6.2.1 第1课时 导数与函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦“导数与函数的单调性”核心知识点，系统梳理导数正负与函数增减性的关系、导数值大小对图象陡峭程度的影响，是导数概念后的应用基础，为后续极值学习搭建关键支架。 资料以乒乓球运动情境引入，引导学生用数学眼光观察现实，知识梳理表格化促进数学抽象，例题与分层练习强化逻辑推理和数学运算，课中助力教师高效教学，课后帮助学生巩固提升、查漏补缺。

6．2　利用导数研究函数的性质 6．2.1　导数与函数的单调性 第1课时　导数与函数的单调性 课程标准 素养解读 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． 2.能利用导数研究函数的单调性． 3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 1.在学习函数单调性与导数的关系中提升直观想象、数学抽象的核心素养． 2.在研究多项式函数的单调性与单调区间的基础上达成逻辑推理、数学运算的核心素养. [情境引入] 竖直向下抛一兵乒球，乒乓球的高度h是时间t的函数，横轴表示时间t，纵轴表示乒乓球的高度h，观察乒乓球竖直向上的瞬时速度(只考虑其正负)和球的高度变化趋势(上升/下降)，你能得到什么规律？ 提示：下降瞬时速度为负，上升瞬时速度为正。 [知识梳理] [知识点一]　函数单调性与其导数正负的关系　 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内， 导数 函数的单调性 f′(x)＞0 单调　递增　 f′(x)＜0 单调　递减　 f′(x)＝0 常数函数 如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ [提示]　f(x)是常数函数． [知识点二]　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系　 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的 绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 　快　 比较“　陡峭　”(向上或向下) 越小 　慢　 比较“　平缓　”(向上或向下) [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减．(　　) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　) (4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是(　　) 解析：D　[∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f ′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.] 3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为　________　. 解析：∵f(x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1.由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 导数与函数图象的关系 [例1]　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　) 解析：D　[由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．] 1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可． 2．通过图象研究函数单调性的方法 (1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； (2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负． [变式训练] 1．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　) 解析：D　[A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．] 判断或证明函数的单调性 [例2]　(1)函数f (x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是(　　) A．增函数　　　　　 B．减函数 C．先增后减 D．不确定 解析：A　[∵f (x)＝2x－sin x，∴f ′(x)＝2－cos x＞0在(－∞，＋∞)上恒成立，∴f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数．] (2)求证：f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． 证明　∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－e－x＝e－x(e2x－1)，当x∈(0，＋∞)时，由指数函数的性质知e－x＞0，e2x＞1，∴f′(x)＞0，因此函数f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数． 利用导数证明或判断函数单调性的思路 [变式训练] 2．利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3＋3x； (2)f(x)＝sin x－x，x∈(0，π); (3)f(x)＝ 解：(1) 因为f(x)＝x3＋3x, 所以f′(x)＝3x2＋3＝3(x2＋1)＞0， 所以f(x)＝x3＋3x，函数在R上单调递增． (2) 因为f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)，所以f′(x)＝cos x－1＜0， 所以f(x)＝sin x－x在(0，π)上单调递减． (3) 因为f(x)＝1－，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以f′(x)＝＞0， 所以，函数f(x)＝1－在(－∞，0)和(0，＋∞)上，上单调递增． 　　　求函数的单调区间 [例3]　求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋. [解]　 (1)函数的定义域为(0，＋∞)．∵f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表 x f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)函数的定义域为(－∞，＋∞)．∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x ＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2， 当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表 x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f′(x) ↘ ↗ ↘ ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2)． (3)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，当x变化时，f′(x)，f(x)变化如下表 x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x) ↗ ↘ ↘ ↗ ∴函数f(x)的单调递减区间为(－1,0)和(0,1)，单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 利用导数求函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)． (3)由f′(x)＞0(或f′(x)＜0)，解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间． [变式训练] 3．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间． 解：　f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞， ＋∞)上单调递增． 若a＞0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)＜0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． [当堂达标] 1．设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为(　　) 解析：C　[∵f(x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上是减函数，在(1,4)上为增函数，∴当x＜1或x＞4时，f′(x)＜0；当1＜x＜4时，f′(x)＞0.故选C.] 2．下列函数中，在其定义域上为增函数的是(　　) A．y＝x4 B．y＝2－x C．y＝x＋cos x D．y＝－x 解析：C　[对于A选项，函数y＝x4为偶函数，在(0，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递减；对于B选项，函数y＝2－x在R上递减；对于C选项，y′＝1－sin x≥0在R上恒成立，则函数y＝x＋cos x在其定义域R上递增；对于D选项，函数y＝－x在(0，＋∞)上递减．故选C.] 3．若函数f(x)＝sin x－x，则函数f(x)在区间(0，π)上的单调增区间为(　　) A. B. C. D. 解析：D　[f′(x)＝cos x－，由f′(x)＞0得cos x＞，在区间(0，π)上，当0＜x＜时，满足cos x＞.] 4．求函数f(x)＝(x－k)ex的单调区间． 解：f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ －ek－1 ↗ 所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间是(k－1，＋∞)． [基础达标练] 1．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，函数y＝f(x)的一个单调递减区间是(　　) A．(x1，x3)　　　　 B．(x2，x4) C．(x4，x6) D．(x5，x6) 解析：B　[由图象可知，当x∈(x1，x2)，(x4，x5)，(x5，x6)时，f′(x)＞0，当x∈(x2，x4)时，f′(x)＜0，∴函数f(x)在(x2，x4)上单调递减，在(x1，x2)，(x4，x5)，(x5，x6)上单调递增，∴函数y＝f(x)的一个单调递减区间是(x2，x4)．故选B.] 2．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A. B．(ln 2，＋∞) C.，(0，＋∞) D．(－∞，0)， 解析：A　[函数f(x)＝，得f′(x)＝，令f′(x)＝＞0，解得x＞，∴函数f(x)＝的单调递增区间是] 3．已知函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)是函数f(x)的导函数，则f′(x)的图象大致是(　　) 解析：A　[由函数的解析式可得f′(x)＝x－sin x，所以f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D，又当x＝时，f′＝－sin ＝－1＜0，排除C.] 4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝xe2 C．y＝x3－x D．y＝ln x－x 解析：B　[显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3，故函数在，上为增函数，在上为减函数；对于D，y′＝－1(x＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0,1)上为增函数，故选B.] 5．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是(　　) A．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 C．f＞ D．f＜ 解析：AD　[由题中图象可知，导函数f′(x)的图象在x轴下方，即f′(x)＜0，且其绝对值越来越小，因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得f(x)的大致图象如图所示． A选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)异号，即f(x)图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，即f(x)图象的割线斜率为正，故B不正确；f表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当x＝x1和x＝x2时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有f＜，故C不正确，D正确．故选AD.] 6．函数y＝2x＋sin x的单调增区间为　__________　. 解析：y′＝2＋cos x，cos x∈[－1,1]，∴y′＞0在R上恒成立，所以函数的单调增区间为(－∞，＋∞)． 答案：(－∞，＋∞) 7．已知f(x)满足f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为其导函数，且导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)＜1的解集是　________　. 解析：由f(x)的导函数f′(x)的图象知：f(x)在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，当x≤0时，由f(x)＜1＝f(－2)，得－2＜x≤0，当x＞0时，由f(x)＜1＝f(4)，得0＜x＜4，综上所述：f(x)＜1的解集为(－2,4)． 答案：(－2,4) 8．已知导函数f′(x)的下列信息： 当1＜x＜4时，f′(x)＞0；当x＞4，或x＜1时，f′(x)＜0；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0. 试画出函数f(x)图象的大致形状． 解：当1＜x＜4时，f′(x)＞0，可知f(x)在此区间内单调递增；当x＞4，或x＜1时，f′(x)＜0，可知f(x)在这两个区间内单调递减；当x＝4，或x＝1时，f′(x)＝0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”．综上，函数f(x)图象的大致形状如图所示． [能力提升练] 9．已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y＝f(x)的图象大致是(　　) 解析：C　[由函数y＝xf′(x)的图象可知：当x＜－1时，xf′(x)＜0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增；当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减；当x＞1时，xf′(x)＞0，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增．故选C.] 10．(多选)下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是(　　) A．f(x)＝2x B．f(x)＝sin x－x C．f(x)＝e－x－ex D．f(x)＝－x|x| 解析：BCD　[对于A，f(x)＝2x既不是奇函数也不是偶函数，且单调递增，故A错误；对于B，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝sin(－x)＋x＝－(sin x－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，故是减函数，故B正确； 对于C，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝ex－e－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∵f′(x)＝－e－x－ex＜0，故f(x)是减函数，故C正确；对于D，f(x)的定义域为R，且f(－x)＝x|－x|＝x|x|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又f(x)＝－x|x|＝是减函数，故D正确，故选BCD.] 11．函数y＝xsin x＋cos x，x∈(－π，π)的单调增区间是　__________　. 解析：y′＝x cos x，当－π＜x＜－时，cos x＜0，∴y′＝x cos x＞0； 当－＜x＜0时，cos x＞0，∴y′＝x cos x＜0；当0＜x＜时，cos x＞0，∵y′＝x cos x＞0；当＜x＜π时，cos x＜0，∴y′＝x cos x＜0，故函数的单调增区间是和. 答案：(－π，－)，(0，) 12．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln ＋的图象分别与直线y＝m(m＞0)交于A，B两点，求|AB|的最小值． 解：A(ln m，m)，B(2em－，m)，其中，2em－＞ln m，且m＞0，所以|AB|＝2em－－ln m. 令y＝2ex－－ln x，x＞0，则y′＝2ex－－，令y′＝0，得x＝. 所以当0＜x＜时，y′＜0，当x＞时，y′＞0，所以y＝2ex－－ln x，x＞0在上单调递减，在上单调递增． 所以x＝时，|AB|min＝2＋ln 2. [素养培优练] 13．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2.则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析：B　[构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)＞2，∴g′(x)＝f′(x)－2＞0，∴g(x)是R上的增函数．∴f(x)＞2x＋4⇔g(x)＞0⇔g(x)＞g(－1)，∴x＞－1.] 14．(多选)素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想：π(x)≈，其中π(x)表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大，π(x)的值近似接近的值．从猜想出发，下列推断正确的是(　　) A．当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长速度变慢 B．当x很大时，随着x的增大，π(x)减小 C．当x很大时，在区间(x，x＋n)(n是一个较大常数)内，素数的个数随x的增大而减少 D．因为π(4)＝2，所以π(4)＞ 解析：AC　[设函数f(x)＝，x＞0且x≠1，则f′(x)＝＝－，x＞0且x≠1， fn(x)＝，x＞0且x≠1，当x→＋∞时，f″(x)＜0， 所以当x很大时，随着x的增大，π(x)的增长速度变慢，故A正确； 函数f(x)＝的图象如下图所示： 由图象可得随着x的增大，π(x)并不减小，故B错误；当x很大时，在区间(x，x＋n)(n是一个较大常数)内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而减少，故C正确；≈2.89＞2，故D错误．] 学科网（北京）股份有限公司 $