5.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　等差数列的性质及实际应用 课程标准 素养解读 1.了解等差数列的有关性质． 2.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 1.通过对数列有关性质的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 2.通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养 [情境引入] 观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。 ①我国有用12生肖纪年的习惯，例如2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017,2029,2041,2053,2065,2077，…； ②我国确定鞋号的脚长使用毫米来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275,270,265,260,255,250。…； ③2022年1月中，每个星期日的日期为 2,9,16,23,30. 数列①②③在数学中都称为等差数列，它们有什么共同点？ [知识梳理] [知识点一]　等差中项　 1．条件：如果a，A，b成等差数列． 2结论：那么A叫做a与b的等差中项． 3满足的关系式是　2A＝a＋b　. 1.观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a，b；(4)0,0. [提示]　插入的数分别为3,2，，0. [知识点二]　等差数列通项公式的变形及推广　 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③即斜率公式k＝，可用来由等差数列任两项求公差． [知识点三]　等差数列的性质　 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋　an　＝ap＋aq.特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. [知识点四]　由等差数列衍生的新数列　 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则{an}是公差为k的等差数列．(　　) (2)等差数列{an}中，必有a10＝a1＋a9.(　　) (3)若数列a1，a2，a3，a4，…是等差数列，则数列a1，a3，a5，…也是等差数列．(　　) (4)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…是等差数列．(　　) 答案：1.√　2.×　3.√　4.× 2．已知数列{an}为等差数列，a3＝6，a9＝18，则公差d为(　　) A．1　 B．3 C．2　　 D．4 解析：C　[因为数列{an}为等差数列，所以a9＝a3＋6d，即18＝6＋6d，所以d＝2.] 3．若三个数成等差数列，它们的和为9，平方和为59，则这三个数的积为　________　. 解析：设这三个数为a－d，a，a＋d， 则 解得或 ∴这三个数为－1,3,7或7,3，－1. ∴这三个数的积为－21. 答案：－21 4．在等差数列{an}中， (1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d. 解：方法一　(1)直接化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48， ∴4a13＝48，∴a13＝12. (2)直接化成a1和d的方程如下： 解得或 ∴d＝3或－3. 方法二　(1)根据已知条件a2＋a3＋a23＋a24＝48，得4a13＝48，∴a13＝12. (2)由a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17， 解 得或 ∴d＝＝＝3或d＝＝＝－3. 等差中项 [例1]　在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． [解]　∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项，∴b＝＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. 三数a，b，c成等差数列的条件是b＝(或2b＝a＋c)，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)． [变式训练] 1．已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为　________　，　________　，　________　. 解析：因为8，a,2，b，c是等差数列，所以解得 答案：5　－1　－4 2．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，且数列为等差数列，则a5＝　________　. 解析：由数列为等差数列，则有＋＝，可解得a5＝. 答案： 灵活的设元解等差数列 [例2]　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． [解]　法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或 ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意， 得 化简，得 解得或 ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得 化简，得解得 ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列． 2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d. 3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d. [变式训练] 3．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． [解]　设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有 整理得解得a＝1，d＝±. 当d＝时，这5个数分别是－，，1，，； 当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－. 综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－. 等差数列性质及应用 [例3]　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． 解　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N*； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N*. 方法二　设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.① 由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N*；或an＝11－2(n－1)＝13－2n，n∈N*. [母体变式] 在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as? [解]　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d， an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d， ∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d，aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d， ∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as. 等差数列的性质 1若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2．由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) [变式训练] 4．等差数列{an}中，若a1，a2 011为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 006＋a2 010＝(　　 ) A．10　　　　　　 B．15 C．20 D．40 解析：B　[由等差数列的性质，得a1＋a2 011＝a2＋a2 010＝2a1 006.因为a1，a2 011是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 011＝10.所以a2＋a1 006＋a2 010＝×10＝15.] 等差数列的应用问题 [例4]　某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的范围． 解：设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{ an }． 由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)． 所以数列{ an }是一个公差为－d的等差数列． 因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即：解得19＜d≤20.9. 所以，d的求值范围为19＜d≤20.9. 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用．将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程． [变式训练] 5．孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米．那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为(　　) A．2026 B．2027 C. 2028 D．2029 解析：C　[设从2019年开始，该市每年新建住房面积为an万平方米．由题意可知{an}是等差数列，首项a1＝400 ，公差d1＝50所以an＝400＋(n－1)50＝50n＋350，令50 n＋350＞820，解得n＞，由于n∈N*，则n≥10,2019＋(10－1)＝2028，所以该市在2028年新建住房面积开始大于820万平方米． [当堂达标] 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：A　[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.] 2．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　　) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 解析：D　[(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.] 3．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费　________　元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 答案：32.2 4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． [解]　法一：设这三个数为a，b，c(a＜b＜c)， 则由题意得解得 法二：设这三个数为a－d，a，a＋d， 由已知得 由①得a＝6，代入②得d＝±2， ∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数为4,6,8. [基础达标练] 1．已知等差数列{an}中，a2＋a8＝18，则a5＝(　　) A．7　　　　　　　 B．11 C．9 D．18 解析：C　[设等差数列的性质可知：a2＋a8＝2a5＝18，所以a5＝9.故选：C.] 2．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 解析：B　[由等差数列的性质，得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8.] 3．已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为(　　) A. B．± C．－ D．－ 解析：D　[由等差数列的性质得a1＋a7＋a13＝3a7＝4π，∴a7＝.∴tan(a2＋a12)＝tan(2a7)＝tan ＝tan ＝－.] 4．目前农村电子商务发展取得了良好的进展，若某家农村网店从第二月起利润就成递增等差数列，且第2个月利润为2 500元，第5个月利润为4 000元，第m个月后该网店的利润超过5 000元，则m＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．10 解析：B　[设该网店从第一月起每月的利润构成等差数列{an}，则a2＝2 500，a5＝4 000.由a5＝a2＋3d，即4 000＝2 500＋3d，得d＝500.由am＝a2＋(m－2)×500＝5 000，得m＝7.] 5．(多选)在等差数列{an}中，每相邻两项之间都插入k(k∈N*)个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}．若b9是数列{an}的项，则k的值可能为(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：ABD　[由题意得：插入k(k∈N*)个数，则a1＝b1，a2＝bk＋2，a3＝b2k＋3，a4＝b3k＋4… 所以等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列，且角标是以1为首项，k＋1为公差的等差数列，所以an＝b1＋(n－1)(k＋1)，因为b9是数列{an}的项，所以令1＋(n－1)(k＋1)＝9，n∈N*，k∈N*， 当n＝2时，解得k＝7，当n＝3时，解得k＝3，当n＝5时，解得k＝1， 故k的值可能为1,3,7，故选：ABD.] 6．在等差数列{an}中，a1＋a9＝4，那么a2＋a3＋…＋a8等于　________　. 解析：因为数列{an}为等差数列，且a1＋a9＝4，根据等差数列的性质，可得a1＋a9＝2a5＝4，解答a5＝2，又由a2＋a3＋…＋a8＝7a5＝7×2＝14. 答案：14 7．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？” 意思是：“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤？”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为　________　斤． 解析：由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为a1，粗的一端的重量为a5，可知a1＝2，a5＝4，根据等差数列的性质可知，a1＋a5＝2a3＝6⇒a3＝3，中间三尺为a2＋a3＋a4＝3a3＝9. 答案：9 8．在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a23的值． 解析：(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，由a3＋a8＋a13＝12，则3a8＝12，则a8＝4，又由a3a8a13＝28，则有a3a13＝(4－5d)(4＋5d)＝7，解可得：d＝±，当d＝时，an＝a8＋(n－8)d＝，当d＝－时，an＝a8＋(n－8)d＝. (2)由(1)的结论，当d＝时，an＝，此时a23＝＝13，当d＝－时，an＝，则a23＝＝－5，则a23＝13或－5. [能力提升练] 9．已知等差数列{an}，a2＝2，a4＝8，若abn＝3n－1，则b2 020＝(　　) A．2 018 B．2 019 C．2 020 D．2 021 解析：D　[由a2＝2，a4＝8，得数列{an}的公差d＝＝3，所以an＝2＋(n－2)×3＝3n－4，所以an＋1＝3n－1.又数列{an}的公差不为0，所以数列{an}为单调数列，所以结合abn＝3n－1，可得bn＝n＋1，故b2 020＝2 021.] 10．已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则a1＋a100等于　________　. 解析：由题意函数y＝f(x－2)的图象关于x＝1对称，则函数f(x)的图象关于x＝－1对称，且在(－1，＋∞)上单调，因为f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，因为数列{an}是公差不为0的等差数列，所以a1＋a100＝a50＋a51＝－2. 答案：－2 11．在正项无穷等差数列{an}中，已知a5a7＝12.a2＋a10＝7. (1)求通项公式an. (2)设bn＝an＋t，且对一切n∈N*，恒有b2n＝2bn，求t的值．对一切k，n∈N*是否恒有bkn＝kbn？请说明理由． [解]　(1)∵a2＋a10＝a5＋a7＝7，又∵a5a7＝12， ∴或当时，an＝－n＋，不恒为正，舍去． ∴∴an＝n＋ (2)bn＝an＋t＝n＋t＋，b2n＝n＋t＋，∴n＋t＋＝n＋2t＋1. ∴t＝－，∴bn＝n，.因为bkn＝kn＝kbn，所以恒有bkn＝kbn. [素养培优练] 12．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6＝(　　 ) A．8 B．6 C．4 D．3 解析：D　[由等差数列的性质可知2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝2×3a3＋3×2a9＝6×2a6＝36，得a6＝3，故选D.] 13．单分数(分子为1，分母为正整数的分数)的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例＝＋，＝＋＋＋＋如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记＝＋＋＋，其中x，y，z是以101为首项的等差数列，则y＋z的值为(　　 ) A．505 B．404 C．303 D．202 解析：A　[依题意，拆分后的分数 ，分子都是1，分母依次变大，又＝＋＋＋中含，故可分解如下：＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋，又x，y，z是以101为首项的等差数列，故x＝101，y＝202，z＝303，故y＋z＝202＋303＝505，故选A.] 学科网（北京）股份有限公司 $