5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 课程标准 素养解读 1.探索并掌握等差数列前n项和公式． 2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 1.经过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养． 2.通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 高斯(Gauss,1777－1855)，德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献． 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…＋100＝？　　你准备怎么算呢？ 提示：高斯的算法：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050. [知识梳理] [知识点]　等差数列的前n项和公式　 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ 　Sn＝na1＋d　 1.等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ [提示]　S3＝＝3a2＝21. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　 ) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N*.(　　 ) (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　) A．72　　　　　　 B．54 C．36 D．18 解析：A　[由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.] 3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝　________　. 解析：S19＝＝＝190. 答案：190 4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. [解]　∵Sn＝n·＋·(－)＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝＋(12－1)×＝－4. 等差数列前n项和的有关计算 [例1]　在等差数列{an}中，(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. [解]　(1)由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.∴n＝15，d＝－. (2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5. a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用． [变式训练] 1．在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. [解]　(1)解得a1＝－5，d＝3. ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S17＝＝＝＝340. 等差数列前n项和有关的性质问题 [例2]　(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　) A．130　　　　　　 B．170 C．210 D．260 解析：C　[利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列． 所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)， 解得S3n＝210.] (2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于　________　. 解析：10　[因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10.] (3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知＝，则＝　________　. 解析：＝＝＝＝. 答案： [母体变式] 将本例(3)条件变为：an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)，则＝　________　. 解析：∵{an}，{bn}均为等差数列，则＝＝＝. 答案： 1．等差数列前n项和的有关性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 2．等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解． [变式训练] 2．(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　) A．18 B．17 C．16 D．15 解析：A　[设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝a1＋10d＋a2＋10d＋a3＋10d＋a4＋10d＝S4＋40d＝18.] (2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为　________　. 解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋×1＝75. 答案：75 裂项相消法求和 [例3]　等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋. [思路点拨]　根据{an}为等差数列求出其前n项和，根据的通项特征，利用裂项相消法求和． [解]　∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2， ∴前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，∴＝＝＝，∴＋＋…＋＝ ＝＝ －. 裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和． [变式训练] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn. [解]　an＝＝， ∴Sn＝＋＋＋…＋＋＝ ＝＝，∴Sn＝. [当堂达标] 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7等于(　　) A．49 B．42 C．35 D．28 解析：B　[2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.] 2．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝72，a7＝10，则(　　) A．an＝n＋3 B．an＝2n－4 C．Sn＝n2＋n D．Sn＝n2－n 解析：AC　[∵S9＝72，a7＝10， ∴，⇒，∴an＝4＋(n－1)×1＝n＋3，则Sn＝＝n2＋n.故选AC.] 3．一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为21，则前2n项的和为(　　 ) A．18 B．12 C．10 D．6 解析：C　[∵{an}是等差数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列， 即2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)， ∵Sn＝3，S3n＝21， ∴2(S2n－3)＝3＋21－S2n，解得S2n＝10，故选C.] 4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. [解]　∵Sn＝n·＋·＝－15，整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，a12＝＋(12－1)×＝－4. [基础达标练] 1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则S10等于(　　) A．100　　　　　　 B．210 C．380 D．400 解析：B　[∵d＝＝＝4，又a1＋d＝7，∴a1＝3.∴S10＝10a1＋d＝10×3＋45×4＝210.] 2．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an＜0，则S10等于(　　) A．－9 B．－11 C．－13 D．－15 解析：D　[由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an＜0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝＝＝＝－15.] 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　) A．63 B．45 C．36 D．27 解析：B　[∵a7＋a8＋a9＝S9－S6，而由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6构成等差数列，所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2S6－3S3＝2×36－3×9＝45.] 4.＋＋＋＋…＋等于(　　) A. B. C. D. 解析：C　[通项an＝＝，∴原式＝ ＝ ＝.] 5．(多选)已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝S11，则(　　 ) A．a10＞0 B．当n＝9时，Sn最大 C．S17＞0 D．S19＞0 解析：BC　[数列{an}是等差数列，由S7＝S11，则S11－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＝2(a9＋a10)＝0，a9＋a10＝0，又因为数列{an}是递减数列，所以a9＞0，a10＜0，故A错误、B正确．S17＝＝17a9＞0，故C正确；S19＝＝19a10＜0，故D错误．故选：BC.] 6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝　________　. 解析：由等差数列的前n项和公式可得：＝＝＝×＝×＝1. 答案：1 7．已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知S3＝9，a4＋a5＋a6＝7，则S9－S6＝　________　. 解析：∵S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，而S3＝9，S6－S3＝a4＋a5＋a6＝7，∴S9－S6＝5. 答案：5 8．在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝，求S5. [解]　(1)方法一　∵a6＝10，S5＝5， ∴解得 ∴a8＝a6＋2d＝16. 方法二　∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝，即3(a1＋10)＝15. ∴a1＝－5，d＝＝3.∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一　∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝，∴a1＋2d＝. ∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d)＝5×＝24. 方法二　∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝，∴S5＝＝×＝24. [能力提升练] 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：C　[∵{an}是等差数列∴Sm＝＝0⇒a1＝－am＝－(Sm－Sm－1)＝－2，又am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1,3＝am＋1＝a1＋m＝－2＋m⇒m＝5，故选C.] 10．(多选)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，且2a1＋2a3＝S5，下列结论中正确的是(　　) A．S7最小 B．S13＝0 C．S4＝S9 D．a7＝0 解析：BCD　[设等差数列{an}的公差为d.由2a1＋2a3＝S5，有2a1＋2(a1＋2d)＝5a1＋d，即a1＋6d＝0，所以a7＝0，则选项D正确．选项A.S7＝7a1＋d＝7(a1＋3d)＝－21d，无法判断其是否有最小值，故A错误．选项B.S13＝×13＝13a7＝0，故B正确．选项C.S9－S4＝a9＋a8＋a7＋a6＋a5＝5a7＝0，所以S4＝S9，故C正确．故选：BCD.] 11．(多空题)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　________　，项数是　________　. 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11　3 12．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，已知a1＝20，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值． 解：第一步　利用已知求出公差d. ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d， ∴d＝－. 第二步　写出数列的通项公式，找到正、负分界等于零的项． 由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，得a13＝0. 即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0. ∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值． 第三步　找到n后，代入等差数列的前n项和公式即可求出最大值． ∴Sn的最大值为S12＝S13 ＝12×20＋×＝130. [素养培优练] 13．(多选)已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S6＝S12，则下列结论中正确的有(　　) A．a1∶d＝－17∶2 B．S18＝0 C．当d＞0时，a6＋a14＞0 D．当d＜0时，|a6|＞|a14| 解析：ABC　[因为{an}是等差数列，前n项和为Sn，由S6＝S12得：S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，即3(a9＋a10)＝0，即a9＋a10＝0，对于选项A：由a9＋a10＝0得2a1＋17d＝0，可得a1：d＝－17∶2，故选项A正确；对于选项B：S18＝＝＝0，故选项B正确；对于选项C：a6＋a14＝a9＋a11＝a9＋a10＋d＝d，若d＞0，则a6＋a14＝d＞0，故选项C正确；对于选项D：当d＜0时，a6＋a14＝d＜0，则a6＜－a14，因为d＜0，所以a6＞0，a14＜0， 所以|a6|＜|a14|，故选项D不正确，故选：ABC.] 14．设首项为a1，公差为d的递增等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1，d为实数，若S3·S4＋12＝0，则d的取值范围是　________　. 解析：因为S3＝3a1＋×d＝3a1＋3d，S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，所以S3·S4＋12＝(3a1＋3d)(4a1＋6d)＋12＝0，所以2a＋5a1d＋3d2＋2＝0，因为关于a1的方程有实数根，所以Δ＝25d2－4×2×(3d2＋2)≥0，即d2≥16，解得d≤－4或d≥4，又数列{an}为递增数列，则d≥4，∴d的取值范围是[4，＋∞)． 答案：[4，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $