6.1.1 函数的平均变化率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦函数的平均变化率核心知识点，前承函数基本概念，后启导数概念，通过情境引入、定义解析、几何意义阐释及物理意义关联，构建“实际问题→数学抽象→数形结合→应用拓展”的学习支架，帮助学生逐步理解概念本质。 以药物动力学血药浓度变化为情境引入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过定义推导与几何意义分析培养数学思维，结合平均速度等实例强化数学语言表达。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

6．1　导数 6．1.1　函数的平均变化率 课程标准 素养解读 1.理解函数平均变化率的概念． 2.会求函数的平均变化率． 3.会利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题. 　　通过具体问题的思考和分析，提出计算平均变化率的问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。 [情境引入] 药物在动物体内的含量随时间变化的规律，是药学与数学间的边缘学科——药物动力学的研究内容，相关的规律是确定药物的使用量和用药时间间隔的依据，他克莫司是一种新型免疫抑制剂，在器官移植临床中的应用非常广泛，已知某病人服用他克莫司th后血药浓度w μg/L的一些对应数据如下表所示， (1)当t∈[0.5,1]和t∈[1,1.5]时，w都是增加的，哪个时段w的增加更快？ (2)当t∈[3,5]时，平均每小时w的变化量为多少？这里的平均每小时的变化量有什么实际意义？ x 0 0.5 1 1.5 2 3 5 8 w 0 6.6 28.6 39.1 31 22.7 8.8 8.3 [知识梳理] [知识点一]　函数的平均变化率　 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则称Δx＝x2－x1为自变量的改变量，称Δy＝y2－y1(或Δf＝f(x2)－f(x1))为相应的因变量的改变量，称＝(或＝)为函数y＝f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的　平均变化率　. [知识点二]　函数平均变化率的几何意义(以直代曲)　 如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))．事实上，kAB＝＝. 在平均变化率中，Δx，Δy，是否可以等于0？当平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数． [提示]　Δx可以为正数，可以为负数，但不可以为0；Δy可以为0；可以为0.当平均变化率等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数．例如函数f(x)＝x2在区间[－2,2]的平均变化率是0，但它不是常数函数． [知识点三]　平均速度与平均变化率　 从物理学中我们知道，平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢，如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x＝h(t)，则物体在[t1，t2](t1＜t2时)这段时间内的平均速率为(m/s)．这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x＝h(t)在该段时间内的平均变化率．即Δx＝ [预习自测] 1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为(　　) A．2.1　　　　　　　 B．1.1 C．2 D．0 解析：A　[＝＝＝2.1.] 2．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　________　. 解析：由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为： ，，， 结合图像可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]． 答案：[x3，x4] 3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　) A.＝＝ B.＝ C.＝ D.＝ 解析：A　[由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以＝＝.] 求函数的平均变化率 [例1]　已知函数f(x)＝2x2＋1. (1)求函数f(x)在[2,2.01]上的平均变化率； (2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． [思路点拨]　先计算函值的改变量Δy，再求Δx，最后求. 解：(1)由f(x)＝2x2＋1， 得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2， Δx＝2.01－2＝0.01， ∴＝＝8.02. (2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1 ＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴＝＝4x0＋2Δx. 求平均变化率的步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)． (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0. (3)求平均变化率＝. [变式训练] 1．求函数y＝f(x)＝2x2＋3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝时该函数的平均变化率． 解：当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝ ＝＝ ＝4x0＋2Δx. 当x0＝2，Δx＝时， 平均变化率的值为4×2＋2×＝9. 求运动物体的平均速度 [例2]　已知一物体的运动方程为f(t)＝3t2＋5， 求(1)f(t)从0.1到0.2的平均速度； (2)f(t)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均速度． [解]　(1)因为f(t)＝3t2＋5， 所以从0.1到0.2的平均速度为 ＝0.9. (2)f(t0＋Δt)－f(t0)＝3(t0＋Δt)2＋5－(3t＋5)＝3t＋6t0Δt＋3(Δt)2＋5－3t－5＝6t0Δt＋3(Δt)2. 函数f(t)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均速度为＝6t0＋3Δt. 1．求运动物体的平均速度的步骤 第一步，求时间的改变量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的变化量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均速度＝. 2．求平均速度的一个关注点 求点x0附近的平均速度，可用的形式． [变式训练2] (1)如图所示，运动方程y＝f(x)在A，B两点间的平均速度等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 解析：B　[平均速度为＝－1.故选B.] (2)已知运动方程y＝f(x)＝2x2的图象上点P(1,2)及邻近点Q(1＋Δx,2＋Δy)，则的值为(　　) A．4 B．4x C．4＋2Δx2 D．4＋2Δx 解析：D　[＝＝4＋2Δx.故选D.] [当堂达标] 1．已知函数y＝2＋，当x由1变到2时，函数的改变量Δy等于(　　) A. B．－ C．1 D．－1 解析：B　[Δy＝－(2＋1)＝－.] 2．函数f(x)＝5x－3在区间[a，b]上的平均变化率为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：C　[平均变化率为＝＝5.] 3．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为　________　℃/h. 解析：＝＝－(℃/h)． 答案：－ 4．在曲线y＝x2＋2的图像上取点(1,3)及邻近的一点(1＋Δx,3＋Δy)，则为(　　) A．Δx＋＋2 B．Δx＋2 C．Δx＋ D．Δx＋＋2 解析：B　[Δy＝(x＋Δx)2＋2－(x2＋2)＝2xΔx＋Δx2， ＝2x＋Δx， 当x＝1时，＝2＋Δx.故选B.] [基础达标练] 1．在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx应满足(　　) A．Δx＞0　　　　　 B．Δx＜0 C．Δx≠0 D．Δx可为任意实数 解析：C　[因平均变化率为，故Δx≠0.] 2．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为(　　) A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6 C．3Δt－6 D．－3Δt－6 解析：D　[＝＝－6－3Δt.] 3．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是(　　) A．甲 B．乙 C．相同 D．不确定 解析：B　[由图象知乙的斜率比甲的斜率小，但乙的斜率绝对值大，即变化快．] 4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为(　　) A．v2＝v3＜v1 B．v1＜v2＝v3 C．v1＜v2＜v3 D．v2＜v3＜v1 解析：C　[由题意得，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC，由题图易知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3.] 5．(多选)甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位：年)的函数关系如图所示. 现有下列四种说法正确的有(　　) A．前四年该产品产量增长速度越来越快 B．前四年该产品产量增长速度越来越慢 C．第四年后该产品停止生产 D．第四年后该产品年产量保持不变． 解析：BD　[设产量与时间的关系为y＝f(x)，由题图可知f(4)－f(3)＜f(3)－f(2)＜f(2)－f(1)＜f(1)，则前四年该产品产量增长速度越来越慢，故A错误，B正确，由题图可知从第四年开始产品产量不发生变化，且f(4)≠0，故C错误，D正确，故说法正确的有BD.] 6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，且y＝f(x)在[2，a]上的平均变化率为，则a＝　________　. 解析：Δy＝f(a)－f(2)＝a2－2a＋3－(4－4＋3)＝a2－2a， 又Δx＝a－2， ∴平均变化率＝＝a＝. 答案： 7．正弦函数y＝sinx在区间上的平均变化率k1与它在区间上的平均变化率k2的大小关系是　________　. 解析：k1＝＝， k2＝＝， ∴k1＞k2. 答案：k1＞k2 8．已知函数f(x)＝x＋，分别计算f(x)在区间[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较在两个区间上的变化的快慢． 解：自变量x从1变化到2时，函数f(x)的平均变化率为＝＝. 自变量x从3变化到5时，函数f(x)的平均变化率为＝＝， 由于＜， 所以函数f(x)＝x＋在[1,2]上的平均变化比在[3,5]上的平均变化慢． [能力提升练] 9．两个学校W1、W2开展节能活动，活动开始后两学校的用电量W1(t)、W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有(　　) A．W1比W2节能效果好 B．W1的用电量在[0，t0]上的平均变化率比W2的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 C．两学校节能效果一样好 D．W1与W2自节能以来用电量总是一样大 解析：A　[由图象可知，对任意的t1∈(0，t0)，曲线W＝W1(t)在t＝t1处的切线比曲线W＝W2(t)在t＝t1处的切线要“陡”，所以，W1比W2节能效果好，A正确，C错误； 由图象可知，＜，则W1的用电量在[0，t0]上的平均变化率比W2的用电量在[0，t0]上的平均变化率要小，B选项错误；由于曲线W＝W1(t)和曲线W＝W2(t)不重合，D选项错误．] 10．(多选)为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为c＝f(t)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示． 给出下列四个结论正确的是(　　) A. 在t1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； B．在t2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同； C. 在[t2，t3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； D. 在[t1，t2]，[t2，t3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同． 解析：ACD　[A，t1时刻为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B，甲、乙两人在t2时刻的切线的斜率不相等，即两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C，根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故C正确；D，在[t1，t2]时间段，甲的平均变化率是，在[t2，t3]时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故D正确．] 11．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率为2，则t＝　________　. 解析：因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2， 所以＝＝2， 即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)． 答案：5 12．已知s(t)＝5t2(位移单位：m，时间单位：s)． (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度； 解：(1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1， Δs＝s(3.1)－s(3) ＝5×(3.1)2－5×32 ＝5×(3.1－3)×(3.1＋3)， ∴＝＝30.5(m/s)． (2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01， Δs＝s(3.01)－s(3)， ＝5×(3.01)2－5×32 ＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)， ∴＝＝30.05(m/s)． [素养培优练] 13．路灯距离地面8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为　________　 m/s. 解析：如图，设S为路灯，人的高度AB，则AB＝1.6 m,84 m/min＝ m/s，t s时人的影子长AC＝h，由直角三角形相似得＝，h＝t m．则人影长度的变化速率为＝＝. 答案： 14．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)＝＋15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min)． (1)从t＝0到t＝10，晰蜴的体温下降了多少？ (2)从t＝0到t＝10，晰蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解：(1)在t＝0和t＝10时，蜥蜴的体温分别为T(0)＝＋15＝39，T(10)＝＋15＝23， 故从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温下降了16℃. (2)平均变化率为＝－＝－1.6. 它表示从t＝0到t＝10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6℃. 学科网（北京）股份有限公司 $