6.1.2 导数及其几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“导数及其几何意义”核心知识点，从平均变化率过渡到瞬时变化率，明确导数定义，结合几何意义阐释切线斜率，构建从具体实例到抽象概念的知识支架，为导数应用学习奠定基础。 该资料以物理与几何情境引入，通过“一差二比三极限”步骤培养数学思维，设计预习自测、分层练习等环节。课中助力教师引导学生用数学眼光观察现实问题，课后帮助学生查漏补缺，提升数学抽象与直观想象素养，如通过运动路程实例深化瞬时变化率理解。

6．1.2　导数及其几何意义 课程标准 素养解读 1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程． 1.通过学习函数的平均变化率与瞬时变化率的概念，从而达成数学抽象的核心素养． 2.了解导数概念的实际背景，体会极限思想． 2.通过对导数概念学习，达成数学抽象的核心素养． 3.通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3.通过对导数几何意义的理解，提升直观想象的核心素养. [情境引入] 前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。 [知识梳理] [知识点一]　瞬时变化率　 　　　一般地，设函数y＝f(x)在x0附近有定义，自变量在x＝x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率＝无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，此时，也称f(x)在x0处可导，并称k为f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)＝k. [知识点二]　导数(瞬时变化率)　 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . [知识点三]　导数的几何意义　 1．切线：如图所示，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线． 2．导数的几何意义：割线P0P的斜率k＝，记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝　f′(x0)　. 2.曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？ [提示]　曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　　) (2)函数在x0处的导数f′(x0)与x0和Δx都有关．(　　) (3)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (4)函数f(x)＝0没有导函数．(　　) (5)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (6)若f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是(　　) A．f′(xA)＞f′(xB)　　 B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定 解析：B　[由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．] 3．函数f(x)＝2在x＝6处的导数等于　________　. 解析：f′(6)＝ ＝ ＝0. 答案：0 求瞬时速度 [例1]　某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． [思路点拨] ―→ [解]　∵＝ ＝＝3＋Δt ∴li ＝li (3＋Δt)＝3. ∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 1．求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． (2)求平均速度＝； (3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度． 2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法 (1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算； (2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0只需令Δx＝0，求出结果即可． [变式训练] 3．若一物体运动的位移s与时间t关系如下：(位移单位：m，时间单位：s) s＝ 求：(1)物体的初速度v0；(2)物体在t＝1时的瞬时速度． 解： (1)求物体的初速度v0，即求物体在t＝0时的瞬时速度． 因为物体在t＝0附近的平均变化率为＝＝3Δt－18， 所以物体在t＝0处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s. (2)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt－12，所以物体在t＝1处瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12， 即物体在t＝1s时的瞬时速度为－12 m/s. 求函数在一点处的导数 [例2]　(1)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且 ＝1，则f′(x0)等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．－ D. (2)求函数f(x)＝x－在x＝1处的导数． [思路点拨]　(1)类比f′(x0)＝ 求解． (2)→→ (1)解析：C　[∵ ＝ ＝－3f′(x0)＝1，∴f′(x0)＝－，故选C.] (2)解：∵Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋1－＝Δx＋， ∴＝＝1＋， ∴f′(1)＝ ＝ ＝2. 求函数y＝f(x)在x0处的导数的三个步骤 简称：一差、二比、三极限． [变式训练] 2．已知f′(1)＝－2，则 ＝　________　. 解析：∵f′(1)＝－2，∴ ＝ ＝－2 ＝－2f′(1)＝－2×(－2)＝4. 答案：4 2．求函数y＝3x2在x＝1处的导数． [解]　∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴＝6＋3Δx，∴f′(1)＝ ＝ (6＋3Δx)＝6. 实际问题中的瞬时变化率问题 [例3]　枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s，求枪弹射出枪口时的瞬时速度． 解：位移公式为s＝at2，∵Δs＝a(t0＋Δt)2－at＝at0Δt＋a(Δt)2，∴＝at0＋aΔt， ∴ ＝ ＝at0.将a＝5.0×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s代入得at0＝800 m/s. ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s. 在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt是时间间隔，可任意小，但绝不能认为是0. [变式训练] 4．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min) (1)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0 min到t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？ (3)求T′(5)，并说明它的实际意义． 解：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23，故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率为＝－＝－1.6. 它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)T′(5)＝ ＝ －1.2， 它表示t＝5 min时蜥蜴体温下降的速度为1.2 ℃/min. 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 [例4]　已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程． [解](1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，∴切点P(1,1)． y′|x＝1＝ ＝ ＝[3＋3Δx＋Δx2]＝3. ∴k＝y′|x＝1＝3. ∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0. (2)设切点为Q(x0，y0)，由(1)可知y′|x＝x0＝3x，由题意可知kPQ＝y′|x＝x0， 即＝3x，又y0＝x，所以＝3x，即2x－x0－1＝0，解得x0＝1或x0＝－. ①当x0＝1时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3x－y－2＝0. ②当x0＝－时，切点坐标为，相应的切线方程为y＋＝，即3x－4y＋1＝0. [母题变式] 第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ [解]　由y＝3x－2，y＝x3， 解得x＝1，y＝1，或x＝－2，y＝－8， 从而求得公共点为P(1,1)或M(－2，－8)， 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另一公共点(－2，－8)． 利用导数的几何意义求切线方程的方法 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程． [变式训练] 5．已知曲线y＝2x2－7，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0? (2)曲线过点P(3,9)的切线方程． 解：y′＝ ＝ ＝ (4x＋2Δx)＝4x. (1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x－y－2＝0. (2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得9－(2x－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0. [当堂达标] 1．函数y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：B　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx，则＝＝3，∴当Δx趋于0时，趋于3.] 2．(多选)若f(x)＝x3＋x－1，f′(x0)＝4，则x0的值为(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 解析：AB　[f′(x0)＝ ＝ ＝[3x＋1＋3x0·Δx＋(Δx)2]＝3x＋1＝4.解得x0＝±1.] 3．设函数f(x)在x＝1处存在导数，其值为2，则 ＝　________　. 解析：由极限的运算法则结合导函数的定义可得 ＝ ＝×f′(1)＝. 答案： 4．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)；(2)f ′(1)． [解]　(1)＝＝ ＝2＋Δx. (2)f ′(1)＝ ＝ (2＋Δx)＝2. [基础达标练] 1．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(　　) 解析：A　[函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，由导数的几何意义可知，曲线y＝f(x)在区间[a，b]上各点处的切线斜率是逐渐增大的，只有A选项符合．] 2．若 ＝1(m为常数)，则f′(x0)等于(　　) A．－m　　　　　　 B．1 C．m D. 解析：D　[由题意，根据导数的概念可得， ＝m· ＝mf′(x0)＝1，所以f′(x0)＝.] 3．已知函数f(x)＝ax＋4，若 ＝2，则实数a的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析：A　[根据题意，知 ＝ ＝a＝2 .] 4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是(　　) A．(1,1) B．(－1,1) C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)或(－2，－8) 解析：C　[因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．] 5．(多选)下列命题正确的是(　　) A．若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处无切线 B．函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点 C．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则当Δx→0时，＝1 D．若函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，且f(1)＝2，则f(x)的图象在x＝1处的切线方程为x＋y－3＝0 解析：BD　[若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x0处的切线斜率为0，故选项A错误；函数y＝f(x)的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数f(x)＝x3－3x，在x＝1处的切线为y＝－2，与函数的图象还有一个公共点(－2，－2)点，故选项B正确；因为曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，所以f′(1)＝2，又 ＝－ ＝－f′(1)＝－1≠1，故选项C错误； 因为函数f(x)的导数f′(x)＝x2－2，所以f′(1)＝12－2＝－1，又f(1)＝2，所以切点坐标为(1,2)，斜率为－1，所以切线方程为y－2＝－(x－1)，化简得x＋y－3＝0，故选项D正确．] 6．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝　________　. 解析：∵f ′(1)＝2，又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f (1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴＝2. 答案：2 7．(多空题)函数y＝在x＝x0(x0≠0)处的导数为　________　，在点　________　处的导数为. 解析：Δy＝－，＝＝， ＝，所以y′|x＝x0＝ .令＝，得x0＝1，此时y0＝＝1，即函数y＝在点(1,1)处的导数为. 答案：　(1,1) 8．设函数f (x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f (x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值． 解析：∵Δy＝f (x＋Δx)－f (x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3， ∴＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2， ∴f ′(x)＝ ＝3x2＋2ax－9＝32－9－≥－9－. 由题意知f ′(x)的最小值是－12， ∴－9－＝－12，即a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3. [能力提升练] 9．函数f(x)的图象如图所示，则下列数值排序正确的是(　　) A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2) B．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2) C．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2) D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3) 解析：B　[如图所示，f′(2)是函数f(x)的图象在x＝2(即点A)处切线的斜率k1，f′(3)是函数f(x)的图象在x＝3(即点B)处切线的斜率k2，＝f(3)－f(2)＝kAB是割线AB的斜率． 由图象知，0＜k2＜kAB＜k1，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)．] 10．(多选)下列求导数运算正确的有(　　 ) A．(sin x)′＝cos x　　 B.′＝ C．(log3x)′＝ D．(ln x)′＝ 解析：AD　[因为(sin x)′＝cos x，′＝－，(log3x)′＝，(ln x)′＝，所以A、D正确．] 11．若抛物线y＝2x2＋1与直线4x－y＋m＝0相切，则m＝　________　. 解析：设切点为P(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2，＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2，所以＝4x0＋2Δx.当Δx→0时，→4x0，即f′(x0)＝4x0，所以4x0＝4，所以x0＝1，y0＝3，将(1,3)代入直线4x－y＋m＝0，得m＝－1. 答案：－1 12．利用导数的定义，求f(x)＝在x＝1处的导数f ′(1)． 解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－＝－， ∴＝， ∴f′(1)＝ ＝ .＝ ＝ [素养培优练] 13．曲线f(x)＝x3－(x＞0)上一动点P(x0，f(x0))处的切线斜率的最小值为(　　) A.　　 B．3　　　C．2　　　D．6 解析：C　[f(x)＝x3－(x＞0)的导数f′(x)＝3x2＋， ∴在该曲线上点(x0，f(x0))处切线斜率 k＝3x＋， 由函数的定义域知 x0＞0， ∴k≥2＝2，当且仅当3x＝，即x＝时，等号成立．∴k的最小值为2.] 14．已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋c的导数为f ′(x)，f ′(0)＞0，对于任意实数x，有f (x)≥0，则的最小值为　________　. 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝ ＝ ＝ (a·Δx＋b)＝b.因为对于任意实数x，有f (x)≥0，则所以ac≥，所以c＞0，所以＝≥≥＝2. 答案：2 学科网（北京）股份有限公司 $