1.5 角平分线 第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明及其应用 5 角平分线 第1课时 角平分线的性质和判定 1 素养目标 1.复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理． 2.能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题． 3.通过探索角平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力． 2 教学重难点 重点：角平分线的性质与判定的证明及运用． 难点：灵活应用角平分线的性质和判定解决问题． 3 导入新课 思路一:【生活侦探】 问题:警方发现一个可疑信号源,它到两条公路的距离始终保持相等.如果你是侦探,你能在地图上圈出这个信号源所有可能的位置吗? 4 导入新课 思路二:【魔术折纸】 请拿出一张彩纸,任意画一个角,然后把它对折,让角的两条边完全重合.这条折痕就是角平分线.现在,在折痕上任选一点,给它做个“标记”,然后通过这个点分别向两边“引垂线”.猜一猜,这两条垂线段有什么关系?用直尺量一量,验证一下吧! 这两条垂线段相等. 5 新知探究 任务一:操作探究，发现与证明角平分线的性质 问题:角平分线有什么性质呢? 猜想:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证:PD=PE. 要证明PD=PE,可以转化为证明什么? 需证明两个三角形全等. 6 新知探究 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E. 求证:PD=PE. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴∠ODP=∠OEP=90°. ∵∠1=∠2,OP=OP, ∴△PDO≌△PEO(AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). 7 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 角平分线的性质： 应用所具备的条件： ①角的平分线； ②点在该平分线上； ③垂直距离。 定理的作用：证明线段相等 O A B P D E 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 几何语言： ∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为E，F， ∴PE=PF 角平分线的性质： O A B P D E 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E. 若 AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝ ⁠. [变式] 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB 于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝96 cm2，AB＝20 cm，AC ＝12 cm，则DE的长为 ⁠. 1　 6 cm　 跟踪练习 新知探究 任务二:逆向思考，探究与证明角平分线的判定 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 问题:你能写出上面这个定理的逆命题吗? 11 尝试·思考 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 逆命题：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 逆命题 它是真命题吗？ 角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点。 假命题 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 如何证明？ 任务二:逆向思考，探究与证明角平分线的判定 新知探究 已知:如图,点P为∠AOB内一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE. 求证:OP平分∠AOB. 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴∠ODP=∠OEP=90°. ∵PD=PE,OP=OP, ∴Rt△DOP≌Rt△EOP(HL). ∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB. 13 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 角平分线的判定： 应用所具备的条件： ①位置关系：点在角的内部； ②数量关系：该点到角的两边距离相等。 定理的作用：判断点是否在角平分线上 O A B P D E 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 角平分线的判定： O A B P D E 几何语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上 例 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF，求DE的长． A B C D E F 【分析】先用角平分线的判定定理证得AD是∠BAC的平分线，得到∠BAD＝30°，再利用在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，30°所对的直角边等于斜边的一半，即DE是AD的，求得DE. 任务三:例题讲解 解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝DF， A B C D E F ∴AD平分∠BAC. 又∵∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝30°. 在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AD＝10， ∴DE＝AD＝×10＝5. 1. 在△ABC中，AB＝BC，两个完全一样的三角尺按如图所示 的方式摆放，较短的直角边分别在AB，BC上，较长的直角边 的顶点重合于点P，连接BP并延长，交AC于点D，则下列结 论不一定正确的是（　D　） D A. BP平分∠ABC B. AD＝CD C. BD垂直平分AC D. AB＝AC 跟踪练习 2. 如图，在△ABC中，D是边BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF. 求证：AD是△ABC 的角平分线. 证明：∵D是边BC的中点， ∴BD＝CD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°.又∵BE＝CF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴DE＝DF，∴AD是△ABC的角平分线. 新知探究 任务四:对比辨析，构建知识体系 问题:角平分线的性质定理与判定定理有什么异同? 20 新知探究 21 课堂总结 1.我们今天学习了关于角平分线的哪两个重要定理? 2.我们是怎样发现并证明这两个定理的?其中蕴含了什么重要的数学思想? 3.使用这两个定理的关键分别是什么?它们有什么区别? 22 1.[2025毕节期中]如图，在中， , 平分交于点,若,点到 的距离为4, 则 的长为( ) B A.8 B.6 C.5 D.4 【解析】 如图，过点作于点。因为 平分 , ,,所以 ,所以 。 课堂练习 23 2.[2025双鸭山期中]如图，平分， ， ，垂足分别为， 。下列结论中不一定成立 的是( ) D A. B.平分 C. D.垂直平分 【解析】 平分，，， 。易得 ，， ，故A，B，C项正确。设 与相交于点。，， ， ， ， ，但不能得到 平分 ，故D项不一定成立。 24 3.[2025郑州期末]如图是两把完全相同的长方形直尺，一 把直尺压住射线，且与射线交于点 ，另一把直尺 压住射线，且与第一把直尺交于点，作射线 。若 ，则 的度数是_____。 【解析】 由题意，得平分 ，（两把直尺的宽度 相等）。 ， 。 25 4. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分 ∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E. 若DE＝1，则 BC的长为（　A　） A. 2＋ B. ＋ C. 2＋ D. 3 A 5. [2025唐山五十四中月考]如图，平分，为上一点， ， 分别在，上，且满足，若 ,则 的度数 为_____。 27 【解析】 如图，过点作于点，于点。因为 平 分，所以。在和中， 所以 ,所以 。 28 6.[2025长沙望城区期末节选]如图，在中， ，是 的平分线，于点，点在上，。求证: 。 证明：是的平分线，， ， 。 在和中， ， 。 29 7. 如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分 ∠ADC. （1）求证：AM平分∠DAB； 解：（1）证明：如图，过点M作ME⊥AD于点E. ∵DM平分∠ADC，∠C＝90°，ME⊥AD，∴MC＝ME. ∵M为BC的中点，∴BM＝MC＝ME. 又∵∠B＝90°，∴AM平分∠DAB. （2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系，并证明你的 结论. 7. 如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分 ∠ADC. 解：（2）AM⊥DM. 证明：∵∠B＝∠C＝90°，∴AB∥DC， ∴∠BAD＋∠ADC＝180°. ∵AM平分∠DAB，DM平分∠ADC， ∴∠MAD＝ ∠BAD，∠MDA＝ ∠ADC， ∴∠MAD＋∠MDA＝90°，∴∠AMD＝90°，∴AM⊥DM. 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 判定定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 课堂总结 $