6.1.2 基本计数原理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

该高中数学单元复习讲义通过例题解析系统梳理了计数原理知识体系，以分类加法、分步乘法计数原理为核心框架，结合选派方案、数字排列、几何应用等具体场景呈现知识脉络，突出原理应用与实际问题的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固原理（如第1题选派方案分类讨论），提升题结合生活情境（如第12题地铁分段优惠），培养逻辑推理与应用意识。不同层次题目满足学生需求，教师可据此实施精准分层教学，助力学生提升数学思维与实践能力。

[基础过关] 1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　) A．6种　　　　　　　 B．7种 C．8种 D．9种 解析：D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6(种)；若选派2名女生，则有3种.由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法.] 2．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　) A．30　　 B．20　　 　C．10　 D．6 解析：D　[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法，故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6(种)取法.] 3．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是(　　) A．100 B．90 C．81 D．72 解析：C　[分两步：第一步选b，因为b≠0，所以有9种选法；第二步选a，因为a≠b，所以有9种选法.由分步乘法计数原理知共有9×9＝81(个)点.] 4．已知a∈，b∈，r∈，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示的不同圆的个数是(　　) A．6 B．9 C．16 D．24 解析：D　[确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定a，有3种选法；第二步，确定b，有2种选法；第三步，确定 r，有4种选法.由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×2×4＝24.] 5．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都——泉州”两日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有(　　) A．16种 B．18种 C．20种 D．24种 解析：C　[任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②和⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20(种).] 6．(多选)某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则下列说法中正确的是(　　) A．甲若选一种荤菜，则有6种选法 B．乙的选菜方法数为9 C．若两人分别打菜，总的方法数为18 D．若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同，则方法数为30 解析：AB　[若甲打一荤一素，则有C×C＝6种选法，故A选项正确；若乙打一荤一素，则有6种选法，若打两素，则有C＝3种选法，共9种选法，故B选项正确；选项C，两人分别打菜，由选项B知每个人可有9种打法，故应为9×9＝81种方法；选项D可分为荤菜相同或素菜相同两种情况，共2×3×2＋3×2×1＝18种.] 7．甲、乙、丙3个班各有3,5,2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有　________　种推选方法. 解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15(种)选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6(种)选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10(种)选法.综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31(种)推选方法. 答案：31 8．一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c.三位数中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)若a，b，c∈{1,2,3,4,5}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”共　______　个. 解析：根据题意知在1,2,3,4,5中，能组成有缘数的组合有：1,2,3；1,3,4；1,4,5；2,3,5；由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，“有缘数”共6个；同理：由1,3,4组成的三位数为“有缘数”是6个； 由1,4,5组成的三位数为“有缘数”是6个； 由2,3,5组成的三位数为“有缘数”是6个； 所以三位数为“有缘数”的个数为：4×6个＝24个. 9.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为　________　. 解析：按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C 同色，则有5×4×3×3＝180(种)不同的染色方法. 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法. 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法. 答案：420 10．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同. (1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？ 解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类方案： 第一类，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二类，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是5＋4＝9. (2)从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来完成： 第一步，从第一个口袋内任取1个小球， 有5种方法； 第二步，从第二个口袋内任取1个小球， 有4种方法. 根据分步乘法计数原理知，不同取法的种数是5×4＝20. 11．将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数. (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 解：(1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位，根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6×6＝216(个)不同的三位数. (2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位.百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种，根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个). (3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，而每种都有6×5＝30(个)，故满足条件的三位数共有3×30＝90(个). [能力提升] 12．某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是(　　) 站数x 0<x≤3 3<x≤6 6<x≤9 票价/元 2 3 4 A．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种 B．若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种 C．若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种 D．若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种(同一地铁站出站不分先后) 解析：BCD　[两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9种，同理小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是9种，所以共有18种，A不正确，B正确.两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9种；小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9种；小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有3×3＝9种，共有27种，C正确.小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有9种；小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确. 故选：BCD] 13．从集合中任选2个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，求落在矩形区域B＝内的椭圆个数. 解：根据题意，知当m＝1时，n可等于2,3，…，8，共对应7个不同的椭圆；当m＝2时，n可以等于1,3,4，…，8，共对应7个不同的椭圆.同理可得，当m＝3,4,5,6,7,8时，各分别对应7个不同的椭圆；当m＝9时，n可以等于1,2，…，8，共对应8个不同的椭圆；当m＝10时，共对应8个不同的椭圆.综上所述，对应的椭圆共有7×8＋8×2＝72(个). [素养培优] 14．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客乘坐地铁的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示(其中x∈N*)： 乘坐 站数 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9 票价 (元) 2 3 4 现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁的站数都不超过9，且他们各自在每站下地铁的可能性是相同的. (1)若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？ (2)若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率. 解：(1)由题表可知，若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择，付费3元的乘坐站数有4,5,6三种选择，所以小华、小李下地铁的方案共有2×3×3＝18(种). (2)由题表可知，若小华、小李两人共付费6元，则小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元.付费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择，付费3元的乘坐站数有4,5,6三种选择，付费4元的乘坐站数有7,8,9三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有2×3×3＋3×3＝27(种)，其中小华比小李先下地铁的方案有3×3＋3＝12(种)，因此小华比小李先下地铁的概率为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $