6.2.1 向量的加法运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2　平面向量的 运算 6.2.1　向量的 加法运算 1.理解并掌握向量加法的概念.2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算.3.了解向量加法的交换律和结合律,并能作图解释向量加法运算律的合理性. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识点一　向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义 求 的运算,叫做向量的加法. 两个向量和 4 2.向量求和的法则 三角形 0+a 5 平行四边形 6 ·疑难解惑· |a+b|与|a|,|b|之间的关系 (1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b不同,且|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向时,a+b,a,b同向,且|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向时,若|a|>|b|,则a+b的方向与a相同,且|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=|b|-|a|. 知识点二　向量加法的运算律 交换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c) ·温馨提示· 向量加法运算律的意义 向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 基础自测 C 2.下列等式不正确的是(　　) B [A] ②③ [B] ② [C] ① [D] ③ B 与水流方向成60° 8 关键能力·素养培优 题型一　求作向量的和 [例1] 如图,按下列要求作答. (1)以A为起点,作出a+b; 【解】 (1)将a,b的起点同时平移到A点,利用平行四边形法则作出a+b,如图①所示. (2)以B为起点,作出c+d+e; 【解】 (2)先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,计算出c+d,再平移向量e与之首尾相接,利用三角形法则即可作出c+d+e,如图②所示. (3)若图表中小正方形边长为1,求|a+b|,|c+d|. ·解题策略· 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 向量加法法则 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接; (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边 形法则 (1)共起点; (2)仅适用于不共线的两个向量求和 [变式训练] 如图所示,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c. 题型二　向量加法运算律的应用 [例2] (人教B版必修第二册P145例2)化简下列各式: ·解题策略· 向量加法运算律的应用原则 通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. [变式训练] 如图,在正六边形ABCDEF中,O是其中心.则 题型三　向量加法的实际应用 [例3] 一架直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地,再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地,求此时直升机与A地的相对位置. ·解题策略· 应用向量解决实际问题的基本步骤 (1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题. (2)运算:应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将有关向量进行运算,解答向量问题. (3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题. [变式训练] 如图,用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上,∠ACW= 150°,∠BCW=120°,求A和B处所受力的大小.(绳子的质量忽略不计) 感谢观看 项目 内容 物理模型 三角形 法则 已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=. 这种求向量和的方法,称为向量加法的 法则.对于零向量与任意向量a,规定a+0= =a 位移的 合成 平行 四边形 法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA,OB为邻边作▱OACB,则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的 法则 力的 合成 1.化简++等于(　　) [A] [B] [C] [D] 【解析】 根据平面向量的加法运算, 得++=(+)+=+=.故选C. ①a+(b+c)=(a+c)+b; ②+=0; ③=++. 【解析】 ②错误,+=0,①③正确.故选B. 3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++等于(　　) [A] [B] [C] [D] 【解析】 +++=+++=++=+=. 故选B. 4.(人教A版必修第二册P10练习T5改编)某人在静水中游泳,速度的大小为 4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸,水的流速为4 km/h,则此人实际沿　　　　　 　　的方向前进,速度的大小为　　　　km/h.  【解析】将此人的游泳速度v2与水的流速v1平移至共同起点,作出其和速度v,由此人的游泳速度的大小为4 km/h,水的流速的大小为4 km/h,可得此人实际速度的大小为=8(km/h),且与水流方向成60°. 【解】(3)由a是单位向量可知|a|=1,根据作出的向量利用勾股定理可知, |a+b|==; 由共线向量的加法运算可知|c+d|=|-c|=|c|=1. 【解】 法一(三角形法则) 如图①,在平面内作=a,=b,则=a+b; 再作=c,则=a+b+c. 法二(平行四边形法则) 如图②,在平面内作=a,=b,以OA与OB为邻边作平行四边形OADB, 则=a+b;再作=c,以OD与OC为邻边作平行四边形ODEC,则=a+b+c. (1)++; 【解】 (1)++=(+)+=+=. 【解】 (2)++++ =++(++) =++ =(+)+ =+==0. (2)++++. (1)+=　　　　;  【解析】 (1)+=+=. 【解析】 (3)++=++=. (2)++=　 ;  【解析】 (2)++=+=+=. (3)++=　　 　　.  【解】如图所示,设,分别是直升机的位移,则表示两次位移的合位移, 即=+.在Rt△ABD中,||=20 km,||=20 km. 在Rt△ACD中,||==40 km, ∠CAD=60°,即此时直升机位于A地北偏东30°方向,且距离A地40 km处. 【解】如图所示,设,分别表示A,B所受的力,10 N的重力用表示, 则+=. 由题意可得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°. ∠FCE=∠ACB=360°-150°-120°=90°,则∠CFG=∠CEG=90°, 所以||=||cos 30°=10×=5(N),||=||cos 60°=10×=5(N). 所以A处所受的力的大小为5 N,B处所受的力的大小为5 N. $