5.5 数学归纳法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．5　数学归纳法

[情境引入]

如图是多米诺骨牌游戏，码放骨牌时， 要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．根据多米诺骨牌游戏原理，本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法．

[知识梳理]

[知识点]　数学归纳法　

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取　第一个值n0　(n0∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当　n＝k＋1　时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?

[提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　 )

(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　 )

(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　 )

答案　(1)×　(2)×　(3)√

2．下面四个判断中，正确的是(　　)

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1

B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k

C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋

D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋

解析：C　[A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋＋；D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C.]

3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有　________　.

答案：f(2n)＞

用数学归纳法证明等式

[例1]　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．

证明　当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．

假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.

那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，

即当n＝k＋1时等式也成立．

综上所述，可知等式对任何n∈N*都成立．

用数学归纳法证明等式的方法

[变式训练]

1．用数学归纳法证明：＋＋…＋

＝(n∈N*)．

证明①当n＝1时，＝成立．

②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝，

即当n＝k＋1时等式也成立．

由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立．

归纳—猜想—证明

[例2]　已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明．

[解]　S1＝ ＝ ；

S2＝ ＋ ＝ ；

S3＝ ＋ ＝ ；

S4＝ ＋ ＝ .

可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1.

于是可以猜想Sn＝ .

下面用数学归纳法证明这个猜想．

(1)当n＝1时，左边＝S1＝ ，右边＝ ＝ ＝ ，猜想成立．