5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　等差数列前n项和的应用 课程标准 素养解读 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2.会求等差数列前n项和的最值. 1.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养． 2.在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示． 如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？ 椅子总数×8＝456(把) [知识梳理] [知识点一]　等差数列{an}的前n项和Sn的性质　 性质1 等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列 性质2 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)； 若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0) 性质3 {an}为等差数列⇒为等差数列 　　若{an}是公差为d的等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？ [提示]　(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d， (a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d. ∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列． [知识点二]　等差数列{an}前n项和公式的函数特征 　 1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝　n2＋n　.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的　二次　函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1＞0，d＜0时，Sn有　最大　值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1＜0，d＞0时，Sn有　最小　值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有　最小　值；当d＜0时，Sn 有　最大　值．当n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．(　　) (2)若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.(　　) (3)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)　√ 2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为(　　) A．160 B．180 C．200 D．220 解析：B　[由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8， 由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.] 3．等差数列{an}的前m项和Sm为20，前3m项和S3m为90，则数列{an}的前2m项和S2m的值是　________　. 解析：由题意知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∵2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m， ∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50. 答案：50 4．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值． 解：(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9， 得解得 所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N*. (2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2. 因为Sn＝－(n－5)2＋25， 所以当n＝5时，Sn取得最大值． 等差数列前n项和性质的应用 [例1]　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m； (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值． [解析]　(1)方法一　在等差数列中， ∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， ∴30,70，S3m－100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210. 方法二　在等差数列中，，，成等差数列， ∴＝＋. 即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210. (2)＝＝＝＝＝. 利用等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． [变式训练] 1．一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和． 解：方法一　设Sn＝an2＋bn. ∵S10＝100，S100＝10， ∴ 解得 ∴Sn＝－n2＋n. ∴S110＝－×1102＋×110＝－110. 方法二　S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 ＝90·＝－90， ∴＝－1， ∴S110＝＝－110. 等差数列前n项和的最值问题 [例2]　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． 解：(1)由题意得解得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12. (2)方法一　Sn＝＝(3n2－21n)＝2－， ∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18. 方法二　设Sn最小，则即 解得3≤n≤4，又n∈N*，当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18. [母题变式] 1．将本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值． [解]　S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0，故Sn有最大值，an＝a3＋(n－3)d＝28－n. 设Sn最大，则解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378. 2．在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n. [解]　方法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x＝，所以当x＝0或x＝7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N*，所以S7＝0，所以n＝7. 方法二　因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7. 3．将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大． [解]　方法一　要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大． 由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大． 方法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大． 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 1．利用an： (1)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 2．利用Sn：由Sn＝n2＋n(d≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n的值． 3．利用二次函数的图象的对称性． [变式训练] 2．在等差数列{an}中a1＝25，S17＝S9，求其前n项和Sn的最大值． [解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d，解得d＝－2. ∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169. ∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：同法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. ∵a1＝25＞0， 由得 又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. ∵a1＞0，∴d＜0.∴a13＞0，a14＜0.∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法四：设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17， ∴二次函数对称轴为x＝＝13，且开口方向向下， ∴当n＝13时，Sn取得最大值169. 数列{|an|}的前n项和 [例3]　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2 (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′. [思路点拨]　(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项． (2)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解． [解]　(1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n. (2)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0. 所以当n≤17时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当n≥18时， Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an)＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544. 故Sn′＝ 求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题． [变式训练] 3．数列{an}的前n项和Sn＝－＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn. [解]　a1＝S1＝－×12＋×1＝101. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－＝－3n＋104. ∵n＝1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)． 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7. 即当n≤34时，an＞0；当n≥35时，an＜0. (1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n； (2)当n≥35时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn ＝2－＝n2－n＋3 502. 故Tn＝ 等差数列前n项和的应用问题 [例4]　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ [解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500， 而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500＞480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. [变式训练] 4．某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800. 由S20＝20a1＋20××2＝800，可得：a1＝21， 因此，第1排应安排21个座位． [当堂达标] 1．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，有下列四个命题正确的是(　　) A．d＜0； B．S11＞0； C．S12＜0； D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析：AB　[∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确．又S11＝(a1＋a11)＝11a6＞0，B正确．S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，C不正确．{Sn}中最大项为S6，D不正确．故正确的是AB.] 2．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是　________　. 解析：由|a5|＝|a9|且d＞0得a5＜0，a9＞0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小． 答案：6或7 3．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是　________　 min. 解析：由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列，∴n min内通过的路程为Sn＝2n＋×2＝n2＋n＝n(n＋1)．即n(n＋1)＝240，解得n＝15. 答案：15 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． [解]　(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. [基础达标练] 1．为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为(　　) A．34000米　　　　 B．36000米 C．38000米 D．40000米 解析：B　[根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，则a1＋a2＋a3＝3a2＝3600，故a2＝1200，a13＋a14＋a15＝3a14＝10800，故a14＝3600，则Sn＝(a1＋a15)×15＝(a2＋a14)×15＝36000.故选：B.] 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9＞a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：B　[由7a5＋5a9＝0，得＝－.又a9＞a5，所以d＞0，a1＜0.因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.] 3．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元．他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行的天数为(　　) A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 解析：A　[设他们每天收到的捐款形成数列{an}，则由题可得{an}是首项为10，公差为10的等差数列，∴Sn＝10n＋×10＝1200，解得n＝－16(舍去)或n＝15，所以这次募捐活动一共进行的天数为15天．故选：A.] 4．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 014＝S2 019，Sk＝S2 012，则正整数k为(　　) A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021 解析：D　[因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 014＝S2 019，Sk＝S2 012，可得＝，解得k＝2 021.] 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，则数列{an}(　　) A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 解析：C　[∵数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，令t＝n－1，t∈(0,1]，t是减函数， 则an＝t2－t＝2－， 由复合函数单调性知an先递减后递增． 故有最大项和最小项，选C.] 6．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为　________　. 解析：∵∴∴Sn的最大值为S5. 答案：S5 7．(多空题)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修费是　________　万元，前10年维修费总和为　________　万元． 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，所以a5＝4×5＋8＝28(万元)，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元)． 答案：28　300 8．如图，某报告厅的座位是这样排列的：第一排有9个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位，共有10排座位． (1)求第六排的座位数； (2)某会议根据疫情防控的需要，要求：同排的两个人至少要间隔一个座位就坐，且前后排要错位就坐．那么该报告厅里最多可安排多少人同时参加会议？ (提示：每一排从左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，就可保证安排的参会人数最多) 解析：(1)依题意，得每排的座位数会构成等差数列{an}，其中首项a1＝9，公差d＝2，所以第六排的座位数a6＝a1＋(6－1)d＝19. (2)因为每排的座位数是奇数，为保证同时参会的人数最多，第一排应坐5人，第二排应坐6人，第三排应坐7人，……，这样，每排就坐的人数就构成等差数列{bn}，首项b1＝5，公差d′＝1，所以数列前10项和S10＝b1＋×d′＝95. 故该报告厅里最多可安排95人同时参加会议． [能力提升练] 9．(多选)等差数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝，Sm＝(m，n∈N*，m≠n)，则下列各值中可以为Sm＋n的值的是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：CD　[因为等差数列{an}的前n项和Sn，所以可设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)，因为Sn＝，Sm＝(m，n∈N*，m≠n)， 所以，即， 解得， 所以Sm＋n＝A(m＋n)2＝＝＋2≥＋2＝4，当且仅当m＝n时等号成立，又m≠n，所以等号不能取得，因此Sm＋n＞4，故CD正确，AB错．故选：CD.] 10．(多选)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝3，an＋3＋(－1)nan＋1＝1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}为等差数列 B．a18＝10 C．a17＝12 D．S31＝146 解析：BD　[依题意得，当n是奇数时，an＋3－an＋1＝1，即数列{an}中的偶数项构成以a2＝2为首项，1为公差的等差数列，所以a18＝2＋(9－1)×1＝10，当n是偶数时，an＋3＋an＋1＝1，所以an＋5＋an＋3＝1，两式相减，得an＋5＝an＋1，即数列{an}中的奇数项从a3开始，每隔一项的两项相等，即数列{an}的奇数项呈周期变化，所以a17＝a4×3＋5＝a5，在an＋3＋an＋1＝1中，令n＝2，得a5＋a3＝1，因为a3＝3，所以a17＝－2，对于数列{an}的前31项，奇数项满足a3＋a5＝1，a7＋a9＝1，…，a27＋a29＝1，a31＝a4×7＋3＝a3＝3，偶数项构成以a2＝2为首项，1为公差的等差数列，所以S31＝1＋7×1＋3＋15×2＋＝146.] 11．已知数列{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝1，Sn表示数列{an}的前n项和，若当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则a2＋a4＋a6的取值范围是　________　. 解析：由a1＋a3＋a5＝1，得3a3＝1，即a3＝，a2＋a4＋a6＝3a4＝3a3＋3d，当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则， 则，即，得到d∈， a2＋a4＋a6＝3a4＝3a4＋3d＝1＋3d， 由d∈，可得＜1＋3d＜故答案为：， 答案： 12．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解：(1)由得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜，∴当n≤17，n∈N*时，an＞0；当n≥18，n∈N*时，an＜0，∴{an}的前17项和最大． (2)当n≤17，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋d＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－＝n2－n＋884. ∴Sn＝ [素养培优练] 13．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：A1B1＝A0B0－B0B1，A2B2＝A1B1－B1B2，A3B3＝A2B2－B2B3，…，AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，其中Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1，n∈N*.根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若A0B0＝6，B0B1＝1.则这五层正六边形的周长总和为(　　) A．100 B．110 C．120 D．130 解析：C　[由已知得：AnBn＝An－1Bn－1－Bn－1Bn，Bn－1Bn＝…＝B2B3＝B1B2＝B0B1＝1，因此数列{AnBn}(n∈N*,1≤n≤5)是以a1＝A0B0＝6为首项，公差为d＝－1的等差数列，设数列{AnBn}(n∈N*,1≤n≤5)前5项和为S5，因此有，S5＝5a1＋×5×4·d＝5×6－×5×4×1＝20，所以这五层正六边形的周长总和为6S5＝6×20＝120.故选C.] 14．某种病毒感染性腹泻在全世界范围内均有流行，感染对象主要是成人和学龄儿童，寒冷季节呈现高发，据资料统计，某市11月1日开始出现该病毒感染者，11月1日该市的病毒新感染者共有20人，此后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部分采取措施，使该病毒的传播速度得到控制，从第t天起，每天的新感染者比前一天的新感染者减少30人，直到11月30日为止． (1)设11月n日当天新感染人数为an，求{an}的通项公式(用t表示)； (2)若到11月30日止，该市在这30日感染该病毒的患者共有8670人，11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数． [解]　(1)由题意得， 当n≤t时是以公差为50，首项为20的等差数列，此时an＝20＋50(n－1)＝50n－30，(1≤n≤t)． 当n≥t＋1时是以公差是－30，首项为50t－30的等差数列，此时an＝50t－30－30(n－t)＝－30n＋80t－30，(t＋1≤n≤30) 故an＝，1≤n≤30，n∈N*. (2)由(1)可知，前t日患者共有S1＝＝(25t2－5t)人． 又第t＋1日有－30(t＋1)＋80t－30＝(50t－60)人，第30日有－30×30＋80t－30＝80t－930人．故t＋1日至30日共30－t天的时间里共有S2＝＝－65t2＋2445t－14850人，故1到30日共有S1＋S2＝25t2－5t－65t2＋2445t－14850＝－40t2＋2440t－14850人故－40t2＋2440t－14850＝8670⇒t2－61t＋588＝0，即(t－12)(t－49)＝0，又1≤t≤30，故t＝12. 当天新增患病人数为50×12－30＝570人． 故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人 学科网（北京）股份有限公司 $