6.3.1 二项式定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

[基础过关] 1．(x＋2)n的展开式共有12项，则n等于(　　) A．9　 B．10　　 C．11　　 D．8 解析：C　[因为(a＋b)n的展开式共有n＋1项，而(x＋2)n的展开式共有12项，所以n＝11，故选C.] 2．在二项式5的展开式中，含x4的项的系数是(　　) A．－10 B．10 C．－5 D．5 解析：B　[∵5的展开式的通项为Tr＋1＝Cx2(5－r)·(－1)rx－r＝(－1)rCx10－3r，令10－3r＝4，∴r＝2，∴x4的系数为C＝10.] 3．(x－y)2024的二项展开式中，第m项的二项式系数是(　　) A．C B．C C．C D．(－1)m－1C 解析：C　[二项展开式第m项的二项式系数为C] 4.5的展开式中x2y3的系数是(　　) A．－20　 B．－5　　 C．5　　 D．20 解析：A　[Tr＋1＝C5－r(－2y)r ＝C2r－5(－2)rx5－ryr， 当r＝3时，系数为C23－5(－2)3＝－20.故选A.] 5．(多选)在n的展开式中，常数项为15，则下列选项中不可作为n取值的是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：ABC　[二项展开式的通项为Tk＋1＝ C(x2)n－kk＝(－1)kC·x2n－3k，根据常数项是15，可得2n＝3k，且(－1)k·C＝15，验证n＝6时，k＝4符合题意，故选ABC.] 6．(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　) A．a0＝－32 B．a2＝－80 C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1 解析：ABC　[令x＝－1得(－1－1)5＝a0，即a0＝－32，故A正确.令x＝0得(－1)5＝a0＋a1＋…＋a5，即a0＋a1＋…＋a5＝－1，故D不正确.令x＋1＝y，则(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5就变为(y－2)5＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a5y5，根据二项式定理知，a2为二项式(y－2)5展开式中y2项的系数，Tr＋1＝Cy5－r(－2)r，故a2＝C·(－2)3＝－80，B正确.a4＝C(－2)1＝－10，a3＝C(－2)2＝40.故C正确.故选ABC.] 7.4的展开式中常数项为　________　. 解析：4展开式的通项为 Tr＋1＝C(x3)4－rr＝(－1)rCx12－4r. 令12－4r＝0，则r＝3，所以常数项为 T4＝(－1)3C＝－4. 答案：－4 8.6的展开式中的常数项等于　____　，有理项共有　________　项. 解析：6的展开式的通项为 Tr＋1＝C()6－rr＝Cx， 当＝0时，r＝2， 此时常数项为C＝15. 当为整数时，对应的项为有理项. 因为r∈N且r≤6，所以r可取0,2,4,6，故共有4项为有理项. 答案：15　4 9．(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是　________　. 解析：法一：(双通项法)(1－)6的展开式的通项为C·(－)m＝C(－1)mx，(1＋)4的展开式的通项为C()n＝Cx，则(1－)6(1＋)4的展开式的通项为C(－1)mCx＋，其中m＝0,1,2，…，6，n＝0,1,2,3,4.令＋＝1，得m＋n＝2，于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数等于C·(－1)0·C＋C·(－1)1·C＋C·(－1)2·C＝－3. 法二：(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x). 于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3. 答案：－3 10．求5的二项展开式. 解：法一：直接利用二项式定理展开并化简. 5＝C(2x)5－C(2x)4·＋C(2x)3·2－C(2x)2·3＋C(2x)·4－ C·5＝32x5－80x2＋－＋－. 法二：先化简再展开. 5＝5＝－(1－2x3)5 ＝－[1－C·2x3＋C(2x3)2－C(2x3)3＋C(2x3)4－C(2x3)5] ＝－＋－＋－80x2＋32x5. 11．已知n的展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n的值； (2)展开式中的含x3的项. 解：(1)因为T3＝C()n－22＝4Cx， T2＝C()n－1＝－2Cx， 依题意得4C＋2C＝162， 所以2C＋C＝81， 所以n2＝81，即n＝9. (2)设第r＋1项含x3，则Tr＋1＝C()9－rr ＝(－2)rCx， 所以＝3，r＝1，所以第二项为含x3的项， T2＝－2Cx3＝－18x3. [能力提升] 12.5展开式中的常数项为(　　) A．1 　　 B．11 C．－19 　　　 D．51 解析：B　[5＝5，则其展开式的通项Tk＋1＝Ck(其中k＝0,1,2,3,4,5).要求原式的展开式中的常数项，需求k的展开式中的常数项.k的展开式的通项Tr＋1＝Cxk－rr＝(－1)rCxk－2r(其中r＝0,1,2，…，k)，根据题意，令k－2r＝0，则k＝2r，即k是2的倍数，所以k＝0,2,4，所以原式的展开式中的常数项为C－CC＋CC＝11，故选B.] 13．若二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值. 解：∵Tr＋1＝Cx6－rr＝(－a)rCx6－， 令6－＝3，则r＝2，得A＝C·a2＝15a2； 令6－＝0，则r＝4，得B＝C·a4＝15a4. 由B＝4A可得a2＝4，又a＞0，∴a＝2. [素养培优] 14．若n的展开式的常数项为－20，求n的值. 解：当x＞0时，n＝2n， 其通项为Tr＋1＝C()2n－rr ＝(－1)rC()2n－2r. 令2n－2r＝0，得n＝r， 所以展开式的常数项为(－1)nC；当x＜0时， n＝(－1)n2n. 同理可得，展开式的常数项为(－1)nC. 无论哪一种情况，常数项均为(－1)nC， 令(－1)nC＝－20.把n＝1,2,3…，逐个代入， 得n＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $