5.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　等差数列的性质及实际应用

[情境引入]

观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。

①我国有用12生肖纪年的习惯，例如2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017,2029,2041,2053,2065,2077，…；

②我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265,260,255,250。…；

③2022年1月中，每个星期日的日期为

2,9,16,23,30.

数列①②③在数学中都称为等差数列，它们有什么共同点？

[知识梳理]

[知识点一]　等差中项　

1．条件：如果a，A，b成等差数列．

2结论：那么A叫做a与b的等差中项．

3满足的关系式是　2A＝a＋b　.

1.观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：

(1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0.

[提示]　插入的数分别为3,2，，0.

[知识点二]　等差数列通项公式的变形及推广　

①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，

②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，

③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．

其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．

②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.

③即斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差．

[知识点三]　等差数列的性质　

在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋　an　＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.

[知识点四]　由等差数列衍生的新数列　

若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．(　　)

(2)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(　　)

(3)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．(　　)

(4)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．(　　)

答案：1.√　2.×　3.√　4.×

2．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为(　　)

A．1　 B．3

C．2　　 D．4

解析：C　[因为数列{an}为等差数列，所以a9＝a3＋6d，即18＝6＋6d，所以d＝2.]

3．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为　________　.

解析：设这三个数为a－d，a，a＋d，

则

解得或

∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1.

∴这三个数的积为－21.

答案：－21

4．在等差数列{an}中，

(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；

(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.

解：方法一　(1)直接化成a1和d的方程如下：

(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，

即4(a1＋12d)＝48，

∴4a13＝48，∴a13＝12.

(2)直接化成a1和d的方程如下：

解得或

∴d＝3或－3.

方法二　(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12.

(2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34，

得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17，

解

得或

∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3.

等差中项

[例1]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．

[解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.

三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．

[变式训练]