5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

[基础达标练] 1．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　) A．10　　　　　　　 B．9 C．8 D．7 解析：C　[设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1)，由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8.] 2．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，则an＋1与an的关系可以表示为(　　) A．an＋1＝an＋150 B．an＋1＝an＋200 C．an＋1＝an＋300 D．an＋1＝an＋180 解析：A　[依题意得消去bn，得an＋1＝an＋150.] 3．(2021·湖南湘潭市湘潭一中高二期末)数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前5项和S5等于(　　) A. B. C. D. 解析：C　[因为an＝＝1－，所以数列{an}的前5项和S5＝5－＝5－1＋＝.] 4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费．设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元．则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为(　　) A．93万元 B．45万元 C．189万元 D．96万元 解析：A　[设第一到第五实验室的设备费用分别为a1，a2，a3，a4，a5；则由题意a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，设公比为q，且a3－a1＝9，a5－a3＝36；a5－a3＝a3q2－a1q2＝36，解得q＝2或q＝－2(舍)；由a3－a1＝3a1＝9得a1＝3.所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝93.] 5．(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是(　　) A．此人第六天只走了5里路 B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里 D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 解析：BCD　[根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列． 所以S6＝＝＝378，解得a1＝192. 选项A：a6＝a1q5＝192×()5＝6，故A错误，选项B：由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，故B正确．选项C：a2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5,96－94.5＝1.5，故C正确．选项D：a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×(1＋＋)＝336，则后3天走的路程为378－336＝42，而且336÷42＝8，D正确．故选BCD.] 6．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金　________　万元． 解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2＝a1－1，依次类推，an＋1＝an－1，∴an＋1＋2＝(an＋2)，∴{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2.∴an＋2＝(a1＋2)·n－1，∴an＝(a1＋2)·n－1－2.∴第6名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×6－2＝0.∴a1＝126，即全部资金为126万元． 答案：126 7．《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为　________　 . 解析：设等比数列为{an}，其公比为q，由题意知，S5＝＝93，a1＋a2＝a3，可得a1＋a1q＝a1q2，因为a1≠0，所以，1＋q＝q2，解得q＝2或q＝－(舍去)，当q＝2时，可得＝93，解得a1＝3. 答案：3 8．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d. 由已知得 解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2. (2)由(1)可得bn＝2n＋n， 所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101. [能力提升练] 9．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性，则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者．某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者．现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过(　　)次检测． A．3 B．4 C．5 D．6 解析：C　[法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测．选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测，所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测，故选C. 法二：设第n次检测后余下的人数为an，则a1＝16且an＝an＋1，故an＝16×n－1，令an＝1，则n＝5，故需要检测5次，故选C.] 10．(多选题)(2021·江苏省木渎高级中学高二期末)一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下．设它第n次着地时，经过的总路程记为Sn，则当n≥2时，下面说法正确的是(　　) A．Sn＜500 B．Sn≤500 C．Sn的最小值为 D．Sn的最大值为400 解析：AC　[由题可知，第一次着地时，S1＝100；第二次着地时，S2＝100＋200×； 第三次着地时，S3＝100＋200×＋200×2；…… 第n次着地后，Sn＝100＋200×＋200×2＋…＋200×n－1， 则Sn＝100＋200＝100＋400，显然Sn＜500，又Sn是关于n的增数列，n≥2，故当n＝2时，Sn的最小值为100＋＝. 综上所述，AC正确，故选AC.] 11．如图，在平面上作边长为1的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和为　________　. 解析：设依次所作的第n个正方形的边长为an，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为Sn，则第n个等腰直角三角形的腰长为an，且a1＝1.∴第n＋1个正方形的边长为an＋1＝an，∴＝，Sn＝a＋×2a＝a，∴＝＝＝2＝2＝，且S1＝a＝×12＝，所以数列，∴{Sn}是以为首项，为公比的等比数列．Sn＝(1－)． 答案：Sn＝ 12．某工厂2019年初有资金1000万元，资金年平均增长率可达到20%，但每年年底要扣除x(x＜200)万元用于奖励优秀职工，剩余资金投入再生产． (1)以第2019年为第一年，设第n年初有资金an万元，用an和x表示an＋1，并证明数列{an－5x}为等比数列； (2)为实现2029年初资金翻两番的目标，求x的最大值(精确到万元)． (参考数据：1.29≈5.160,1.210≈6.192,1.211≈7.430) 解：(1)依题意，an＋1＝an·(1＋0.2)－x，整理得：an＋1－5x＝(an－5x)，＝，又a1－5x＝1000－5x＞0，∴数列{an－5x}是以1000－5x为首项，为公比的等比数列． (2)由(1)知，an－5x＝(1000－5x)·n－1，an＝(1000－5x)·n－1＋5x，∴2029年初资金翻两番∴a11＝(1000－5x)·10＋5x≥4000，解得x≤84.4，所以x的最大值是84. [素养培优练] 13．(多选))计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象．当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件．计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数C0，即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数C0＝2，若一台计算机有105个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫痪状态．该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是(　　) A．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件 B．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件 C．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态 D．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 解析：ABC　[设第n＋1分钟之内新感染的文件数为an＋1，前n分钟内新感染的病毒文件数之和为Sn，则an＋1＝2(Sn＋1)，且a1＝2，由an＋1＝2(Sn＋1)可得an＝2(Sn－1＋1)，两式相减得：an＋1－an＝2an，所以an＋1＝3an，所以每分钟内新感染的病毒构成以a1＝2为首项，3为公比的等比数列，所以an＝2×3n－1，在第3分钟内，该计算机新感染了a3＝2×33－1＝18个文件，故选项A正确；经过5分钟，该计算机共有1＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋＝35＝243个病毒文件，故选项B正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为1＋a1＋a2＋…＋a10＝1＋＝310＞×105，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C正确；该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D不正确；故选ABC.] 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1且an＋1－2an－1＝0，若(－1)nλ≤Sn＋2n对∀n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是　__________　. 解析：因为an＋1－2an－1＝0，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，公比为2的等比数列，∴an＋1＝2n，an＝2n－1.因此Sn＝－n＝2n＋1－2－n. 所以(－1)nλ≤Sn＋2n对∀n∈N*恒成立， 可化为(－1)nλ≤2n＋1＋n－2对∀n∈N*恒成立． 当n为奇数时，－λ≤(2n＋1＋n－2)min，所以－λ≤3 ，即λ≥－3； 当n为偶数时，λ≤(2n＋1＋n－2)min，解得λ≤8.综上，实数λ的取值范围是[－3,8]． 答案：[－3,8] 学科网（北京）股份有限公司 $