6.3.2 二项式系数的性质-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(　　) A．5　　 B．6　　　 C．7　　　 D．8 解析：C　[二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， ∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C.] 2.－2 025的展开式中的常数项是(　　) A．第673项 B．第674项 C．第675项 D．第676项 解析：D　[由二项式－2 025的展开式为Tr＋1＝C2 025－r－r＝(－2)r·Cx，令2 025－3r＝0，解得r＝675，此时T676＝(－2)675·C，所以二项式－2 025的展开式的常数项为第676项.] 3.10的展开式中，系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 解析：D　[展开式第6项系数为－C，第5项和第7项系数分别为C，C，且C＝C] 4．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(　　) A．10 B．45 C．－9 D．－45 解析：B　[x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10， ∴a8＝C＝C＝45.] 5．(多选)已知n(a＞0，n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是(　　) A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45 解析：BCD　[由n的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知n＝10. 又展开式的各项系数之和为1 024，即当x＝1时， (a＋1)10＝1 024，所以a＝1， 所以n＝10，其展开式的各二项式系数的和为210＝1 024，则奇数项的二项式系数的和为×1 024＝512，故A错误；由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，因为x2与x－的系数均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相同，即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故B正确；若展开式中存在常数项，则展开式中存在x的指数为0的项，由通项Tr＋1＝Cx2(10－r)·x－r＝Cx20－r，可得当20－r＝0，即r＝8时，符合要求，故C正确；由通项Tr＋1＝Cx20－r可得，当20－r＝15时，r＝2，所以展开式中含x15项的系数为C＝45，故D正确.故选BCD.] 6．(多选)若(1＋2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则下列正确的是(　　) A．a0＝2 024 B．a0＋a1＋…＋a2 024＝32 024 C．a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024＝1 D．a1－2a2＋3a3－…－2 024a2 024 ＝－2 024 解析：BC　[对于A：令x＝0，则a0＝1，故A错误； 对于B：令x＝1，则a0＋a1＋…＋a2 024＝32 024，故B正确； 对于C：令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024＝1，故C正确；对于D：由(1＋2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，两边同时求导得2 024×2×(1＋2x)2 023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023，令x＝－1，则a1－2a2＋3a3＋…－2 024a2 024＝－4 048，故D错误.] 7．(1＋)n的展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是　______　. 解析：(1＋)n＝a0＋a1＋a2()2＋…＋an·()n，令x＝1，得各项系数的和S＝a0＋a1＋…＋an＝2n，∴8＜2n＜32. 又n∈N，∴n＝4. 由二项式系数的性质得系数最大的项为 T3＝C()2＝6x. 答案：6x 8．若(3x＋1)n(n∈N)的展开式中各项系数之和是256，则展开式中x2的系数是　________　. 解析：令x＝1，得各项系数之和为4n， ∴4n＝256，解得n＝4，∴x2的系数为C·32＝54. 答案：54 9．若(x－3)3(2x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0＝　________　，a0＋a2＋…＋a8＝　________　. 解析：令x＝0，得(－3)3×15＝a0，所以a0＝－27. 令x＝1，得(－2)3×35＝a0＋a1＋a2＋…＋a8， 令x＝－1，得(－4)3(－1)5＝a0－a1＋a2－…＋a8，两式相加得2(a0＋a2＋…＋a8)＝－1 880，所以a0＋a2＋…＋a8＝－940. 答案：－27；－940 10．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值. 解：由5，得 Tr＋1＝C5－rr ＝5－r·C·x， 令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，∴r＝4， ∴常数项T5＝C×＝16. 又(a2＋1)n的展开式的各项系数之和等于2n， 由题意得2n＝16，∴n＝4. 由二项式系数的性质知，(a2＋1)n的展开式中系数最大的项是中间项T3， ∴Ca4＝54， ∴a＝±. 11．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6. 解：(1)令x＝0，则a0＝－1； 令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，① 所以a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256. (3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128. [能力提升] 12．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，下列结论正确的是(　　) A．1＋C＋C＋C＝C B．第16行所有数字之和为216 C．第2 024行的第1 012个数最大 D．第15行中从左到右第4个数与第5个数之比为1∶3 解析：ABD　[对于A,1＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C，故A正确；对于B，由杨辉三角的每行系数和性质可知，第0行所有数字之和为1＝20，第1行所有数字之和为1＋1＝21，第2行所有数字之和为1＋2＋1＝22，第3行所有数字之和为1＋3＋3＋1＝23，第4行所有数字之和为1＋4＋6＋4＋1＝24，以此类推，第16行所有数字之和为216，故B正确；对于C，由杨辉三角图可知，第n行有个n＋1数字，如果n是奇数，则第和第＋1个数字最大，且这两个数字一样大；如果n是偶数，则第＋1个数字最大，故第2 024行的第＋1＝1 013个数最大，故C错误；对于D，由题意，第15行，第4个数为C＝＝455，第5个数为C＝＝1 365，即C∶C＝455∶1 365＝1∶3，故D正确.] 13．已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 解：令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5. (1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C(x)3·(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2·(3x2)3＝270x. (2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C·3r·x(5＋2r)， 假设Tr＋1项系数最大， 则有 ∴ 即 ∵r∈N，∴r＝4，∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x. [素养培优] 14．在n(n≠7，且n∈N*)的展开式中. (1)若所有二项式系数之和为256，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍，求展开式中各项的系数的绝对值之和. 解：(1)由已知得C＋C＋…＋C＝256， ∴2n＝256，∴n＝8，∴二项式系数最大的项为 T5＝C()44＝. (2)易得n的展开式的通项为 Tr＋1＝rCx－r(r＝0,1，…，n)， ∵第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍. ∴C×14＝×9，解得n＝10或n＝7(舍去). 因为10的展开式中各项的系数的绝对值之和与10的展开式中各项的系数之和相等， 所以对于10，令x＝1，得10＝10，即10的展开式中各项的系数的绝对值之和为10. 学科网（北京）股份有限公司 $