5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　等差数列前n项和的应用

[情境引入]

为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．

如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，而且剧场座位的排列规律是：第一排36个，以后每一排比前一排多6个，共有8排，你能帮这个公司算出共需要多少椅子吗？

椅子总数×8＝456(把)

[知识梳理]

[知识点一]　等差数列{an}的前n项和Sn的性质　

　　若{an}是公差为d的等差数列，那么a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是否也是等差数列？如果是，公差是多少？

[提示]　(a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝(a4－a1)＋(a5－a2)＋(a6－a3)＝3d＋3d＋3d＝9d，

(a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6)＝(a7－a4)＋(a8－a5)＋(a9－a6)＝3d＋3d＋3d＝9d.

∴a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9是公差为9d的等差数列．

[知识点二]　等差数列{an}前n项和公式的函数特征 　

1．公式Sn＝na1＋可化成关于n的表达式：Sn＝　n2＋n　.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的　二次　函数的图象

上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．

2．等差数列前n项和的最值

(1)在等差数列{an}中，

当a1＞0，d＜0时，Sn有　最大　值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定；

当a1＜0，d＞0时，Sn有　最小　值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定．

(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d＞0时，Sn有　最小　值；当d＜0时，Sn              有　最大　值．当n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数．(　　)

(2)若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.(　　)

(3)数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则{an}不是等差数列．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)　√

2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，那么此数列前20项的和为(　　)

A．160  B．180

C．200  D．220

解析：B　[由a1＋a2＋a3＝3a2＝－24，得a2＝－8，

由a18＋a19＋a20＝3a19＝78，得a19＝26，于是S20＝10(a1＋a20)＝10(a2＋a19)＝10×(－8＋26)＝180.]

3．等差数列{an}的前m项和Sm为20，前3m项和S3m为90，则数列{an}的前2m项和S2m的值是　________　.

解析：由题意知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，

∵2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，

∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50.

答案：50

4．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.

(1)求{an}的通项公式；

(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的自然数n的值．

解：(1)由an＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，

得解得

所以数列{an}的通项公式为an＝11－2n，n∈N*.

(2)由(1)知，Sn＝na1＋d＝10n－n2.

因为Sn＝－(n－5)2＋25，

所以当n＝5时，Sn取得最大值．

等差数列前n项和性质的应用

[例1]　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；

(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．

[解析]　(1)方法一　在等差数列中，

∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，

∴30,70，S3m－100成等差数列．

∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.

方法二　在等差数列中，，，成等差数列，

∴＝＋.

即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.

(2)＝＝＝＝＝.

利用等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．