6.1.1 函数的平均变化率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

6．1　导数

6．1.1　函数的平均变化率

[情境引入]

药物在动物体内的含量随时间变化的规律，是药学与数学间的边缘学科——药物动力学的研究内容，相关的规律是确定药物的使用量和用药时间间隔的依据，他克莫司是一种新型免疫抑制剂，在器官移植临床中的应用非常广泛，已知某病人服用他克莫司th后血药浓度w μg/L的一些对应数据如下表所示，

(1)当t∈[0.5,1]和t∈[1,1.5]时，w都是增加的，哪个时段w的增加更快？

(2)当t∈[3,5]时，平均每小时w的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？

[知识梳理]

[知识点一]　函数的平均变化率　

一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量，称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量，称＝(或＝)为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的　平均变化率　.

[知识点二]　函数平均变化率的几何意义(以直代曲)　

如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，

f(x1))，B(x2，f(x2))．事实上，kAB＝＝.

在平均变化率中，Δx，Δy，是否可以等于0？当平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数．

[提示]　Δx可以为正数，可以为负数，但不可以为0；Δy可以为0；可以为0.当平均变化率等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数．例如函数f(x)＝x2在区间[－2,2]的平均变化率是0，但它不是常数函数．

[知识点三]　平均速度与平均变化率　

从物理学中我们知道，平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢，如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1＜t2时)这段时间内的平均速率为(m/s)．这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率．即Δx＝

[预习自测]

1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　　)

A．2.1　　　　　　　 B．1.1

C．2  D．0

解析：A　[＝＝＝2.1.]

2．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　________　.

解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：

，，，

结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．

答案：[x3，x4]

3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　)

A.＝＝

B.＝

C.＝

D.＝

解析：A　[由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以＝＝.]

求函数的平均变化率

[例1]　已知函数f(x)＝2x2＋1.

(1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率；

(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．

[思路点拨]　先计算函值的改变量Δy，再求Δx，最后求.

解：(1)由f(x)＝2x2＋1，

得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2，

Δx＝2.01－2＝0.01，

∴＝＝8.02.

(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)

＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1

＝2Δx(2x0＋Δx)，

∴＝＝4x0＋2Δx.

求平均变化率的步骤