5.1.2 数列中的递推-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂课时作业word（人教B版）

[基础达标练] 1．数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N*)　 B．an＝(n∈N*) C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) 解析：C　[由题意可知，数列从第二项起，后一项是前一项的，所以递推公式为an＋1＝an(n∈N*)．] 2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：B　[对n依次取2,3,4,5得a2＝(－1)2·2×＝，a3＝－，a4＝－，a5＝.] 3．数列{an}的前n项和Sn＝，则an＝(　　)． A. B. C. D. 解析：B　[当n＝1时a1＝S1＝1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－＝，验证，当n＝1时a1满足，故选B.] 4．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于(　　) A. B. C. D. 解析：B　[a1＝1＝，∵an＋1＝an，∴a2＝＝. 同理a3＝＝.猜想an＝.] 5．(多选)已知数列an满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　) A．a3＝－1 B．a2019＝ C．S3＝ D．S2019＝ 解析：ACD　[由题意a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，A正确，S3＝2＋－1＝，C正确；a4＝1－＝2 ，∴数列{an}是周期数列，周期为3. a2019＝a3×673＝a3＝－1，B错； S2019＝673×＝，D正确．故选：ACD.] 6．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝　________　. 解析：　[由an＋1＝，得an＝1－，∵a8＝2，∴a7＝1－＝， a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…， ∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝.] 7．(多空题)已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N*)， 则这个数列的第4项是　________　；65是这个数列的第　________　项． 解析：－12　11　[由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12；由an＝n2－4n－12＝65，得n＝11或n＝－7(舍去)，∴65是第11项．] 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，n∈N*，求它的通项公式． 解：当n＝1时，a1＝S1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5， 又当n＝1时，不符合上式． 故an＝ [能力提升练] 9．数列{an}的a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100＝(　　) A. B．－ C．100 D．－100 解析：D　[因为a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，即＝－，所以＝－，＝－，＝－，…，＝－， 所以×××…×＝－×(－)×(－)×…×(－)＝－， 所以＝－，又a1＝1，所以a100＝－100，故选D.] 10．(多选)若数列{an}满足an＋1＝，a1＝， 则数列{an}中的项的值可能为(　　 ) A. B. C. D. 解析：ABC　[数列{an}满足an＋1＝，a1＝，依次取n＝1,2,3,4，…代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，因此继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为：，，，，故选ABC.] 11．若数列{an}满足，an＋1，＝，a1＝2，则数列{an}前2022项的积等于　________　. 解析：∵an＋1＝，则an＋2＝＝＝－， 所以，an＋4＝－＝－＝an， ∵a1＝2，则a2＝＝＝－3，所以数列{an}是以4为周期的周期数列，且anan＋1an＋2aa＋3＝an·an＋1·＝1，所以{an}的前2022项的积为a1·a2·a3·a4……a2022＝a1a2×1505＝2×(－3)＝－6. 答案：－6 12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an. 解：将an＋1＝两边同时取倒数得：＝，则＝＋，即－＝， ∴－＝，－＝，…，－＝， 把以上这(n－1)个式子累加，得－＝. ∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)． [素养培优练] 13．(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022 解析：BCD　[对于A，可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21，故A错误；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B正确；对于C，可得，an＝an＋1－an－1(n≥2)，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋(a5－a3)＋…＋(an＋1－an－1) 即Sn＝－a2＋an＋an＋1＝an＋2－1，∴S2020＝a2022－1，，故C正确； 对于D，由an＝an＋1－an－1(n≥2)可得，a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…(a2022－a2020)＝a2022，故D正确．] 14．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图(乙)的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图(丙))，这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有an条边． (1)写出a1，a2的值． (2)求出数列{an}的递推公式． 解：(1)a1＝12，a2＝48. (2)由“雪花曲线”的作法可知， 第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n＋1条“雪花曲线”的四条边． ∴an＋1＝4an.∴数列{an}的递推公式为an＋1＝4an. 学科网（北京）股份有限公司 $