [175,185) 人数 6 12 34 日组装 个数 [185,195) [195,205) [205,215] 人数 30 10 8 (1)现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率． (2)由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z服从正态分布N(μ，169)，μ近似为这100人日组装个数的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表)． ①若组装车间有20 000名职工，求日组装个数超过198的职工人数； ②为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望． 附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解：(1)设至少有1人日组装个数少于165为事件A， 则P(A)＝1－＝. (2)这100人日组装个数的平均值为×(160×6＋170×12＋180×34＋190×30＋200×10＋210×8)＝185，所以μ＝185. 因为σ2＝169，所以σ＝13. ①易知μ＋σ＝198，所以P(X>198)＝P(X>μ＋σ)＝[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈＝0.158 65，所以日组装个数超过198的人数为0.158 65×20 000＝3 173. ②因为μ＝185，所以日组装个数在185以上的概率为0.5. 设这3人中日组装个数超过185的人数为ξ，这3人增加的日工资总额为η，则η＝50ξ，且ξ～B(3,0.5)，所以E(ξ)＝3×0.5＝1.5，所以E(η)＝50E(ξ)＝75元． [素养培优] 14．零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术．某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，记样本的尺寸为xi(i＝1,2,3，…，10，单位：mm)，测得的数据如下表： 100.03 100.4 99.92 100.52 99.98 100.35 99.92 100.44 100.66 100.78 用样本的平均数作为μ的估计值，用样本的标准差s作为σ的估计值． (1)按照技术标准的要求，若样本尺寸均在[μ－3σ，μ＋3σ](单位：mm)范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格． (2)该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制定了如下两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)． 方案1：每个零件均按70元定价销售． 方案2：若零件的实际尺寸在[99.7,100.3](单位：mm)范围内，则该零件为A级零件，每个零件定价100元，否则为B级零件，每个零件定价60元． 哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明． 附：x≈100 601.8，样本方差s2＝ (xi－)2＝(x－n 2)． 若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5. 解：(1)根据题意知，样本的平均数＝xi＝×(100.03＋100.4＋99.92＋100.52＋99.98＋100.35＋99.92＋100.44＋100.66＋100.78)＝100.3， 方差s2＝ (xi－)2＝(x－10 2)≈×(100 601.8－10×100.32)＝0.09，所以μ＝100.3，σ＝0.3.因为样本尺寸xi∈[99.4,101.2]，所以该切割设备的质量合格． (2)若采用方案2，则可设生产的零件售价为随机变量ξ，则ξ可以取60,100. 由(1)知，该设备生产的零件尺寸X～N(100.3,0.32)，所以P(ξ＝100)＝P(99.7≤X≤100.3)＝P(μ－2σ≤X≤μ)≈×0.954 5＝0.477 25， P(ξ＝60)＝1－P(ξ＝100)≈1－0.477 25＝0.522 75. 所以随机变量ξ的分布列如下. ξ 60 100 P 0.522 75 0.477 25 所以ξ的数学期望为E(ξ)≈60×0.522 75＋100×0.477 25＝79.09. 因为79.09>70，即采用方案2时每个零件的平均售价高于采用方案1时的定价，所以方案2的利润更大． 学科网（北京）股份有限公司 $