6.1.2 导数及其几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

6．1.2　导数及其几何意义

[情境引入]

前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。

[知识梳理]

[知识点一]　瞬时变化率　

　　　一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，此时，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k.

[知识点二]　导数(瞬时变化率)　

如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .

[知识点三]　导数的几何意义　

1．切线：如图所示，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线．

2．导数的几何意义：割线P0P的斜率k＝，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝　f′(x0)　.

2.曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？

[提示]　曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　)

(2)函数在x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关．(　　)

(3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　)

(4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　)

(5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　)

(6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×

2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　)

A．f′(xA)＞f′(xB)　　 B．f′(xA)＜f′(xB)

C．f′(xA)＝f′(xB)  D．不能确定

解析：B　[由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．]

3．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于　________　.

解析：f′(6)＝ ＝ ＝0.

答案：0

求瞬时速度

[例1]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度．

[思路点拨]

―→

[解]　∵＝

＝＝3＋Δt

∴li ＝li (3＋Δt)＝3.

∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.

即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．

(2)求平均速度＝；

(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度．

2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法

(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算；

(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0只需令Δx＝0，求出结果即可．

[变式训练]

3．若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s)