5.1.1 数列的的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．1　数列基础

5．1.1　数列的的概念

[情境引入]

古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长”，如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排在一起，可组成一个数列. 那么什么叫数列呢？

[知识梳理]

[知识点一]　数列的有关概念　

1．数列相关概念

一般地，我们把按照　一定的次序　排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列的第一个位置上的数叫做　首项　，常用符号　a1　表示，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用　an　表示．

数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的　第1项(或首项)　，　第2项　，…，　第n项　，….

2．数列的表示

数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为　{an}　.

3．数列的表示方法

数列的表示方法一般有三种：通项公式、　列表法　、　图象法　.

1. (1)数列的项和它的项数是否相同？

(2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？

[提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性．

[知识点二]　数列的通项公式　

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的　通项　公式．

2.(1)所有的数列都有通项公式吗？

(2)同一数列的通项公式唯一吗？

[提示]　(1)并不是所有的数列都有通项公式．

(2)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的，例如数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，an＝(－1)n＋2，an＝cos nπ等．

[知识点三]　数列的单调性 　

[知识点四]　数列与函数　

　数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．

3.数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？

[提示]　如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．(　　)

(2)数列的项不能相等．(　　)

(3)数列可以用图形表示．(　　)

(4)数列的通项公式不唯一．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．已知an＋1－an＝0，n∈N*，则数列{an}是(　　)

A．递增数列　　　　 B．递减数列　

C．常数列  D．不能确定

解析：C　[an＋1＝an，n∈N*，即数列的各项相同，故数列{an}是常数列．]

3．若数列{an}的通项公式为an＝2n2－3n，则a2＝　________　.

解析：2　[a2＝2×22－3×2＝2.]

　

数列的概念及分类

[例1]　已知下列数列：

①2 016,2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；

②1，，，…，，…；

③1，－，，…，，…；

④1,0，－1，…，sin，…；

⑤2,4,8,16,32，…；

⑥－1，－1，－1，－1.

其中，有穷数列是　________　，无穷数列是　________　，递增数列是　________　，递减数列是　________　，常数列是　________　，摆动数列是　________　(填序号)．

[解析]　①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．

[答案]　①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④

1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：