5.5 数学归纳法-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．5　数学归纳法 课程标准 素养解读 1.了解数学归纳法的原理． 在学习数学归纳法的过程中达成数学抽象、逻辑推理的核心素养 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. [情境引入] 如图是多米诺骨牌游戏，码放骨牌时， 要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下．根据多米诺骨牌游戏原理，本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法． [知识梳理] [知识点]　数学归纳法　 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取　第一个值n0　(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当　n＝k＋1　时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? [提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　 ) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　 ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　 ) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．下面四个判断中，正确的是(　　) A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋k C．式子1＋＋＋…＋(n∈N*)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋ D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋ 解析：C　[A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋＋；D中，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋－.故正确的是C.] 3．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)＞2，f(8)＞，f(16)＞3，f(32)＞，由此推测，当n＞2时，有　________　. 答案：f(2n)＞ 用数学归纳法证明等式 [例1]　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)． 证明　当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． 假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 综上所述，可知等式对任何n∈N*都成立． 用数学归纳法证明等式的方法 [变式训练] 1．用数学归纳法证明：＋＋…＋ ＝(n∈N*)． 证明①当n＝1时，＝成立． ②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立． 归纳—猜想—证明 [例2]　已知数列，，，…，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明． [解]　S1＝ ＝ ； S2＝ ＋ ＝ ； S3＝ ＋ ＝ ； S4＝ ＋ ＝ . 可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n＋1. 于是可以猜想Sn＝ . 下面用数学归纳法证明这个猜想． (1)当n＝1时，左边＝S1＝ ，右边＝ ＝ ＝ ，猜想成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时猜想成立，即 ＋ ＋ ＋… ＋＝ ， 则当n＝k＋1时， ＋ ＋ ＋… ＋＋ ＝ ＋＝＝＝，所以，当n＝k＋1时猜想也成立． 根据(1)和(2)，可知猜想对任意n∈N*都成立． 1．“归纳—猜想—证明”的一般环节 2．“归纳—猜想—证明”的主要题型 ①已知数列的递推公式，求通项或前n项和． ②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． ③给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． [变式训练] 2．数列{an}满足Sn＝2n－an(Sn为数列{an}的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明． [解]　由a1＝2－a1，得a1＝1； 由a1＋a2＝2×2－a2，得a2＝ ； 由a1＋a2＋a3＝2×3－a3，得a3＝ ； 由a1＋a2＋a3＋a4＝2×4－a4，得a4＝ . 猜想an＝ . 下面证明猜想正确： (1)当n＝1时，由上面的计算可知猜想成立． (2)假设当n＝k时猜想成立，则有ak＝ ， 当n＝k＋1时，Sk＋ak＋1＝2(k＋1)－ak＋1， ∴ak＋1＝＝k＋1－ (2k－ )＝ ， 所以，当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)和(2)可知，an＝ 对任意正整数n都成立． 数学归纳法的综合应用 [例3]　已知{an}为等比数列且an＝2n－1，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，用数学归纳法证明对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立． 证明　由已知条件可得bn＝2n(n∈N*)，∴所证不等式为··…·＞. (1)当n＝1时，左边＝，右边＝，左边＞右边，∴不等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立．即··…·＞， 则当n＝k＋1时，··…··＞·＝ . 要证当n＝k＋1时，不等式成立，只需证≥，即证≥， 由基本不等式，得＝≥成立， ∴ ≥成立，∴当n＝k＋1时，不等式成立． 由(1)(2)可知，对一切n∈N*，原不等式均成立． 用数学归纳法证明不等式问题时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标，在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都适用． [变式训练] 已知正项数列{an}中，对于一切的n∈N*均有a≤an－an＋1成立． (1)证明：数列{an}中的任意一项都小于1； (2)探究an与的大小关系，并证明你的结论． 证明　(1)由a≤an－an＋1，得an＋1≤an－a. ∵在数列{an}中，an＞0，∴an＋1＞0，∴an－a＞0，∴0＜an＜1， 故数列{an}中的任何一项都小于1. (2)由(1)知，0＜a1＜1＝，那么a2≤a1－a＝－2＋≤＜，由此猜想an＜. 下面用数学归纳法证明：当n≥2，且n∈N*时猜想正确． ①当n＝2时已证； ②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时，有ak＜成立， 那么≤，ak＋1≤ak－a＝－2＋＜－2＋＝－＝＜＝，∴当n＝k＋1时，猜想正确． 综上所述，对于一切n∈N*，都有an＜. [当堂达标] 1. 用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(　　) A．1　　　　　　　　 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 解析：C　[当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．] 2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 解析：D　[结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋.] 3．用数学归纳法证明：＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是　________　. 解析：从不等式结构看，左边n＝k＋1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边n＝k＋1时，式子为－，即不等式为＋＋…＋＞－. 答案：＋＋…＋＞－ 4．用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N*时，·…·＝ 解析：证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时等式成立， 即·…·＝， 那么当n＝k＋1时，·…· ＝·＝＝ ＝.∴当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立． [基础达标练] 1．用数学归纳法证明等式，1＋2＋3＋…＋2n＝n(2n＋1)时，由n＝k到n＝k＋1时，等式左边应添加的项是(　　) A．2k＋1 B．2k＋2 C．(2k＋1)＋(2k＋2) D．(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k 解析：C　[因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由n＝k到n＝k＋1时，等式左边增加了[1＋2＋3＋…＋2k＋(2k＋1)＋2(k＋1)]－(1＋2＋3…＋2k)＝(2k＋1)＋(2k＋2)．] 2．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证(　　) A．n＝1　 B．n＝2　　C．n＝3　　D．n＝4 解析：C　[由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．] 3．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为(　　) A．Sk＋　　　 B．Sk＋＋ C．Sk＋－ D．Sk＋－ 解析：C　[因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，① 得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.② 由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－＝－，故Sk＋1＝Sk＋－.] 4．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，那么f(n＋1)与f(n)之间的关系为(　　) A．f(n＋1)＝f(n)＋n B．f(n＋1)＝f(n)＋2n C．f(n＋1)＝f(n)＋n＋1 D．f(n＋1)＝f(n)＋n－1 解析：B　[依题意得，由n个圆增加到n＋1个圆，增加了2n个交点，这2n个交点将新增的圆分成2n段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了2n块区域，因此f(n＋1)＝f(n)＋2n.] 5．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某学生利用数学归纳法证明过程如下： (1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立． (2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 解析：D　[n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.] 6．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是　________　. 解析：当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，当n＝k＋1时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)． 答案：2k＋2 7．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为　________　. 解析：a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝. 答案：an＝ 8．用数学归纳法证明： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)． 证明：(1)①当n＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·. 则当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2 ＝(－1)k(k＋1)·＝ (－1)k·. ∴当n＝k＋1时，等式也成立， 根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立． [能力提升练] 9．用数学归纳法证明： f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)的过程中，从n＝k到n＝k＋1时，f(k＋1)比f(k)共增加了(　　) A．1项 B．2k－1项 C．2k＋1项 D．2k项 解析：D　[由题意，n＝k时，最后一项为，n＝k＋1时，最后一项为＝＝ 所以由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加的项为＋＋…＋，增加了2k项．] 10．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋＜1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是(　　) A．增加了这一项 B．增加了和两项 C．增加了和两项，同时减少了这一项 D．以上都不对 解析：C　[不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．] 11．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2时，若已假设n＝k(k..2，k偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝　____________　时等式成立． 解析：假设当n＝k(k≥2且k为偶数)时，命题成立，即1－＋－＋…＋－＝2成立，由于是对所有正偶数命题成立，则归纳推广时，应该是再证明取下一个偶数时，命题也成立．所以应证明当n＝k＋2时，等式也成立，故答案为k＋2. 答案：k＋2 12．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n都满足(Sn－1)2＝anSn. (1)求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明(1)中猜想的Sn的表达式的正确性． 解析：(1)当n＝1时，(S1－1)2＝S，∴S1＝，当n≥2时，(Sn－1)2＝(Sn－Sn－1)Sn，∴Sn＝， ∴S2＝，S3＝， 猜想Sn＝，n∈N*； (2)下面用数学归纳法证明： ①当n＝1时，S1＝，＝，猜想正确； ②假设n＝k时，猜想正确，即Sk＝， 那么当n＝k＋1时， 可得Sk＋1＝＝＝， 即n＝k＋1时，猜想也成立． 综上可知，对任意的正整数n，Sn＝都成立． [素养培优练] 13．(多选)数列{an}满足an＋1＝－a＋an(n∈N*)，a1∈，则以下说法正确的为(　　) A．0＜an＋1＜an； B．a＋a＋a＋…＋a＜a1； C．对任意正数b，都存在正整数m使得＋＋＋…＋＞b成立； D．an＜. 解析：ABCD　[an＋1＝－a＋an＝－(an－)2＋，若an∈，则an＋1∈，∴an＋1－an＝－a＜0，∴0＜an＋1＜an，A正确；由已知a＝an－an＋1， ∴a＋a＋…＋a＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)＝a1－an＋1＜a1，B正确；由a1∈及①得＜1－an＜1,1＜＜2， ∴＋＋…＋＞n，显然对任意的正数b存在正整数m，使得m＞b，此时＋＋＋…＋＞b成立，C正确； (i)已知a1＜成立，(ⅱ)假设an＜，则an＋1＝－a＋an＝－2＋＜－2＋，又－＋－＝－＜0，即－＋＜，∴an＋1＜，由数学归纳法思想得D正确．] 14．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为　________________　，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是　______________________________　. 解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1. 答案：1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 学科网（北京）股份有限公司 $