6.2.1 第1课时 导数与函数的单调性-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

6．2　利用导数研究函数的性质

6．2.1　导数与函数的单调性

第1课时　导数与函数的单调性

[情境引入]

竖直向下抛一兵乒球，乒乓球的高度h是时间t的函数，横轴表示时间t，纵轴表示乒乓球的高度h，观察乒乓球竖直向上的瞬时速度(只考虑其正负)和球的高度变化趋势(上升/下降)，你能得到什么规律？

提示：下降瞬时速度为负，上升瞬时速度为正。

[知识梳理]

[知识点一]　函数单调性与其导数正负的关系　

函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a，b)内，

如果在某个区间内恒有f ′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？

[提示]　f(x)是常数函数．

[知识点二]　函数图象的变化趋势与导数值大小的关系　

一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f ′(x)＜0，则函数f (x)在这个区间上单调递减．(　　)

(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．(　　)

(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．(　　)

(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f ′(x)＝0，不影响函数在此区间的单调性．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能是(　　)

解析：D　[∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x＞0时，f ′(x)＜0，当x＜0时，f′(x)＜0.]

3．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为　________　.

解析：∵f(x)＝ex－x，∴f ′(x)＝ex－1.由f ′(x)＞0得，ex－1＞0，即x＞0.∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

导数与函数图象的关系

[例1]　设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)可能为(　　)

解析：D　[由函数的图象知：当x＜0时，函数单调递增，导数应始终为正；当x＞0时，函数先增后减再增，导数应先正后负再正，对照选项，只有D正确．]

1．利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可．

2．通过图象研究函数单调性的方法

(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；

(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．

[变式训练]

1．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　)

解析：D　[A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则y＝f(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则y＝f(x)应为减函数，也不符合．]