6.2.1-6.2.2 第2课时 排列数的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

[基础过关] 1．要从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是(　　) A．20　　 B．16　　　 C．10　　　 D．6 解析：B　[不考虑限制条件有A种选法，若a当副组长，有A种选法，故a不当副组长，有A－A＝16(种)选法.] 2．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有(　　) A．60种 B．48种 C．36种 D．24种 解析：D　[把A，B视为一人，且B排在A的右边，则本题相当于4人的全排列，故有A＝24(种)排法.] 3．用1,2,3…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　) A．324 B．224 C．360 D．648 解析：B　[先排个位数，有A种，然后排十位和百位，有A种，故共有AA＝224(个)没有重复数字的三位偶数.] 4．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法种数为(　　) A．1 440 B．960 C．720 D．480 解析：B　[5名志愿者先排成一排，有A种排法，将2位老人看成一个元素插入5名志愿者中间的4个空中，且2位老人的位置全排列，不同的排法共有A·A·A＝960(种).] 5．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　) A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 解析：B　[当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有2A＝48(个)；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有3A＝72(个)，所以比40 000大的偶数共有48＋72＝120(个).] 6．(多选)在青华中学举行的课本剧大赛中，高二(16)班有3名男生，2名女生获得一等奖.现将获得一等奖的学生排成一排合影，则(　　) A．3名男生排在一起，有36种不同排法 B．2名女生不排在一起，有72种不同排法 C．3名男生均不相邻，有12种不同排法 D．女生不站在两端，有108种不同排法 解析： ABC　[对于A项，先让3名男生全排再作为一个整体和2名女生做一个全排，共有A·A＝36种，故A项正确； 对于B项，先让3名男生全排，形成4个空位让2名女生排入，共有A·A＝72种，故B项正确； 对于C项，先让2名女生全排，形成3个空位让3名男生排入，共有A·A＝12种，故C项正确； 对于D项，先从三个男生中选出2人放在两端，再将剩下3人进行全排然后放中间，共有A·A＝36，故D项错误.] 7．将序号分别为1,2,3，4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是　________　. 解析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4×A＝96(种). 答案：96 8．二阶魔方是一个2×2×2的正方体，由8个角块组成，没有中心块和棱块，结构相对简单.若空间中方向不同但状态相同(即通过整体旋转后相同)的情况只算一种，则任意二阶魔方共有　________　种不同的状态. (提示：任选其中1个角块作为参考，则其余7块能自由排列，在这7块中，任意确定6块，最后1块也就唯一确定了) 解析：任选其中1个角块作为参考，考虑其余7块排列情况，在这7块中，任意确定6块，最后一块也确定了，所以任意二阶魔方有A＝7×6×5×4×3×2种＝5 040种状态.再考虑每个角块有三种朝向，扣除状态相同的情况，则有5 040×36种＝3 674 160种状态. 答案：3 674 160 9．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，(1)若程序 A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有　________　种； (2)若程序B和C都与程序D不相邻，则实验顺序的编排方法共有　______　种. 解析：(1)首先，程序A只能出现在第一步或最后一步，有2种方法；其次，将程序B和C看作一个元素，有4个位置可以选择，而B与C又可交换位置，所以有4A种方法；最后将剩余的3个程序进行排列，有A种方法.综上所述，实验顺序的编排方法共有2×4A×A＝96(种). (2)当B，C相邻，且与D不相邻时，有AAA＝144(种)方法；当B，C不相邻，且都与D不相邻时有AA＝144(种)方法，故共有288种编排方法. 答案：(1)96　(2)288 10．从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，问： (1)共能组成多少个不同的二次函数？ (2)在这些二次函数中，图象关于y轴对称的有多少个？ 解：(1)法一：(直接法——优先考虑特殊位置)因为a≠0， 所以确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A种，所以共有7A＝294个不同的二次函数. 法二：(直接法——优先考虑特殊元素) 当a，b，c中不含0时，有A个；当a，b，c中含有0时，有2A个，故共有A＋2A＝294(个)不同的二次函数. 法三：(间接法) 共可构成A个函数，其中当a＝0时，有A个均不符合要求，从而共有A－A＝294(个)不同的二次函数. (2)依题意b＝0，所以共有A＝42(个)符合条件的二次函数. 11．某小组6个人排队照相留念. (1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？ (2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？ (3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？ (5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 解：(1)前排2人，后排4人，相当于6个人全排列，共有A＝720(种)排法. (2)先将甲排在前排A，乙排在后排A，其余4人全排列A，根据分步乘法原理得AAA＝192(种)排法. (3)甲、乙视为一个人，即看成5人全排列问题A，再将甲、乙两人排列A，根据分步乘法原理可得AA＝240种排法. (4)甲必在乙的右边属于定序问题，用除法， ＝360 (种)排法. (5)将3名男生插入3名女生之间的4个空位，这样保证男生不相邻，根据分步乘法原理得AA＝144(种)排法. (6)法一：乙在排头其余5人全排列，共有A种排法； 乙不在排头，排头和排尾均为A，其余4个位置全排列有A，根据分步乘法原理得AAA， 再根据分类加法原理得A＋AAA＝504(种)排法. 法二：(间接法)A－2A＋A＝720－240＋24＝504(种)排法. [能力提升] 12．若集合A，B，C，D满足A，B，C都是D的子集，且A∩B，B∩C，A∩C均只有一个元素，且A∩B∩C＝∅，称(A，B，C)为D的一个“有序子集列”.若D有6个元素；则有　_________　个“有序子集列”. 解析：根据题意，先确定满足“x∈A∩B，y∈B∩C，z∈C∩A且A∩B∩C＝∅”的三元组(x，y，z)的个数，再确定集合D中除x、y、z外的其他元素的分布情况，从而根据乘法原理算出集合D的“有序子集列”的总数.对于任一个“有序子集列”(A，B，C)，必然存在一个三元组(x，y，z)，使得“x∈A∩B，y∈B∩C，z∈C∩A，且A∩B∩C＝∅”， 若A∪B∪C中还有除了x、y、z的其他元素，记为t，则t只能在(A，B，C)之一中出现(或者根本不出现).另外，对于任一个三元组(x，y，z)都能通过令x∈A∩B，y∈B∩C，z∈C∩A的形式，构建出一个“有序子集列”A，B，C.集合D中的三元组(x，y，z)有A个，对于集合D中除x、y、z外的其他元素，每个都有4种可能；不属于A∪B∪C，或属于A，或属于B，或属于C.再安排每个子集的其他元素，对于每个子集，除了公共元素外，还有3个位置需要安排元素. 因为每个位置都有4种选择(放入该子集或不放入)，所以每个子集的安排方式有43种.理由：分步乘法计数原理，每个位置的选择相互独立，所以总的安排方式是各个位置选择方式的乘积.最后计算总的“有序子集列”个数，根据分步乘法计数原理，总的“有序子集列”个数为A×43.计算可得：A×43＝120×64＝7 680. 答案：7 680 13．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？ 解：坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置，显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题，从而不同的坐法共有A＝151 200(种). [素养培优] 14．已知圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，从0,3,4,5,6,7,8,9,10这9个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标，纵坐标和圆的半径.问： (1)可以作多少个不同的圆？ (2)经过原点的圆有多少个？ (3)圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？ 解：(1)可分两步完成：第一步，先选r，因为r＞0，则r有A种选法，第二步，再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有A种选法，所以由分步乘法计数原理可得有A·A＝448(个)不同的圆. (2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点，a，b，r满足a2＋b2＝r2，满足该条件的a，b，r共有3,4,5与6,8,10两组，考虑a，b的顺序，有A种情况，所以符合题意的圆有2A＝4(个). (3)圆心在直线x＋y－10＝0上，即满足a＋b＝10，则满足条件的a，b有三组：0,10；3,7；4,6. 当a，b取10,0时，r有7种情况， 当a，b取3,7；4,6时，r不可取0，有6种情况， 考虑a，b的顺序，有A种情况， 所以满足题意的圆共有AA＋2AA＝38(个). 学科网（北京）股份有限公司 $