5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．2.2　等差数列的前n项和

第1课时　等差数列的前n项和公式

[情境引入]

高斯(Gauss,1777－1855)，德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献．

200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：

1＋2＋3＋…＋100＝？　　你准备怎么算呢？

提示：高斯的算法：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.

[知识梳理]

[知识点]　等差数列的前n项和公式　

1.等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？

[提示]　S3＝＝3a2＝21.

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　 )

(2)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N*.(　　 )

(3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　)

A．72　　　　　　 B．54

C．36  D．18

解析：A　[由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.]

3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝　________　.

解析：S19＝＝＝190.

答案：190

4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12.

[解]　∵Sn＝n·＋·(－)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝＋(12－1)×＝－4.

等差数列前n项和的有关计算

[例1]　在等差数列{an}中，(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；

(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.

[解]　(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15.

又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.∴n＝15，d＝－.

(2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.

a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．

[变式训练]

1．在等差数列{an}中，

(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；

(2)已知a3＋a15＝40，求S17.

[解]　(1)解得a1＝－5，d＝3.

∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，

S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.

(2)S17＝＝＝＝340.

等差数列前n项和有关的性质问题

[例2]　(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　)

A．130　　　　　　 B．170

C．210  D．260

解析：C　[利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．

所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，

解得S3n＝210.]

(2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于　________　.

解析：10　[因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.]

(3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知＝，则＝　________　.

解析：＝＝＝＝.

答案：

[母体变式]

将本例(3)条件变为：an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)，则＝　________　.