6.1.1 基本计数原理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教A版）

[基础过关] 1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有(　　) A．3种　　　　　　　 B．4种 C．7种 D．12种 解析：C　[选择课程的方法有2类：从A类课程中选一门有3种不同的方法，从B类课程中选1门有4种不同的方法，∴共有不同选法3＋4＝7(种)．] 2．已知x∈，y∈，则x·y可表示不同的值的个数为(　　) A．8　　 B．12　　 　C．10　 　　D．9 解析：D　[分两步：第一步，在集合中任取一个值，有3种不同的取法；第二步，在集合中任取一个值 ，有3种不同的取法．故x·y可表示3×3＝9(个)不同的值(易知各值互不相同)．] 3．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有(　　) A．27种 B．36种 C．54种 D．81种 解析：C　[小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3＝54(种)不同的报名方法．] 4．将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为(　　) A．80 B．100 C．110 D．120 解析： D　[如图，若先染A有5种色可选，B有4种色可选，C有3种色可选，D有2种色可选，则不同染色方法共有5×4×3×2＝120(种)．] 5．五位同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是(　　) A．54 B．5×4×3×2 C．45 D．5×4 解析：C　[每位同学有4种选择，由分步乘法计数原理可得，5位同学就有4×4×4×4×4＝45(种)选择，故不同的选择种数是45.] 6．(多选)若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231、354等都是“凸数”，用1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的三位数，则(　　) A．组成的三位数的个数为30 B．在组成的三位数中，奇数的个数为36 C．在组成的三位数中，“凸数”的个数为24 D．在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 解析：BD　[A：5个数组成无重复的三位数的个数为5×4×3＝60，故A错误； B：奇数为个位数是1,3,5的三位数，个数为3×4×3＝36，故B正确；C：“凸数”分为3类，①十位数为5，则有4×3＝12个；②十位数为4，则有3×2＝6个；③十位数为3，则有2×1＝2个，所以共有20个，故C错误；D：由选项C的分析可知，D正确．] 7．如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为　________　. 解析：从A处到B处的电路接通可分两步：第一步，前一个并联电路接通有2条线路；第二步，后一个并联电路接通有3条线路．由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为2×3＝6(条)． 答案：6 8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有　________　条． 解析：经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个，共3种，由分步乘法计数原理知不同的行车路线有4×3＝12(条)． 答案：12 9．工人在悬挂如图所示的一个正六边形装饰品时，需要固定六个位置上的螺丝，首先随意拧紧一个螺丝，接着拧紧距离它最远的第二个螺丝，再随意拧紧第三个螺丝，接着拧紧距离第三个螺丝最远的第四个螺丝，第五个和第六个以此类推，则不同的固定方式有　________　种． 解析：随意拧紧一个螺丝有6种方法，拧紧第二个螺丝只有1种方法，拧紧第三个螺丝有4种方法，拧紧第四个螺丝只有1种方法，拧紧第五个螺丝有2种方法，拧紧第六个螺丝只有1种方法，所以不同的固定方式有6×1×4×1×2×1＝48(种)． 答案：48 10．某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？ 解：既会英语又会日语的有7＋3－9＝1(人)，仅会英语的有6人，仅会日语的有2人．先分类后分步： 先从仅会英、日语的人中各选1人，有6×2＝12(种)选法； 从仅会英语和英、日语都会的人中各选1人，有6×1＝6(种)选法； 从仅会日语和英、日语都会的人中各选1人，有2×1＝2(种)选法． 根据分类加法计数原理，共有12＋6＋2＝20(种)不同的选法． 11．从集合的子集中，选出有5个元素的子集，使得这5个元素中的任意2个元素的和不等于11，这样的子集共有多少个？ 解：和为11的数共有5组：1与10,2与9,3与8,4与7,5与6.满足条件的子集中的元素不能取同一组中的两个数．而每组元素的取法有2种，所以子集的个数为2×2×2×2×2＝25＝32.即满足条件的子集共有32个． [能力提升] 12．有一种棋盘(由8×8个方格组成)，其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定)．“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示．现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则(　　) A．最多能剪成19块“L”形骨牌 B．最多能剪成20块“L”形骨牌 C．最多能剪成21块“L”形骨牌 D．以上答案都不对 解析：C　[考虑2×3的6块方格，如图： ，每一块这样的骨牌含有2块“L”形骨牌，一共可以剪成10块这样的骨牌和一个田字格，田字格可以剪1块“L”形骨牌，则一共可以剪21块“L”形骨牌． 只要将破损的方格所在位置剪成一个恰当的田字格即可，所以最多能够剪成21块“L”形骨牌．故选C.] 13．用1,2,3,4四个数字(可重复)排成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列. (1)写出这个数列的前11项． (2)这个数列共有多少项？ (3)若an＝341，求n. 解：(1)111,112,113,114,121,122,123,124,131,132,133. (2)这个数列的项数就是用1,2,3,4排成的三位数的个数，每个数位上都有4种排法，则共有4×4×4＝64(项). (3)比an＝341小的数有两类： ① 1 × × 2 × × ② 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有2×4×4＋1×3×4＝44(项). 所以n＝44＋1＝45(项). [素养培优] 14．求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数. 解：设较小的两边长为x，y，且x≤y， 则x≤y≤11，x＋y＞11，x，y∈N*. 当x＝1时，y＝11； 当x＝2 时，y＝10,11； 当x＝3时，y＝9,10,11； 当x＝4时，y＝8,9,10,11； 当x＝5时，y＝7,8,9,10,11； 当x＝6时，y＝6,7,8,9,10,11； 当x＝7时，y＝7,8,9,10,11； …； 当x＝11时，y＝11. 所以不同三角形的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36. 学科网（北京）股份有限公司 $