1.5 角平分线 第2课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 5 角平分线 第2课时 角平分线的性质和判定的应用 1 素养目标 1.在角平分线性质与判定的基础上探索三角形三条内角的平分线的相关性质． 2.能够运用三角形三条内角的平分线的性质解决实际问题． 2 教学重难点 重点：三角形三条内角平分线的性质． 难点：三角形三条内角平分线性质的实际应用．. 3 导入新课 探究活动一: 以小组为单位,每人选择一类三角形(锐角三角形、直角三角形或钝角三角形),独立完成以下任务: 1.用尺规作出所选三角形的三条角平分线. 2.组内交流各自的作图结果,重点观察三条角平分线的位置关系. 4 导入新课 由此,你发现了什么? 5 导入新课 探究活动二: 以小组为单位,每人选择一类三角形(锐角三角形、直角三角形或钝角三角形),独立完成以下任务: 分别过三角形三条角平分线的交点作三边的垂线,用刻度尺量一量每组垂线段的长度. 6 导入新课 由此,你发现了什么? 过三角形的三条角平分线的交点所作三角形三边的垂线段相等. 你能证明以上两个结论吗?这节课我们就来探究这方面的问题. 7 新知探究 任务一:探究三角形三条角平分线相交的性质 例1 已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与 角平分线CN相交于点P. 求证:∠A的平分线经过点P. 已知△ABC中,∠B与∠C的平分线相交于点P,如何证明∠A的平分线经过点P? 要证明∠A的平分线经过点P,需要什么条件?已知的两条角平分线相交于点P,由此你能得到哪些相关的结论? 8 新知探究 例1 已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与 角平分线CN相交于点P. 求证:∠A的平分线经过点P. (1)明确探究目标: 将问题分解为两个任务: ①证点P到三边的距离相等(用性质定理); ②证∠A的平分线经过点P(用判定定理). 9 新知探究 例1 已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与 角平分线CN相交于点P. 求证:∠A的平分线经过点P. (2)构建关键桥梁: 利用“角平分线的性质定理”作为推理工具,由BP平分∠ABC,得到PD=PE;由CP平分∠ACB,得到PE=PF.由此建立等量关系PD=PE=PF. 10 新知探究 例1 已知:如图,在△ABC中,角平分线BM与 角平分线CN相交于点P. 求证:∠A的平分线经过点P. (3)完成逻辑闭环: 利用“角平分线的判定定理”,由PD=PF,且PD⊥AB,PF⊥AC,证得∠A的平分线经过点P,从而证得三角形的三条角平分线相交于一点. 11 新知探究 证明:如图,过点P分别作PD⊥AB,PE⊥BC, PF⊥AC,垂足分别为D,E,F. ∵BM是△ABC的角平分线, ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理,PE=PF.∴PD=PE=PF. ∵PD⊥AB,PF⊥AC, ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上),即∠A的平分线经过点P. 12 三角形的角平分线：三角形的三条角平分线交与一点，并且这点到三边的距离相等. 该点称为三角形的内心. 符号语言： ① 在△ABC中， ∵ BD，CE，AG分别是∠ABC，∠ACB，∠BAC的平分线， ∴ BD，CE，AG相交于一点P. ② 若过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PF⊥AB， 垂足分别为点M，N，F，则PM=PN=PF. 我发现了： 三角形的三条角平分线交于一点，交点在三角形内部. 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理．请填表：   三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于________________ 交于_______________ 钝角三角形 交于________________ 直角三角形 交于________________ 交点性质 到三角形的__________的距离相等 到三角形的_____的距离相等 三角形内一点 三角形外一点 斜边上的中点 三个顶点 三角形内一点 三边 1. 如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个三角形区 域，如果在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市 场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建在 （　C　） A. 三条高线的交点处 B. 三条中线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三条垂直平分线的交点处 C 跟踪练习 2. 如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中修建一座小亭供人们小憩，要求小亭到三条公路的距离相 等，试确定小亭的位置. 解：如图，分别作三角形绿地两个内角的平分线，交点 P 即为 小亭的位置. 新知探究 任务二:例题解读 例2 如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是 △ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)已知CD=4 cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. (1)已知CD=4 cm,如何求AC的长?图中哪些线段相等? AC=BC,DE=DC,只需利用等腰直角三角形的性质建立方程求出BD的长,进而可求出AC的长. 19 新知探究 任务二:例题解读 例2 如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD是 △ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E. (1)已知CD=4 cm,求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD. (2)要证明AB=AC+CD,在几何证明中如何处理线段和的问题? 可以构造全等三角形或将AB拆分为AE+EB进行证明. 20 新知探究 (1)解:∵AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB, ∴DE=CD=4 cm(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). ∵AC=BC,∴∠BAC=∠B(等边对等角). ∵∠C=90°,∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°-45°=45°. ∴∠B=∠BDE.∴BE=DE(等角对等边). 在等腰直角三角形BDE中, BD===4 cm(勾股定理). ∴AC=BC=CD+BD=(4+4)cm. 21 新知探究 (2)证明:由(1)的求解过程易知,Rt△ACD≌Rt△AED(HL). ∴AC=AE(全等三角形的对应边相等). ∵BE=DE=CD, ∴AB=AE+BE=AC+CD. 22 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于 点D，E为AB的中点.若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积 为（　C　） C A. 10 B. 12 C. 9 D. 6 跟踪练习 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D分别作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. （1）求证：DE＝DF； 解：（1）证明：如图，连接AD. ∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. （2）若∠BDE＝50°，求∠BAC的度数. 解：（2）∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°. ∵∠BDE＝50°，∴∠B＝40°. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∴∠BAC＝100°. 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，过BC的中点D分别作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 课堂练习 1. 如图，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是8，12，16， O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC为　 （　A　） A. 4∶3∶2 B. 5∶3∶2 C. 2∶3∶4 D. 3∶4∶5 A 26 2. 如图，AE与BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的 痕迹，下列说法不一定正确的是（　C　） C A. AE，BF是△ABC的内角平分线 B. CG也是△ABC的一条内角平分线 C. AO＝BO＝CO D. 点O到△ABC三边的距离相等 3. 如图，O是△ABC三条角平分线的交点，△ABC的面积和周 长都为24，则点O到BC的距离为 ⁠. 2　 4.[2024大连二十四中期中]如图，在中，, 的平分线相交 于点，连接并延长交于点，过点作于点 ，若 ，，则 的长为___。 6 29 【解析】 如图，过点作于点。平分， ， ，。又，分别平分和， 平分， ， 在 中， 。 30 5. 如图，在△ABC中，点P在∠A的平分线上，过点P分别作 PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，连接PB，PC. 已 知∠A＝60°，∠BPC＝120°，PB＝PC， 求证：BC＝BD＋CE. 证明：如图，过点P作PF⊥BC，交BC于点F. ∵PB＝PC，∠BPC＝120°， ∴∠PBC＝∠PCB＝30°. ∵PD⊥AB，PE⊥AC，点P在∠A的平分线上， ∴PD＝PE. 在Rt△PDB和Rt△PEC中， ∴Rt△PDB≌Rt△PEC（HL），∴∠PBD＝∠PCE. ∵∠A＝60°，∠PBC＝∠PCB＝30°， ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， ∴∠PBD＝∠PCE＝30°，∴∠PBD＝∠PBF. 在△PDB和△PFB中， ∴△PDB≌△PFB（AAS），∴BD＝BF. 同理可得，△PEC≌△PFC（AAS），∴CE＝CF. ∵BC＝BF＋CF，∴BC＝BD＋CE. 课堂lianxi 通过本节课,你学到了什么? A B C P M N E F D 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 34 $