5.1.1 数列的的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．1　数列基础 5．1.1　数列的的概念 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解数列的概念和表示方法 2.了解数列是一种特殊函数. 　　通过数列概念及数列与函数关系及通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. [情境引入] 古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长”，如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量，则每日的高度值按日期排在一起，可组成一个数列. 那么什么叫数列呢？ [知识梳理] [知识点一]　数列的有关概念　 1．数列相关概念 一般地，我们把按照　一定的次序　排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列的第一个位置上的数叫做　首项　，常用符号　a1　表示，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用　an　表示． 数列中的每一个数叫做这个数列的　项　.数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的　第1项(或首项)　，　第2项　，…，　第n项　，…. 2．数列的表示 数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为　{an}　. 3．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：通项公式、　列表法　、　图象法　. 1. (1)数列的项和它的项数是否相同？ (2)数列1,2,3,4,5，数列5,3,2,4,1与{1,2,3,4,5}有什么区别？ [提示]　(1)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数．(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1,2,3,4,5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性． [知识点二]　数列的通项公式　 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的　通项　公式． 2.(1)所有的数列都有通项公式吗？ (2)同一数列的通项公式唯一吗？ [提示]　(1)并不是所有的数列都有通项公式． (2)同一数列的通项公式，其表达形式可以是不唯一的，例如数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可以写成an＝(－1)n，an＝(－1)n＋2，an＝cos nπ等． [知识点三]　数列的单调性 　 递增数列 从第2项起，每一项都　大于　它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都　小于　它的前一项的数列 常数列 各项都　相等　的数列 [知识点四]　数列与函数　 　数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 3.数列的通项公式an＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ [提示]　如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数，an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集． [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)数列1,2,3,5,7可表示为{1,2,3,5,7}．(　　) (2)数列的项不能相等．(　　) (3)数列可以用图形表示．(　　) (4)数列的通项公式不唯一．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知an＋1－an＝0，n∈N*，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　 B．递减数列　 C．常数列 D．不能确定 解析：C　[an＋1＝an，n∈N*，即数列的各项相同，故数列{an}是常数列．] 3．若数列{an}的通项公式为an＝2n2－3n，则a2＝　________　. 解析：2　[a2＝2×22－3×2＝2.] 　 数列的概念及分类 [例1]　已知下列数列： ①2 016,2 017,2 018,2 019,2 020,2 021； ②1，，，…，，…； ③1，－，，…，，…； ④1,0，－1，…，sin，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是　________　，无穷数列是　________　，递增数列是　________　，递减数列是　________　，常数列是　________　，摆动数列是　________　(填序号)． [解析]　①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列． [答案]　①⑥　②③④⑤　①⑤　②　⑥　③④ 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： (1)确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； (2)可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； (3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素与顺序无关(即无序性)； (4)数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物． 2．判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点．对于递增、递减、摆动还是常数列，要从项的变化趋势来分析；而有穷还是无穷数列，则看项的个数有限还是无限． [变式训练] 1．(1)(多选)下面四个结论正确的是(　　 ) A．数列1,2,3,4和数列1,3,4,2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数 C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点 D．数列的项数是无限的 解析：BC　[对A，因为数列的项是有顺序的，因此两个数列是不同的数列，故A是错误的；对B，由数列和函数的关系可知是正确的；对C，由数列的表示可知正确；对D，由于数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故D错误．] (2)给出下列数列： ①2014～2021年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,118,132,147,163,180； ②无穷多个构成数列， ， ， ，…； ③－2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列－2,4，－8,16，－32，…. 其中，有穷数列是　________　，无穷数列是　________　，递增数列是　________　，常数列是　________　，摆动数列是　________　. 解析：①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递增数列；②为常数列；③为摆动数列． 答案：①　②③　①　②　③　 由数列的前几项写通项公式 [例2]　写出下列数列的一个通项公式，使它的前四项为下列各数． (1)1，2，3，4，…； (2)11,102,1 003,10 004，…； (3)9,99,999,9 999，…； (4)，2，，8，. [思路点拨]　①求数列的通项公式时，是否应考虑将个别项或各项进行适当的变形？②数列的通项公式唯一吗？ [解]　(1)这个数列各项的整数部分分别为1,2,3,4，…，恰好是序号n；分数部分分别为，，，，…，与序号n的关系是，所以这个数列的一个通项公式是an＝n＋＝. (2)这个数列可以改写为10＋1,100＋2,1 000＋3,10 000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n＋n. (3)这个数列可以改写为10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，…，所以这个数列的一个通项公式是an＝10n－1. (4)将每一项都统一写成分母为2的分数，即，，，，，…，所以它的一个通项公式是an＝. 由数列的前几项求通项公式的思路 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系． (2)如果关系不明显，可将各项同时加上或减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式． (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n＋1来调整． (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系． [变式训练] 2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； (3)1,11,111,1 111，…. [解]　(1)观察数列中的数，可以看到0＝1－1,3＝4－1,8＝9－1,15＝16－1,24＝25－1，…，所以它的一个通项公式是an＝n2－1(n∈N*)． (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)(n∈N*)． (3)原数列的各项可变为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式为an＝10n－1，所以原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)(n∈N*)． 数列通项公式的应用 [例3]　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1)写出此数列的第4项和第6项； (2)问－49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项？ [思路点拨]　(1)将n＝4，n＝6分别代入an求出数值即可； (2)由3n2－28n＝－49和3n2－28n＝68，求得n是否为正整数并判断． [解]　(1)a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝(舍去)，所以－49是该数列的第7项；由3n2－28n＝68解得n＝－2或n＝，均不合题意，所以68不是该数列的项． [母题探究] 若本例中的条件不变， (1)试写出该数列的第3项和第8项； (2)问20是不是该数列的一项？若是，应是哪一项？ [解]　(1)因为an＝3n2－28n，所以a3＝3×32－28×3＝－57，a8＝3×82－28×8＝－32. (2)令3n2－28n＝20，解得n＝10或n＝－(舍去)，所以20是该数列的第10项． 1．由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． 2．判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． 3．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})这一约束条件． [变式训练] 3．数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*)． (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ [解]　(1)若0是{an}中的第n项，则＝0， 因为n∈N*，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则＝1， 所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0. 因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1，解得m＝10. 所以数列{an}中存在连续的两项，即第10项与第11项相等． 数列的函数性质 [例4]　已知函数f(x)＝，设数列{an}的通项公式为an＝f(n)，其中n∈N* (1)求证：0≤an＜1； (2) 判断{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由． [思路点拨]　(1)由不等式的性质判断an的范围． (2)利用作差法判断函数的单调性． [解]　(1)由题意可知an＝f(n)＝＝1－， 又因为n∈N*，所以0＜≤1， 因此0≤1－＜1；即0≤an＜1. (2)因为an＋1－an＝(1－)－(1－)＝ 又因为n＋1＞n≥1，所以＞0， 从而an＋1－an＞0，即an＋1＞an 因此{an}是递增数列． 数列增减性的判定方法 (1)作差比较法 ①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列； ②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列； ③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列． (2)作商比较法 类别 ＞1 0＜＜1 ＝1 an＞0 递增数列 递减数列 常数列 an＜0 递减数列 递增数列 常数列 [变式训练] 4．已知函数f(x)＝x－，数列{an}满足f(an)＝－2n，且an＞0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}是递增数列还是递减数列，并说明理由． 解：(1)∵f(x)＝x－，f(an)＝－2n， ∴an－＝－2n，即a＋2nan－1＝0， 解得an＝－n±， ∵an＞0，∴an＝－n. (2)(方法一：作差法) ∵an＋1－an＝－(n＋1)－(－n) ＝－－1 ＝－1 ＝－1， 又＞n＋1，＞n， ∴＜1 ∴an＋1－an＜0，即an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列． (方法二：作商法) ∵an＞0，∴＝＝＜1 ∴an＋1＜an. ∴数列{an}是递减数列． [当堂达标] 1．下列各项表示数列的是(　　) A．　△，　○，　☆，　□ B．2 008，　2 009，　2 010, …， 2 021 C．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D. a＋b，　a－b，　ab，　λ a 解析：B　[数列是指按照一定次序排列的一列数，而不能是图形、文字、向量等，只有B项符合．] 2．(多选)下列命题错误的是(　　) A．数列，，，，…的一个通项公式是an＝ B．数列的图象是一群孤立的点 C．数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列 D．数列，，…，是递增数列 解析：ACD　[由通项公式知a1＝，A不正确；易知B正确；由于两数列中数的排列次序不同，因此不是同一数列，故C不正确；D中的数列为递减数列，所以D不正确．] 3．已知数列，，，…，则5是该数列的第　__________　项. 解析：观察可得数列的一个通项公式是an＝，而5＝＝，所以5是该数列的第19项． 答案：19 4．已知数列. (1)求这个数列的第10项； (2)是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内． [解]　设f(n)＝＝＝. (1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝. (2)令＝，得9n＝300. 此方程无正整数解，所以不是该数列中的项． (3)证明：∵an＝＝＝1－， 又n∈N*，∴0＜＜1，∴0＜an＜1. 即数列中的各项都在区间(0,1)内． [基础达标练] 1．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 解析：A　[an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n＞0，∴an＋1＞an，即{an}是递增数列．] 2．数列3,5,7,9，…的一个通项公式是(　　) A．an＝2n＋1 B．an＝2n＋1 C．an＝2n＋1 D．an＝2n＋1－1 解析：A　[因为a1＝2×1＋1，a2＝2×3＋1，a3＝2×2＋1，a4＝2×4＋1，……，所以an＝2n＋1, 故选A.] 3. ，，，，…的第9项是(　　 ) A. B. C. D．以上均不对 解析：B　[由题意可知an＝，故第9项为.] 4．在1,2,3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{an}，则a50＝(　　 ) A．289　 B．295　　C．301　　D．307 解析：B　[由题意可知an－1即是2的倍数，又是3的倍数，即an－1是6的倍数，则an－1＝6(n－1)，(n∈N*)，所以an＝6n－5，所以a50＝50×6－5＝295，故选：B.] 5．(多选)已知数列{an}的前4项为2,0,2,0，则该数列的通项公式可能为(　　) A．an＝ B．an＝(－1)n－1＋1 C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1 解析：BD　[因为数列{an}的前4项为2,0,2,0，选项A：不符合题设； 选项B：，a1＝(－1)0＋1＝2，a2＝(－1)1＋1＝0，a3＝(－1)2＋1＝2，a4＝(－1)3＋1＝0，符合题设；选项C：，a1＝2sin＝2，a2＝2sinπ＝0，a3＝2sin＝－2不符合题设；选项D：a1＝cos 0＋1＝2，a2＝cos π＋1＝0，a3＝cos 2π＋1＝2，a4＝cos3π＋1＝0，符合题设. ] 6．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是　________　. 解析：(－∞，0)　[an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k＜0.] 7．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第　________　项． 解析：9　[令＝－3，即－＝－3，∴n＝9.] 8．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来， (1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝. 解析：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图1. (2)a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝. 图象如图2. 图1　　　　　图2 [能力提升练] 9．(多选)下列四个命题中，正确的有(　　) A．数列的第k项为1＋ B．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，n∈N*，则－8是该数列的第7项 C．数列3,5,9,17,33…的一个通项公式为an＝2n－1 D．数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则数列{an}是递增数列 解析：ABD　[数列的第k项为1＋，A正确；B，令n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)，B正确；C，将3,5,9,17,33，…的各项减去1，得2,4,8,16,32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn＝2n(n∈N*)，因此数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式为an＝bn＋1＝2n＋1(n∈N*)C错误；D，an＝＝1－，则an＋1－an＝－＝＞0，因此数列{an}是递增数列，D正确，故选：ABD.] 10．(2019·咸阳市二模)已知正项数列{an} 中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝(　　) A．n　　　 B．n2　　　 C.　　　 D. 解析：B　[∵＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 两式相减得＝－＝n， ∴an＝n2，(n≥2)． 又当n＝1时，＝＝1， ∴an＝n2.n∈N*.故选B.] 11．若数列{an}为单调递增数列，且an＝2n－1＋，则a3的取值范围为　________　. 解析：当n≥2时，an－an－1＝2n－1＋－＝2－，因为数列{an}为单调递增数列，所以2－＞0对n≥2(n∈N)恒成立， 即λ＜2n＋1对n≥2(n∈N)恒成立，所以λ＜8， 所以a3＝5＋＜6，故a3的取值范围为(－∞，6)． 答案：(－∞，6) 12．(2021·山东青州检测)有下列命题； ①数列，，，，…的通项公式是an＝； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列1，－1,1，－1,1，…与数列－1,1，－1，1，…是同一数列； ④数列，，…，是递增数列． 其中正确命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 答案：A [素养培优练] 13．天干地支年纪法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸．十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为　__________　. 解析：由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，则30÷10＝3,2049年的天干为已，30÷12＝2余6,2049年的地支为巳，故2049年为已巳年。 答案：已巳 14．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是　________　. 解析：由题意及图形知，不妨构造数列{an}表示第n行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点．故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和．即a1＝0，a2＝1，且n≥3时，an＝an－1＋an－2，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为： 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. 答案：144 学科网（北京）股份有限公司 $