5.3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

[基础达标练]

1．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　)

A．10　　　　　　　 B．9

C．8  D．7

解析：C　[设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1)，由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8.]

2．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，则an＋1与an的关系可以表示为(　　)

A．an＋1＝an＋150

B．an＋1＝an＋200

C．an＋1＝an＋300

D．an＋1＝an＋180

解析：A　[依题意得消去bn，得an＋1＝an＋150.]

3．(2021·湖南湘潭市湘潭一中高二期末)数列{an}的通项公式an＝，则数列{an}的前5项和S5等于(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：C　[因为an＝＝1－，所以数列{an}的前5项和S5＝5－＝5－1＋＝.]

4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建五个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费．设备费从第一到第五实验室依次构成等比数列，已知第三实验室比第一实验室的设备费用高9万元，第五实验室比第三实验室的设备费用高36万元．则该研究所改建这五个实验室投入的设备费用为(　　)

A．93万元  B．45万元

C．189万元  D．96万元

解析：A　[设第一到第五实验室的设备费用分别为a1，a2，a3，a4，a5；则由题意a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，设公比为q，且a3－a1＝9，a5－a3＝36；a5－a3＝a3q2－a1q2＝36，解得q＝2或q＝－2(舍)；由a3－a1＝3a1＝9得a1＝3.所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝＝93.]

5．(多选)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．则下列说法正确的是(　　)

A．此人第六天只走了5里路

B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里

C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里

D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

解析：BCD　[根据题意此人每天行走的路程成等比数列，设此人第n天走an里路，则{an}是首项为a1，公比为q＝的等比数列．

所以S6＝＝＝378，解得a1＝192.

选项A：a6＝a1q5＝192×()5＝6，故A错误，选项B：由a1＝192，则S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，故B正确．选项C：a2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5,96－94.5＝1.5，故C正确．选项D：a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×(1＋＋)＝336，则后3天走的路

程为378－336＝42，而且336÷42＝8，D正确．故选BCD.]

6．某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金　________　万元．

解析：设全部资金和每次发放后资金的剩下额度组成一个数列{an}，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2＝a1－1，依次类推，an＋1＝an－1，∴an＋1＋2＝(an＋2)，∴{an＋2}是一个等比数列，公比为，首项为a1＋2.∴an＋2＝(a1＋2)·n－1，∴an＝(a1＋2)·n－1－2.∴第6名领走资金后剩余为a7＝(a1＋2)×6－2＝0.∴a1＝126，即全部资金为126万元．

答案：126

7．《莱茵德纸草书》(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为　________　 .

解析：设等比数列为{an}，其公比为q，由题意知，S5＝＝93，a1＋a2＝a3，可得a1＋a1q＝a1q2，因为a1≠0，所以，1＋q＝q2，解得q＝2或q＝－(舍去)，当q＝2时，可得＝93，解得a1＝3.

答案：3

8．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d.

由已知得

解得所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.

(2)由(1)可得bn＝2n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)

＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)

＝＋＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.