5.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

[基础达标练] 1．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝18，则a5＝(　　) A．7　　　　　　　 B．11 C．9 D．18 解析：C　[设等差数列的性质可知：a2＋a8＝2a5＝18，所以a5＝9.故选：C.] 2．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 解析：B　[由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.] 3．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　) A. B．± C．－ D．－ 解析：D　[由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.] 4．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第二月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 解析：B　[设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7.] 5．(多选)在等差数列{an}中，每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：ABD　[由题意得：插入k(k∈N*)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4… 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)，因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N*，k∈N*， 当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1， 故k的值可能为1,3,7，故选：ABD.] 6．在等差数列{an}中，a1＋a9＝4，那么a2＋a3＋…＋a8等于　________　. 解析：因为数列{an}为等差数列，且a1＋a9＝4，根据等差数列的性质，可得a1＋a9＝2a5＝4，解答a5＝2，又由a2＋a3＋…＋a8＝7a5＝7×2＝14. 答案：14 7．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？” 意思是：“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为　________　斤． 解析：由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为a1，粗的一端的重量为a5，可知a1＝2，a5＝4，根据等差数列的性质可知，a1＋a5＝2a3＝6⇒a3＝3，中间三尺为a2＋a3＋a4＝3a3＝9. 答案：9 8．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a23的值． 解析：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a8＋a13＝12，则3a8＝12，则a8＝4，又由a3a8a13＝28，则有a3a13＝(4－5d)(4＋5d)＝7，解可得：d＝±，当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝，当d＝－时，an＝a8＋(n－8)d＝. (2)由(1)的结论，当d＝时，an＝，此时a23＝＝13，当d＝－时，an＝，则a23＝＝－5，则a23＝13或－5. [能力提升练] 9．已知等差数列{an}，a2＝2，a4＝8，若abn＝3n－1，则b2 020＝(　　) A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021 解析：D　[由a2＝2，a4＝8，得数列{an}的公差d＝＝3，所以an＝2＋(n－2)×3＝3n－4，所以an＋1＝3n－1.又数列{an}的公差不为0，所以数列{an}为单调数列，所以结合abn＝3n－1，可得bn＝n＋1，故b2 020＝2 021.] 10．已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则a1＋a100等于　________　. 解析：由题意函数y＝f(x－2)的图象关于x＝1对称，则函数f(x)的图象关于x＝－1对称，且在(－1，＋∞)上单调，因为f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1＋a100＝a50＋a51＝－2. 答案：－2 11．在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a7＝12.a2＋a10＝7. (1)求通项公式an. (2)设bn＝an＋t，且对一切n∈N*，恒有b2n＝2bn，求t的值．对一切k，n∈N*是否恒有bkn＝kbn？请说明理由． [解]　(1)∵a2＋a10＝a5＋a7＝7，又∵a5a7＝12， ∴或当时，an＝－n＋，不恒为正，舍去． ∴∴an＝n＋ (2)bn＝an＋t＝n＋t＋，b2n＝n＋t＋，∴n＋t＋＝n＋2t＋1. ∴t＝－，∴bn＝n，.因为bkn＝kn＝kbn，所以恒有bkn＝kbn. [素养培优练] 12．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6＝(　　 ) A．8 B．6 C．4 D．3 解析：D　[由等差数列的性质可知2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6×2a6＝36，得a6＝3，故选D.] 13．单分数(分子为1，分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例＝＋，＝＋＋＋＋如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记＝＋＋＋，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y＋z的值为(　　 ) A．505 B．404 C．303 D．202 解析：A　[依题意，拆分后的分数 ，分子都是1，分母依次变大，又＝＋＋＋中含，故可分解如下：＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋，又x，y，z是以101为首项的等差数列，故x＝101，y＝202，z＝303，故y＋z＝202＋303＝505，故选A.] 学科网（北京）股份有限公司 $