6.2.1 第2课时 函数单调性的综合问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　函数单调性的综合问题

讨论函数的单调性

[例1]　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性．

[思路点拨]　→

→

[解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax＋1－＝.

(1)当a＝0时，f′(x)＝，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．

(2)当a＞0时，f′(x)＝

∵a＞0，∴－＜0.由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.

∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．

综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数.

讨论函数f(x)单调性的步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；

(2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根；

(3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f ′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．

[变式训练]

1．(2020·和平区一模)已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为(　　 )

A．(－2,1)　　　　　　 B．(－1,2)

C．(－∞，－2)  D．(1，＋∞)

解析：A　[由图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)，

知f(x)的导数为f′(x)＝x2＋x－2，

令f′(x)＜0，解得：－2＜x＜1，故选A.]

　　　

构造函数利用函数的单调性求解不等

式或比较大小

[例2]　已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f′(x)·x＜f(x)，f(3)＝0，则＞0的解集为　________　.

[解析]　设g(x)＝，因为f′(x)·x＜f(x)，所以g′(x)＝＜0⇒g(x)是(0，＋∞)上的减函数，因为f(3)＝0，所以g(3)＝0，

因此＞0⇒g(x)＞0＝g(3)⇒x＜3，∵x＞0，∴0＜x＜3.

所以＞0的解集为(0,3)．

答案：(0,3)

根据题中所给条件构造函数，求导判定函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式或比较函数式的大小，是考题中的重要题型。

[变式训练]

2．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且当x∈时，f′(x)cos x＋f(x)sin x＜0，f(0)＝0，下列判断中，一定正确的是(　　)

A．f＞2f　 B．f＞f

C．f(ln 2)＞0  D．f＜f

解析：B　[∵f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x＜0，令g(x)＝，则g′(x)＝＜0，∴g(x)在上单调递减，∴g＜g，∴＜，可得f＞f.]

已知函数的单调性求参数的范围

[例3]　已知函数f(x)＝x3－ax－1在R上为单调递增函数，求实数a的取值范围．

[思路点拨]　→

→

[解]　由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.

[母题变式]

1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．

[解]　由f′(x)＝3x2－a，①当a≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．

②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，当－＜x＜时，f′(x)＜0.

∴f(x)在上为减函数，∴f(x)的单调递减区间为，∴＝1，即a＝3.

2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的范围．

[解]　由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴，

即，∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．

3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的范围．

[解]　∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1) 上不单调，∴0＜＜1，即0＜a＜3.故a的取值范围为(0,3)．

1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.

2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法

(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；

(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立．

[变式训练]

若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，