5.1.2 数列中的递推-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．1.2　数列中的递推 课程标准 素养解读 1.了解数列的递推公式． 2.了解数列的前n项和概念及其简单应用. 1.通过对数列递推公式的学习，提升数学抽象的核心素养． 2.通过对数列前n项和的学习，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. [情境引入] 我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即an＝an－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式． [知识梳理] [知识点一]　数列的递推关系　 　如果已知数列的　首项(或前几项)　，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的　递推关系　(也称为递推公式或递归公式)． 1.所有数列都有递推公式吗？ [提示]　不一定．例如精确到1,0.1,0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，…没有递推公式． 2.仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？ [提示]　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的． 3．通项公式与递推公式有何关系？ [提示]　 类别 区别 联系 通项公式 an是序号n的函数式an＝f(n) 都是给出数列的方法，都可求出数列中任意一项 递推公式 已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式 [知识点二]　数列的前n项和公式　 1．数列{an}的前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝　a1＋a2＋…＋an　. 2．数列{an}的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和　Sn　与它的　序号n　之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式． 3．an与Sn的关系：　an　＝ [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．(　　 ) (2)有些数列可能不存在最大项．(　　 ) (3)递推公式是表示数列的一种方法．(　　 ) (4)所有的数列都有递推公式．(　　 ) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．.数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　 ) A．－3　　　　　　 B．－11 C．－5 D．19 解析：D　[a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.] 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝　________　. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， a1＝2不满足上式．故an＝ 答案： 由递推关系写出数列的项 [例1]　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前5项； (2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项． [解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2， ∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. 故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8. (2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8， ∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝. 故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝. 由递推公式写出数列的项的方法 (1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可． (2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1. (3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝. [变式训练] 1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项． [解]　∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝. 故该数列的前5项为1，，，，. 数列的前n项和公式及应用 [例2]　(多空题)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列的通项公式为　________　；数列{nan}中数值最小的项是第　________　项． 解析：当n＝1时，a1＝S1＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－1)]＝2n－11，当n＝1时，也成立，∴an＝2n－11，nan＝2n2－11n＝22－. ∵n∈N*，∴当n＝3时，nan有最小值．] 答案：2n－11　3 已知Sn求an的3个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式； (3)注意检验n＝1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并． [变式训练] 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则an＝　________　. 解析：∵Sn＝3n2－2n＋1，∴Sn－1＝3(n－1)2－2(n－1)＋1＝3n2－8n＋6.∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n＋1)－(3n2－8n＋6)＝6n－5.又当n＝1时，a1＝S1＝2不适合上式， ∴an＝ 答案： 由递推公式求数列的通项公式 [例3]　(1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通项公式an； (2)设数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an. [思路点拨]　(1)先将an＋1＝an＋变形为an＋1－an＝－，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解． (2)先将an＝an－1(n≥2)变形为＝，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解． [解]　(1)∵an＋1－an＝， ∴a2－a1＝； a3－a2＝； a4－a3＝； … an－an－1＝. 以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－. ∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)． 又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)． (2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)， ∴＝，an＝×××…×××a1 ＝×××…×××1＝. 又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)． [母体变式] 1．(变条件)将例题(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明． [解]　由a1＝2，an＋1＝3an，得： a2＝3a1＝3×2, a3＝3a2＝3×3×2＝32×2， a4＝3a3＝3×32×2＝33×2, a5＝3a4＝3×33×2＝34×2， …， 猜想：an＝2×3n－1， 证明如下：由an＋1＝3an得＝3. 因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3. 将上面的n－1个式子相乘可得 ···…·＝3n－1. 即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，故an＝2·3n－1. 2．将例题(1)中的条件“a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*”变为“a1＝，anan－1＝an－1－an(n≥2)”求数列{an}的通项公式． [解]　∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1. ∴＝＋＋＋…＋＝2＋＝n＋1. ∴＝n＋1，∴an＝. 由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an＋1＝an＋f(n)或an＋1＝g(n)·an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即： (1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式． (2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式． [变式训练] 3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，求an. [解]　由题意得an＋1－an＝ln， ∴an－an－1＝ln (n≥2)， an－1－an－2＝ln， …， a2－a1＝ln. ∴当n≥2时，an－a1＝ln＝ln n，∴an＝2＋ln n(n≥2)． 当n＝1时，a1＝2＋ln 1＝2，符合上式，∴an＝2＋ln n(n∈N*)． [当堂达标] 1．(多选题)符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　) A．1, 2, 3, 4，…　　　 B．1，， 2, 2，… C.，2,2， 4，… D．0，， 2， 2，… 解析：BC　[B与C中从第2项起，后一项是前一项的倍，符合递推公式an＝an－1.] 2．已知数列{an}的首项a1＝2，an＋1＝2an＋1(n≥1，n∈N*)，则a5为(　　) A．7 B．15 C．30 D．47 解析：D　[将a1＝2代入关系式an＋1＝2an＋1得a2＝5，将a2＝5再代入an＋1＝2an＋1可得a3＝11，依次类推得a5＝47.] 3．数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2 021－a2 020＝　________　. 解析：2 020　[由已知a2 021－a2 020－2 020＝0，∴a2 021－a2 020＝2 020.] 4．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－，，－，，…； (3)1,0,1,0，…； (4)9,99,999,9 999，…. 解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式 an＝2(n＋1)，n∈N*. (2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×，n∈N*. (3)这是一个摆动数列，奇数项是1，偶数项是0，所以此数列的一个通项公式an＝或 an＝(－1)n＋1＋，n∈N*. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*. [基础达标练] 1．数列，，，，…的递推公式可以是(　　) A．an＝(n∈N*)　 B．an＝(n∈N*) C．an＋1＝an(n∈N*) D．an＋1＝2an(n∈N*) 解析：C　[由题意可知，数列从第二项起，后一项是前一项的，所以递推公式为an＋1＝an(n∈N*)．] 2．在数列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，则a5等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：B　[对n依次取2,3,4,5得a2＝(－1)2·2×＝，a3＝－，a4＝－，a5＝.] 3．数列{an}的前n项和Sn＝，则an＝(　　)． A. B. C. D. 解析：B　[当n＝1时a1＝S1＝1，当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝－＝，验证，当n＝1时a1满足，故选B.] 4．已知数列{an}的项满足an＋1＝an，而a1＝1，通过计算a2，a3，猜想an等于(　　) A. B. C. D. 解析：B　[a1＝1＝，∵an＋1＝an，∴a2＝＝. 同理a3＝＝.猜想an＝.] 5．(多选)已知数列an满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　) A．a3＝－1 B．a2019＝ C．S3＝ D．S2019＝ 解析：ACD　[由题意a2＝1－＝，a3＝1－＝－1，A正确，S3＝2＋－1＝，C正确；a4＝1－＝2 ，∴数列{an}是周期数列，周期为3. a2019＝a3×673＝a3＝－1，B错； S2019＝673×＝，D正确．故选：ACD.] 6．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝　________　. 解析：　[由an＋1＝，得an＝1－，∵a8＝2，∴a7＝1－＝， a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…， ∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝.] 7．(多空题)已知数列{an}的通项公式an＝n2－4n－12(n∈N*)， 则这个数列的第4项是　________　；65是这个数列的第　________　项． 解析：－12　11　[由a4＝42－4×4－12＝－12，得第4项是－12；由an＝n2－4n－12＝65，得n＝11或n＝－7(舍去)，∴65是第11项．] 8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n＋1，n∈N*，求它的通项公式． 解：当n＝1时，a1＝S1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－[2(n－1)2－3(n－1)＋1]＝4n－5， 又当n＝1时，不符合上式． 故an＝ [能力提升练] 9．数列{an}的a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100＝(　　) A. B．－ C．100 D．－100 解析：D　[因为a⊥b，所以nan＋1＋(n＋1)an＝0，即＝－，所以＝－，＝－，＝－，…，＝－， 所以×××…×＝－×(－)×(－)×…×(－)＝－， 所以＝－，又a1＝1，所以a100＝－100，故选D.] 10．(多选)若数列{an}满足an＋1＝，a1＝， 则数列{an}中的项的值可能为(　　 ) A. B. C. D. 解析：ABC　[数列{an}满足an＋1＝，a1＝，依次取n＝1,2,3,4，…代入计算得，a2＝2a1－1＝，a3＝2a2＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝＝a1，因此继续下去会循环，数列{an}是周期为4的周期数列，所有可能取值为：，，，，故选ABC.] 11．若数列{an}满足，an＋1，＝，a1＝2，则数列{an}前2022项的积等于　________　. 解析：∵an＋1＝，则an＋2＝＝＝－， 所以，an＋4＝－＝－＝an， ∵a1＝2，则a2＝＝＝－3，所以数列{an}是以4为周期的周期数列，且anan＋1an＋2aa＋3＝an·an＋1·＝1，所以{an}的前2022项的积为a1·a2·a3·a4……a2022＝a1a2×1505＝2×(－3)＝－6. 答案：－6 12．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求通项an. 解：将an＋1＝两边同时取倒数得：＝，则＝＋，即－＝， ∴－＝，－＝，…，－＝， 把以上这(n－1)个式子累加，得－＝. ∵a1＝1，∴an＝(n∈N*)． [素养培优练] 13．(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022 解析：BCD　[对于A，可知数列的前8项为1,1,2,3,5,8,13,21，故A错误；对于B，S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，故B正确；对于C，可得，an＝an＋1－an－1(n≥2)，则a1＋a2＋a3＋a4＋…＋an＝a1＋(a3－a1)＋(a4－a2)＋(a5－a3)＋…＋(an＋1－an－1) 即Sn＝－a2＋an＋an＋1＝an＋2－1，∴S2020＝a2022－1，，故C正确； 对于D，由an＝an＋1－an－1(n≥2)可得，a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2＋(a4－a2)＋(a6－a4)＋…(a2022－a2020)＝a2022，故D正确．] 14．如图，将正三角形的每一条边三等分，并以每一条边上居中的一条线段为边向外作正三角形，便得到第1条“雪花曲线”(如图(乙)的实线部分)，对第1条“雪花曲线”的边重复上述作法，便得到第2条“雪花曲线”(如图(丙))，这样一直继续下去，得到一系列的“雪花曲线”. 设第n条“雪花曲线”有an条边． (1)写出a1，a2的值． (2)求出数列{an}的递推公式． 解：(1)a1＝12，a2＝48. (2)由“雪花曲线”的作法可知， 第n条“雪花曲线”的每条边都可得到第n＋1条“雪花曲线”的四条边． ∴an＋1＝4an.∴数列{an}的递推公式为an＋1＝4an. 学科网（北京）股份有限公司 $