5.1.2 数列中的递推-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．1.2　数列中的递推

[情境引入]

我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即an＝an－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．

[知识梳理]

[知识点一]　数列的递推关系　

　如果已知数列的　首项(或前几项)　，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的　递推关系　(也称为递推公式或递归公式)．

1.所有数列都有递推公式吗？

[提示]　不一定．例如精确到1,0.1,0.01，0.001，…的不足近似值排列成一列数：1,1.4,1.41,1.414，…没有递推公式．

2.仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？

[提示]　不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．

3．通项公式与递推公式有何关系？

[提示]　

[知识点二]　数列的前n项和公式　

1．数列{an}的前n项和

把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝　a1＋a2＋…＋an　.

2．数列{an}的前n项和公式

如果数列{an}的前n项和　Sn　与它的　序号n　之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．

3．an与Sn的关系：　an　＝

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项．(　　 )

(2)有些数列可能不存在最大项．(　　 )

(3)递推公式是表示数列的一种方法．(　　 )

(4)所有的数列都有递推公式．(　　 )

答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2．.数列{an}中，an＋1＝an＋2－an，a1＝2，a2＝5，则a5＝(　　 )

A．－3　　　　　　 B．－11

C．－5  D．19

解析：D　[a3＝a2＋a1＝5＋2＝7，a4＝a3＋a2＝7＋5＝12，a5＝a4＋a3＝12＋7＝19，故选D.]

3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝　________　.

解析：当n＝1时，a1＝S1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，

a1＝2不满足上式．故an＝

答案：

由递推关系写出数列的项

[例1]　已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．

(1)写出此数列的前5项；

(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．

[解]　(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，且a1＝1，a2＝2，

∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，a5＝a4＋a3＝5＋3＝8.

故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8.

(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，

∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝.

故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝.

由递推公式写出数列的项的方法

(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．

(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an＝2an＋1＋1.

(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an＋1＝.

[变式训练]

1．已知数列{an}的第1项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝给出，试写出这个数列的前5项．

[解]　∵a1＝1，an＋1＝，∴a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，a5＝＝＝.

故该数列的前5项为1，，，，.

数列的前n项和公式及应用

[例2]　(多空题)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n＝1,2,3，…)，则数列的通项公式为　________　；数列{nan}中数值最小的项是第　________　项．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝－9；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－[(n－1)2－10(n－